2025届陕西省高考适应性检测数学试题（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省2025届高考适应性检测数学试题（一）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，；故选：C.2.已知（其中为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】又条件可知.故选：A3.已知平面向量满足，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】因为，故，故，故，故，故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】所以，所以故选:B.5.已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下图所示：因为等腰直角三角形斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，故该几何体的体积为.故选：C.6.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（）A.频率分布直方图中第三组的频数为15人 B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【答案】D【解析】分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，，所以中位数位为：，故C正确；样本平均数的估计值为：（分），故D错误.故选：D.7.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由函数在上单调递减.且，，解得：，因为，当且仅当时，有满足要求的取值，即.故选：C.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；因为，所以的周期且，所以，因为当时，，所以，所以，所以，故在区间内的零点为，其零点之和为，故选：A.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列结论正确的有（）A若随机变量，，则B.若，则C.已知回归直线方程为，且，，则D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【解析】随机变量，，则，正确；，则，故，错误；将代入回归直线，计算得到，正确；设丢失的数据为，则平均数为，众数为，当时，中位数为，故，；当时，中位数为，则，；当时，中位数为，故，；故可能数据的和为，错误；故选：.10.已知函数在处取得极大值，则下列结论正确的是（）参考数据：．A.B.C.在处取得极小值D.在区间的最小值为【答案】BCD【解析】对A,B，，故，由题意，，解得，，故A错误，B正确；对C，故，.令可得或，令可得，故在与上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，故C正确；对D，由C，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，，故D正确.故选：BCD11.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（）．A.双纽线关于原点中心对称；B.；C.双纽线上满足的点有两个；D.的最大值为.【答案】ABD【解析】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确，对于B，设∵，，∴，∴，∴，故B正确；对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上将代入得即，解得，∴这样的点只有一个，故C错误；对于D，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为__________.【答案】2【解析】双曲线的渐近线为，由题设可设，而，故为的中点，故，而在双曲线上，故即，又到渐近线的距离为，到渐近线的距离为，故的面积为，故答案为：2.13.若直线与曲线相切，则_________．【答案】【解析】设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.14.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有_______种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是_________.【答案】【解析】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，所以把5人分为三组共有种情况，再将三组人员分配到三个城市，有种，其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为种，所以学生甲被单独安排去杭州的概率是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为、、，若，且．（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是1，求边的长．（1）证明：，∴在中，由正弦定理得，，∵，∴，则，∴成等比数列；（2）解：，则，由(1)知，，联立两式解得，由余弦定理得，，∴.16.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由题意得，，又，解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，联立得，，则，，，因为以线段为直径的圆经过点，所以，，，，即，解得或，满足，因为，所以，直线方程为，恒过点，所以直线过定点，定点为.17.如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.解：（1）因为平面平面，平面平面，又，所以平面，因为平面，所以，又因为折叠前后均有，，所以平面；（2）由（1）可知平面，所以二面角的平面角为，又平面，平面，所以，依题意，因为，所以，设，则，由题意知，所以，即，解得，故，，，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，由（1）知平面的法向量，设平面的法向量，由得，令，得，，所以，所以，由图知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，证明：．解：（1）由题意可知，当时，，，则，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）由条件得，令，则，①当，即时，在上，，即单调递增，所以，即，在上为增函数，，时满足条件．②当时，令，解得，在上，，单调递减，当时，有，即，则在上为减函数，，不合题意．综上，实数的取值范围为．（3）由（2）得，当且时，，即，要证不等式，只需证明，只需证明，只需证，设，则，所以当时，恒成立，故在0,+∞上单调递增，又．恒成立，原不等式成立．19.若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．（1）若，（），证明：为递减数列；（2）若，且，的前项和记为．①求；②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．（1）证明：若，显然．又，所以，，，，所以，．因为，，所以，，所以，所以是递减数列．（2）解：①由题意得，又，所以，所以，所以是以为首项，6为公比的等比数列，则．②由①得，所以．当时，，所以；当时，．所以当时，，所以当时，，又，所以，所以，，所以，所以．陕西省2025届高考适应性检测数学试题（一）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，；故选：C.2.已知（其中为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】又条件可知.故选：A3.已知平面向量满足，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】因为，故，故，故，故，故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】所以，所以故选:B.5.已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下图所示：因为等腰直角三角形斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，故该几何体的体积为.故选：C.6.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（）A.频率分布直方图中第三组的频数为15人 B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【答案】D【解析】分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，，所以中位数位为：，故C正确；样本平均数的估计值为：（分），故D错误.故选：D.7.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由函数在上单调递减.且，，解得：，因为，当且仅当时，有满足要求的取值，即.故选：C.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；因为，所以的周期且，所以，因为当时，，所以，所以，所以，故在区间内的零点为，其零点之和为，故选：A.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列结论正确的有（）A若随机变量，，则B.若，则C.已知回归直线方程为，且，，则D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【解析】随机变量，，则，正确；，则，故，错误；将代入回归直线，计算得到，正确；设丢失的数据为，则平均数为，众数为，当时，中位数为，故，；当时，中位数为，则，；当时，中位数为，故，；故可能数据的和为，错误；故选：.10.已知函数在处取得极大值，则下列结论正确的是（）参考数据：．A.B.C.在处取得极小值D.在区间的最小值为【答案】BCD【解析】对A,B，，故，由题意，，解得，，故A错误，B正确；对C，故，.令可得或，令可得，故在与上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，故C正确；对D，由C，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，，故D正确.故选：BCD11.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（）．A.双纽线关于原点中心对称；B.；C.双纽线上满足的点有两个；D.的最大值为.【答案】ABD【解析】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确，对于B，设∵，，∴，∴，∴，故B正确；对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上将代入得即，解得，∴这样的点只有一个，故C错误；对于D，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为__________.【答案】2【解析】双曲线的渐近线为，由题设可设，而，故为的中点，故，而在双曲线上，故即，又到渐近线的距离为，到渐近线的距离为，故的面积为，故答案为：2.13.若直线与曲线相切，则_________．【答案】【解析】设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.14.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有_______种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是_________.【答案】【解析】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，所以把5人分为三组共有种情况，再将三组人员分配到三个城市，有种，其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为种，所以学生甲被单独安排去杭州的概率是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为、、，若，且．（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是1，求边的长．（1）证明：，∴在中，由正弦定理得，，∵，∴，则，∴成等比数列；（2）解：，则，由(1)知，，联立两式解得，由余弦定理得，，∴.16.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由题意得，，又，解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，联立得，，则，，，因为以线段为直径的圆经过点，所以，，，，即，解得或，满足，因为，所以，直线方程为，恒过点，所以直线过定点，定点为.17.如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.解：（1）因为平面平面，平面平