2025届浙江省名校协作体高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省名校协作体2025届高三上学期开学考试数学试题选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，故选：B.2已知复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】设，则，由，则，化简得，则，解得，则，所以.故选：C.3.已知等比数列的前2项和为12，，则公比的值为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由题意知，设等比数列公比为，则，即，解得，.所以.故选：A.4.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上的投影向量为，即，所以，又，，所以，且，则.故选：C5.已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（）个单位长度后可以得到的图象A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数的最小正周期为，可得，因为，可得，可得，即，又，当时，可得，所以，将向左平移个单位，可得函数.故选：A.6.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，因为圆锥的底面半径为1，高为3，由相似三角形可得，则，则圆柱的表面积为，即，所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.故选：C.7.已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由是椭圆与双曲线的公共顶点，得，不妨设直线过椭圆的右焦点F1,0，设点，则直线的斜率分别为，，又因为，可得，设点，则直线的斜率分别为，又因为，所以，因为，所以，所以直线关于轴对称，所以直线轴，又因为直线过椭圆右焦点，所以，代入椭圆方程得，所以.故选：B8.正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】取中点，设交于点，四边形为等腰梯形，分别为的中点，则有，，，面，所以面，当，有面，面，得，，则为二面角的平面角，当不平行时，二面角小于，由对称性可知当时，最大，作，，点为棱中点，则，设分别为和的中心，则，，又，解得，则棱台的高为，则有，所以，在中，由余弦定理得.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中B.数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C.线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱D.已知随机变量，则【答案】AD【解析】对于A，随机变量服从正态分布，越小，即方差越小，则随机变量分布越集中，因此A正确；对于B，将数据从小到大排序为：1，3，4，5，7，9，11，16，共8个数据，由，则第75百分位数为，因此B错误；对于C，线性回归分析中，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近于1，反之越接近于0，线性相关性越弱，因此C错误；对于D，随机变量，则，因此D正确；故选：AD.10.设函数与其导函数f'x的定义域均为，且为偶函数，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，，，即关于对称，故A错误；对于B，为偶函数，故，即关于对称，由关于对称，知，故B正确；对于C，关于对称和关于对称可得：，故，即的周期为4，所以，故C正确；对于D，由得：，即，令得，，故，故D正确.故选：BCD.11.已知正项数列满足记，．则（）A.是递减数列 B.C.存在使得 D.【答案】ABD【解析】由可得，故数列构成等差数列，设公差为，则，即，于是，则因，代入解得，故.对于A，因，则是递减数列，故A正确；对于B，把代入，计算即得，故B正确；对于C，由可得，故C错误；对于D，先证明.设，，则，即在上为增函数，故，即得.要证，即证：，由可得，则，故必有，即D正确.故选：ABD.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.的展开式中，常数项为______．【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：，故答案为：3.13.已知正实数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，所以，当时，不等式化简为，解得：，当时，不等式显然不成立，当时，不等式化简为，解集为空集.综上所述的取值范围是.14.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．【答案】【解析】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为A,B,C，总共由取牌可能，对公差讨论当时，共10种：135246AABCAACBBCABBCCABC当时，不可能；当时，共2种：3，3，3和4，4，4；当时，共29种，分别如下：123AAABCBBC此时有5种；234AAABCBBCCCBBBCCC此时有9种；345AABCBBCCCBBBCCCCCC此时有9种；456ABCCCABBAA此时有6种当时6，5，41种543BBBCCCCCC此时为4种；432AAABBB此时有3种；321AAA此时有1种.总计有50种.所以概率.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知在中，角所对的边分别为，且满足，；（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）由题意得：，即：，，，又，因此，因为，因此，故为锐角，因此；（2）由，，则由余弦定理：，得：，因此可得：，，因此，为等腰直角三角形，又得：，因此，的周长为.16.已知三棱锥满足，且．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值，解：（1）,,,即：,取中点，连接，则，且平面,平面,平面（2）解法一：由（1）知，平面平面平面，作，垂足为，平面平面，且平面，平面，中.记点到平面的距离为与平面所成角为，则，由得：，因此，.解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由（1）可知，中，，，设的法向量，由得：取，记与平面所成角为．则.17.已知函数．（1）判断函数的零点个数，并说明理由；（2）求曲线y=fx与y=gx解：（1）函数的定义域为：，，单调递增又，存在唯一零点，在之间．（2），以上的点为切点的切线方程为以上的点为切点的切线方程为：令则，得，即．设，函数，则．当时，单调递减，当时，单调递增，，的解为，又．和存在唯一一条公切线为．18.如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两点，点在轴下方，且在线段上．（1）试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（2）过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，解：（1）若的斜率不存在，则点不存在或与原点重合；若的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线与的斜率均存在，设直线，代入抛物线方程得：，设则，，，所以直线的斜率之积为定值1.（2）由题意可知，的斜率为，方程为，设点，所以直线，解方程组，得，因此直线与的交点坐标为，因为，由（1）得，所以直线，解方程组，得，得，所以为的中点，从而，，所以因为，解得或，因此，所求的点的坐标为与．19.对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．解：（1）（符合要求即可）：（2）假设可以划分，和一定是一个奇数一个偶数，中至多两个偶数.则对于的一种符合要求的划分和每个四元子集中均有两个偶数．若两个集合分别为和则或，不存在使得符合要求：若两个集合分别为和则或，不存在使得符合要求：若两个集合分别为和则或，不存在使得符合要求；综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数，每个子集中均有两个偶数，对于，可设其中是偶数，为奇数，再由奇偶性，只能是．且矛盾．不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．浙江省名校协作体2025届高三上学期开学考试数学试题选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，故选：B.2已知复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】设，则，由，则，化简得，则，解得，则，所以.故选：C.3.已知等比数列的前2项和为12，，则公比的值为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由题意知，设等比数列公比为，则，即，解得，.所以.故选：A.4.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上的投影向量为，即，所以，又，，所以，且，则.故选：C5.已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（）个单位长度后可以得到的图象A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数的最小正周期为，可得，因为，可得，可得，即，又，当时，可得，所以，将向左平移个单位，可得函数.故选：A.6.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，因为圆锥的底面半径为1，高为3，由相似三角形可得，则，则圆柱的表面积为，即，所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.故选：C.7.已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由是椭圆与双曲线的公共顶点，得，不妨设直线过椭圆的右焦点F1,0，设点，则直线的斜率分别为，，又因为，可得，设点，则直线的斜率分别为，又因为，所以，因为，所以，所以直线关于轴对称，所以直线轴，又因为直线过椭圆右焦点，所以，代入椭圆方程得，所以.故选：B8.正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】取中点，设交于点，四边形为等腰梯形，分别为的中点，则有，，，面，所以面，当，有面，面，得，，则为二面角的平面角，当不平行时，二面角小于，由对称性可知当时，最大，作，，点为棱中点，则，设分别为和的中心，则，，又，解得，则棱台的高为，则有，所以，在中，由余弦定理得.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中B.数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C.线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱D.已知随机变量，则【答案】AD【解析】对于A，随机变量服从正态分布，越小，即方差越小，则随机变量分布越集中，因此A正确；对于B，将数据从小到大排序为：1，3，4，5，7，9，11，16，共8个数据，由，则第75百分位数为，因此B错误；对于C，线性回归分析中，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近于1，反之越接近于0，线性相关性越弱，因此C错误；对于D，随机变量，则，因此D正确；故选：AD.10.设函数与其导函数f'x的定义域均为，且为偶函数，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，，，即关于对称，故A错误；对于B，为偶函数，故，即关于对称，由关于对称，知，故B正确；对于C，关于对称和关于对称可得：，故，即的周期为4，所以，故C正确；对于D，由得：，即，令得，，故，故D正确.故选：BCD.11.已知正项数列满足记，．则（）A.是递减数列 B.C.存在使得 D.【答案】ABD【解析】由可得，故数列构成等差数列，设公差为，则，即，于是，则因，代入解得，故.对于A，因，则是递减数列，故A正确；对于B，把代入，计算即得，故B正确；对于C，由可得，故C错误；对于D，先证明.设，，则，即在上为增函数，故，即得.要证，即证：，由可得，则，故必有，即D正确.故选：ABD.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.的展开式中，常数项为______．【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：，故答案为：3.13.已知正实数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，所以，当时，不等式化简为，解得：，当时，不等式显然不成立，当时，不等式化简为，解集为空集.综上所述的取值范围是.14.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．【答案】【解析】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为A,B,C，总共由取牌可能，对公差讨论当时，共10种：135246AABCAACBBCABBCCABC当时，不可能；当时，共2种：3，3，3和4，4，4；当时，共29种，分别如下：123AAABCBBC此时有5种；234AAABCBBCCCBBBCCC此时有9种；345AABCBBCCCBBBCCCCCC此时有9种；456ABCCCABBAA此时有6种当时6，5，41种543BBBCCCCCC此时为4种；432AAABBB此时有3种；321AAA此时有1种.总计有50种.所以概率.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知在中，角所对的边分别为，且满足，；（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）由题意得：，即：，，，又，因此，因为，因此，故为锐角，因此；（2）由，，则由余弦定理：，得：，因此可得：，，因此，为等腰直角三角形，又得：，因此，的周长为.16.已知三棱锥满足，且．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值，解：（1）,,,即：,取中点，连接，则，且平面,平面,平面（2）解法一：由（1）知，平面平面平面，作，垂足为，平面平面，且平面，平面，中.记点到平面的距离为与平面所成角为，则，由得：，因此，.解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由（1）可知，中，，，设的法向量，由得：取，记与平面所成角为．则.17.已知函数．（1）判断函数的零点个数，并说明理由；（2）求曲线y=fx与y=gx解：（1）函数的定义域为：，，单调递增又，存在唯一零点，在之间．（2），以上的点为切点的切线方程为以上的点为切点的切线方程为：令则，得，即．设，函数，则．当时，单调递减，当时，单调递