2025届山东省临沂市高三上学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市2025届高三上学期期中教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，所以，又，所以，故选：D.2.已知非零实数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，显然，但是，故B错误；对于C，当时，，当时，，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误3.在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，记，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，点E为线段CD的中点，所以.故选：C4.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，，由不等式，得或，所以不等式的解集是.故选：B5.已知，，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】①，由，则，即②，联立①②解得，，所以.故选：D.6.“”是“不等式在上恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不等式在上恒成立，即在上恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，由于，，故是不等式在上恒成立的必要不充分条件.故选：B7.已知函数（）与函数的图象在区间内交点的坐标分别为，则的值可能是（）A.2 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】函数的定义域为，点是其图象的一个对称中心，令函数，函数的定义域为，，因此函数的图象关于点对称，则函数（）与函数的图象在区间内交点关于点对称，而点是它们的一个交点，于是两个函数图象在区间内的交点共有奇数个，则为奇数，，所以的值可能是5.故选：C8.已知数列的前项和为，，，，（），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，，所以，，，，，，，所以，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知z为复数，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】设，，故，即，故，解得或，若，则，，所以，，，，，若，则，，则，，，，，综上，BC错误，AD正确.故选：AD10.已知，则（）A.有三个零点 B.C.当时， D.曲线y=fx存在两条过点的切线【答案】BCD【解析】对于选项A，易知，因为，则，由，得到或，由，得到，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，又时，，，，时，，其图象如图，由图知，只有个零点，所以选项A错误，对于选项B，因为，所以选项B正确，对于选项C，由选项A知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，区间上单调递增，又，，，所以选项C正确，对于选项D，因为点在曲线上，若点为切点，由导数的几何意义知，切线斜率为，此时切线方程为，即，若点不为切点，设切点为，由题有，即，整理得，即，解得或（舍），所以切点为，切线方程为，故曲线存在两条过点的切线，所以选项D正确，故选：BCD11.定义“01数列”如下：①，；②共有项（，），其中项为0，项为1，且对任意的，，中0的个数不少于1的个数.记“01数列”的个数为，则（）A.B.C.D.当时，【答案】ACD【解析】对于选项A，因为中0的个数不少于1的个数，所以“01数列”是01010,01001,00110,00011,00101，则个数为5个，故A正确；对于选项B，由题意知，，可以表示01010011,01010101,01001101,01001011,01000111,00110011,00110101,00101011,00100111,00011101,00001111，，则，所以，故B错误；对于选项C，理由同选项D，因为，所以不存在，则，故C正确；对于选项D，当时，可以分类以0结尾和以1结尾前者为，确定末尾为0，则少个0，个0与个1进行组合，后者对应，确定末尾为1，则少个1，前面个0与个1进行组合，因此，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为数列的前n项和，若，则的值为__________.【答案】4047【解析】数列中，，所以.13.已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________________.对任意，，①若，；②；③.【答案】（答案不唯一，均可）【解析】由②，可选函数为幂函数；由①知，在定义域内单调递增；由③知，是上凸函数，取函数，其定义域为，且上单调递增，满足①；，满足②；，满足③.故答案为：14.已知关于x的方程有解，则的最小值为__________.【答案】【解析】由，其中，则，可得，即，两边平方化简可得，因此，由，则，当且仅当时，等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（，）图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为.（1）求的解析式；（2）若，求的最小值，解：（1）因为图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为，易知，，又，得到，所以，又由，得到，又，所以，所以的解析式为.（2）由（1）知，由，得到，所以或，即或，又，和的图象如图，由图知，的最小值为.16.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，前n项积为，求证：.解：（1）设等比数列的公比为，由，则，解得，由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.（2）由数列是以为首项，以为公比等比数列，则，，所以，由在上恒成立，即，且在上单调递减，则，即，所以.17.在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，因此，，由，得，即，又，且，所以.（2）由（1）及正弦定理，得，又，所以的面积.18.已知函数.（1）求的导函数的极值；（2）不等式对任意恒成立，求k的取值范围；（3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围.解：（1）因为函数，所以的定义域为令，则，注意到为增函数，且，所以当时,，单调递减；当时,，单调递增；所以当时,有极小值2，无极大值.（2）由题意可知对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则设，则因为在区间上单调递增，所以则在区间上单调递增，所以则所以在区间上单调递增，所以，所以.（3）由题意可知有唯一解，设注意到，当时,；当时,所以至少有一个解.因为有唯一解，所以有唯一解，设，因为，所以为单调函数，则恒成立，设，则恒成立,则所以在区间上单调递增，注意到所以当时,单调递减；当时,单调递增；故只需即可，所以19.已知集合，其中，.对于集合A的n（，）元子集B，若B中不存在三个元素构成等差数列，则称集合B为集合A的“缺等差子集”（1）当时，写出集合A包含元素1和2的“缺等差子集”；（2）当时，求集合A的“缺等差子集”元素个数的最大值；（3）当，且时，是否存在满足的集合A的“缺等差子集”，请说明理由.解：（1），集合A包含元素1和2的“缺等差子集”分别为；（2）考虑集合，记的“缺等差子集”为，元素个数为，因为“缺等差子集”中不能出现连续的三个数，所以集合与中至少有一个数不在任何一个“缺等差子集”中，所以，若，因为与中有且只有两个元素属于，故，对于，显然2和3不全在中，故或，若，则且，矛盾；若，则且，矛盾；若，当时，符合，即的最大值为4，同理的“缺等差子集”中元素个数最大为4，所以，当时，对于集合，其“缺等差子集”元素个数不超过8，因为当时，符合题意，故集合的“缺等差子集”元素个数的最大值为8；（3）存在，理由如下：对于，记，由（1）（2）可知，，，，，在此基础上，当时，，，满足题目要求，下面证明对每一个，，若已经构造出元素个数为的“缺等差子集”，则可用添项的方法来构造新的和“缺等差子集”，使得的元素个数为，当时，是新的“缺等差子集”，且满足，①首先证明是的子集，即，考虑中的最大项，则，所以中的最大项，所以，于是，都有，所以；②证明是“缺等差子集”，即，，都有，若，由题意可知，若，，则，故；若，，则存在，使得，其中，，，故，因为，所以，，若，则存在，使得，其中，，，故，由是“缺等差子集”可知，，所以，综上所述，是“缺等差子集”，③证明的元素个数，由题意可知，，因为集合中的元素与中元素一一对应，所以集合中的元素个数也是，考虑集合中的最小元素，则集合中的最小元素，所以对于，，即的元素个数为，综上①②③可得，当，且时，存在满足的“缺等差子集”.山东省临沂市2025届高三上学期期中教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，所以，又，所以，故选：D.2.已知非零实数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，显然，但是，故B错误；对于C，当时，，当时，，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误3.在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，记，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，点E为线段CD的中点，所以.故选：C4.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，，由不等式，得或，所以不等式的解集是.故选：B5.已知，，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】①，由，则，即②，联立①②解得，，所以.故选：D.6.“”是“不等式在上恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不等式在上恒成立，即在上恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，由于，，故是不等式在上恒成立的必要不充分条件.故选：B7.已知函数（）与函数的图象在区间内交点的坐标分别为，则的值可能是（）A.2 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】函数的定义域为，点是其图象的一个对称中心，令函数，函数的定义域为，，因此函数的图象关于点对称，则函数（）与函数的图象在区间内交点关于点对称，而点是它们的一个交点，于是两个函数图象在区间内的交点共有奇数个，则为奇数，，所以的值可能是5.故选：C8.已知数列的前项和为，，，，（），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，，所以，，，，，，，所以，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知z为复数，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】设，，故，即，故，解得或，若，则，，所以，，，，，若，则，，则，，，，，综上，BC错误，AD正确.故选：AD10.已知，则（）A.有三个零点 B.C.当时， D.曲线y=fx存在两条过点的切线【答案】BCD【解析】对于选项A，易知，因为，则，由，得到或，由，得到，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，又时，，，，时，，其图象如图，由图知，只有个零点，所以选项A错误，对于选项B，因为，所以选项B正确，对于选项C，由选项A知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，区间上单调递增，又，，，所以选项C正确，对于选项D，因为点在曲线上，若点为切点，由导数的几何意义知，切线斜率为，此时切线方程为，即，若点不为切点，设切点为，由题有，即，整理得，即，解得或（舍），所以切点为，切线方程为，故曲线存在两条过点的切线，所以选项D正确，故选：BCD11.定义“01数列”如下：①，；②共有项（，），其中项为0，项为1，且对任意的，，中0的个数不少于1的个数.记“01数列”的个数为，则（）A.B.C.D.当时，【答案】ACD【解析】对于选项A，因为中0的个数不少于1的个数，所以“01数列”是01010,01001,00110,00011,00101，则个数为5个，故A正确；对于选项B，由题意知，，可以表示01010011,01010101,01001101,01001011,01000111,00110011,00110101,00101011,00100111,00011101,00001111，，则，所以，故B错误；对于选项C，理由同选项D，因为，所以不存在，则，故C正确；对于选项D，当时，可以分类以0结尾和以1结尾前者为，确定末尾为0，则少个0，个0与个1进行组合，后者对应，确定末尾为1，则少个1，前面个0与个1进行组合，因此，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为数列的前n项和，若，则的值为__________.【答案】4047【解析】数列中，，所以.13.已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________________.对任意，，①若，；②；③.【答案】（答案不唯一，均可）【解析】由②，可选函数为幂函数；由①知，在定义域内单调递增；由③知，是上凸函数，取函数，其定义域为，且上单调递增，满足①；，满足②；，满足③.故答案为：14.已知关于x的方程有解，则的最小值为__________.【答案】【解析】由，其中，则，可得，即，两边平方化简可得，因此，由，则，当且仅当时，等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（，）图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为.（1）求的解析式；（2）若，求的最小值，解：（1）因为图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为，易知，，又，得到，所以，又由，得到，又，所以，所以的解析式为.（2）由（1）知，由，得到，所以或，即或，又，和的图象如图，由图知，的最小值为.16.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，前n项积为，求证：.解：（1）设等比数列的公比为，由，则，解得，由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.（2）由数列是以为首项，以为公比等比数列，则，，所以，由在上恒成立，即，且在上单调递减，则，即，所以.17.在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，因此，，由，得，即，又，且，所以.（2）由（1）及正弦定理，得，又，所以的面积.18.已知函数.（1）求的导函数的极值；（2）不等式对任意恒成立，求k的取值范围；（3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围.解：（1）因为函数，所以的定义域为令，则，注意到为增函数，且，所以当时,，单调递减；当时,，单调递增；所以当时,有极小值2，无极大值.（2）由题意可知对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则设，则因为在区间上单调递增，所以则在区间上单调递增，所以则所以在区间上单调递增，所以，所以.（3）由题意可知有唯一解，设注意到，当时,；当时,所以至少有一个解.因为有唯一解，所以有唯一解，设，因为，所以为单调函数，则恒成立，设，则恒成立,则所以在区间上单调递增，注意到所以当时,单调递减；当时,单调递增；故只需即可，所以19.已知集合，其中，.对于集合A的n（，）元子集B，若B中不存在三个元素构成