2025届江苏省南通市名校联盟高三8月模拟演练数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市名校联盟2025届高三8月模拟演练数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知M,N为集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，则（）A.M B.N C.I D.【答案】A【解析】，，，故选：.2.已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点P的坐标为，则，且，又因为，所以当时，有最小值.所以的最小值为.故选：D.3.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：分位数50%分位数70%分位数80%分位数90%分位数用电量160176215230如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.故选：C.4.已知向量，，对任意实数，恒有，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由两边平方得：，设，则对任意实数恒成立，所以，即，所以，即，，所以.故选：B.5.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（）A.70 B.99 C.110 D.165【答案】D【解析】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法；当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法；当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法；当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法；因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有：故选：D.6.设函数若无最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为作出函数与直线的图象，它们的交点是，O0,0，，由，则令，可得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，由图象可知，当时，有最大值f-1=2或，当时，有，此时无最大值，故实数取值范围为.故选：A.7.当时，曲线与交点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.8.已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（）A.50 B.100 C.110 D.190【答案】B【解析】要使取得最小值,则正整数必然在区间上，则因为,所以当或时,有最小值100.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于方程的结论中，正确的有（）A.方程的两根互为共轭复数B.若，则方程两根互为共轭复数C.若x为方程的一个虚根，则也为方程的根D.若，则方程的两根一定都为正数【答案】BC【解析】对于A：，不确定其正负，故方程可能有实数根也可能有复数根，A错误；对于B：当时，，解得，两根为共轭复数，B正确；对于C：当时，方程的根为，即一个根为虚数时，它的共轭复数也是方程的根，C正确；对于D：当时，，不确定其正负，方程可能无实数根，D错误.故选：BC.10.设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（）A.若AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线C.若，则AD=BCD.若，则AD⊥BC【答案】ABD【解析】对于选项A，若与共面，则与共面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；如图，空间四边形中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，故C错误；对于D，当四点共面时显然成立，当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，则，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正确.故选：ABD.11.已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是（）A.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列B.数列，，，…，是等差数列C.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列D.数列，，，，…，是等比数列【答案】ABD【解析】对于A:设an的公差为，将数列an的前m项去掉，其余各项依次为，则故构成的数列依然是等差数列，正确；对于B：因为数列an是等差数列，所以数列，，，…，，所以构成公差为的等差数列，正确；对于C：设bn的公比为，等比数列去掉前m项后，其余各项依次为，所以依然构成等比数列，错误；对于D：设bn公比为,所以，故数列，，，，…，是等比数列，正确.故选:ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为______．【答案】16【解析】由题意得,所以,不妨设,根据双曲线定义可得①，又,所以②，联立①②解得,所以的面积.13.已知函数和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，若和有且仅有一条公切线，则______．【答案】【解析】由得：；由得：；设与相切于点，与相切于点，所以的方程为或，即的方程为或，所以，则，所以，解得：.14.将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：将每行的第一个数与每行的最后一个数依次相加，前行的和为______．【答案】【解析】设每行的第一个数构成数列，每行的最后一个数构成数列，，则由数表可知，，，……，所以数列的递推公式为，，所以，，当时，成立，同理，，，……，所以数列的递推公式为，，所以，，当时，成立，所以每行的第一个数与每行的最后一个数依次相加的和，注意第一行的首尾为同一个数1，所以前行的和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角中，，.（1）求证：；（2）设，求AB边上的高.（1）证明：由，得，即，两式相除得，所以.（2）解：在锐角中，，，则，，即有，将代入上式并整理得，而，解得，，设边上的高为，则，由，得，所以边上的高等于16.已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为，点M的坐标为，且．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）如果过点M的直线与椭圆相交于点P，Q两点，且，求直线的方程．解：（1）因为短轴长为，所以.,所以.因为,所以,且椭圆的焦点在x轴上,由得：,由c>0,解得c=2.所以,所以椭圆方程为,离心率等于.（2）由(1)可知M(3,0),则该点在椭圆外,所以过该点的直线PQ的斜率必然存在.可设直线PQ的方程为,联立，得.设，由根与系数关系可知:，.由OP⊥OQ得,即，解得:,符合,所以直线PQ的方程为.17.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列．解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，记“甲以4比1获胜”为事件，则；（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件，因为，乙以4比2获胜的概率为，乙以4比3获胜的概率为，所以．（3）设比赛的局数为，则的可能值为4，5，6，7，，比赛局数的分布列为：456718.设函数．（1）若，，证明：曲线是中心对称图形；（2）若，且函数有三个不同的零点，求实数c的取值范围；（3）证明：“”是有三个不同的零点的必要不充分条件．（1）解：当，时，函数fx=x而，所以，所以fx的图象关于点对称，所以曲线为中心对图形．（2）解：当，函数，令，可得，令，只需与有3个交点，，令，解得或，列表如下：x00h单调递增0单调递减单调递增即有在处取得极大值，且为0；在处取得极小值，且为，由函数有三个不同的零点，可得，解得，所以c的取值范围是；（3）证明：若有三个不同零点，令，可得的图象与x轴有3个不同的交点，即有三个单调区间，即为导函数的图象与x轴有两个交点，可得，即，为．若．即有的图象与x轴有两个交点，当，时，满足，即与x轴交于，，则的零点为两个，综上，是有三个不同零点的必要不充分条件．19.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为.（ⅰ）求线段的长；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一）解：（1）（ⅰ）如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为则有，取得点H到平面的距离，线段的长为（ⅱ）设为的中点，则且，由（ⅰ）知，又为平面ABCD的法向量，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.（2）如图所示，对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图，最小值为，对于图(B)，彩绳长度的最小值为，因为，所以店员的说法是正确的．（也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案）江苏省南通市名校联盟2025届高三8月模拟演练数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知M,N为集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，则（）A.M B.N C.I D.【答案】A【解析】，，，故选：.2.已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点P的坐标为，则，且，又因为，所以当时，有最小值.所以的最小值为.故选：D.3.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：分位数50%分位数70%分位数80%分位数90%分位数用电量160176215230如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.故选：C.4.已知向量，，对任意实数，恒有，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由两边平方得：，设，则对任意实数恒成立，所以，即，所以，即，，所以.故选：B.5.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（）A.70 B.99 C.110 D.165【答案】D【解析】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法；当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法；当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法；当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法；因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有：故选：D.6.设函数若无最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为作出函数与直线的图象，它们的交点是，O0,0，，由，则令，可得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，由图象可知，当时，有最大值f-1=2或，当时，有，此时无最大值，故实数取值范围为.故选：A.7.当时，曲线与交点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.8.已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（）A.50 B.100 C.110 D.190【答案】B【解析】要使取得最小值,则正整数必然在区间上，则因为,所以当或时,有最小值100.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于方程的结论中，正确的有（）A.方程的两根互为共轭复数B.若，则方程两根互为共轭复数C.若x为方程的一个虚根，则也为方程的根D.若，则方程的两根一定都为正数【答案】BC【解析】对于A：，不确定其正负，故方程可能有实数根也可能有复数根，A错误；对于B：当时，，解得，两根为共轭复数，B正确；对于C：当时，方程的根为，即一个根为虚数时，它的共轭复数也是方程的根，C正确；对于D：当时，，不确定其正负，方程可能无实数根，D错误.故选：BC.10.设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（）A.若AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线C.若，则AD=BCD.若，则AD⊥BC【答案】ABD【解析】对于选项A，若与共面，则与共面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；如图，空间四边形中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，故C错误；对于D，当四点共面时显然成立，当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，则，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正确.故选：ABD.11.已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是（）A.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列B.数列，，，…，是等差数列C.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列D.数列，，，，…，是等比数列【答案】ABD【解析】对于A:设an的公差为，将数列an的前m项去掉，其余各项依次为，则故构成的数列依然是等差数列，正确；对于B：因为数列an是等差数列，所以数列，，，…，，所以构成公差为的等差数列，正确；对于C：设bn的公比为，等比数列去掉前m项后，其余各项依次为，所以依然构成等比数列，错误；对于D：设bn公比为,所以，故数列，，，，…，是等比数列，正确.故选:ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为______．【答案】16【解析】由题意得,所以,不妨设,根据双曲线定义可得①，又,所以②，联立①②解得,所以的面积.13.已知函数和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，若和有且仅有一条公切线，则______．【答案】【解析】由得：；由得：；设与相切于点，与相切于点，所以的方程为或，即的方程为或，所以，则，所以，解得：.14.将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：将每行的第一个数与每行的最后一个数依次相加，前行的和为______．【答案】【解析】设每行的第一个数构成数列，每行的最后一个数构成数列，，则由数表可知，，，……，所以数列的递推公式为，，所以，，当时，成立，同理，，，……，所以数列的递推公式为，，所以，，当时，成立，所以每行的第一个数与每行的最后一个数依次相加的和，注意第一行的首尾为同一个数1，所以前行的和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角中，，.（1）求证：；（2）设，求AB边上的高.（1）证明：由，得，即，两式相除得，所以.（2）解：在锐角中，，，则，，即有，将代入上式并整理得，而，解得，，设边上的高为，则，由，得，所以边上的高等于16.已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为，点M的坐标为，且．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）如果过点M的直线与椭圆相交于点P，Q两点，且，求直线的方程．解：（1）因为短轴长为，所以.,所以.因为,所以,且椭圆的焦点在x轴上,由得：,由c>0,解得c=2.所以,所以椭圆方程为,离心率等于.（2）由(1)可知M(3,0),则该点在椭圆外,所以过该点的直线PQ的斜率必然存在.可设直线PQ的方程为,联立，得.设，由根与系数关系可知:，.由OP⊥OQ得,即，解得:,符合,所以直线PQ的方程为.17.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列．解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，记“甲以4比1获胜”为事件，则；（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件，因为，乙以4比2获胜的概率为，乙以4比3获胜的概率为，所以．（3）设比赛的局数为，则的可能值为4，5，6，7，，比赛局数的分布列为：456718.设函数．（1）若，，证明：曲线是中心对称图形；（2）若，且函数有三个不同的零点，求实数c的取值范围；（3）证明：“”是有三个不同的零点的必要不充分条件．（1）解：当，时，函数fx=x而，所以，所以fx的图象关于点对称，所以曲线为中心对图形．（2）解：当，函数，令，可得，令，只需与有3个交点，，令，解得或，列表如下：x00h单调递增0单调递减单调递增即有在处取得极大值，且为0；在处取得极小值，且为，由函