2024-2025学年浙江省杭州市浙里特色联盟高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】由复数的概念可得的虚部是.故选：B2.已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为.故选：B3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若直线与垂直，则其斜率为，又该直线过，根据点斜式有，整理得.故选：C4.已知，且，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可得，即，解得.故选：C5.在四面体中，，点在上，且为的点，且，则等于（）A. B.C D.【答案】D【解析】易知，即.故选：D.6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：，由条件得，又的周长为，所以，即椭圆方程为：.故选：A7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则有，整理可得，则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，所以，，由题意，，由，解得.故选：D.8.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，由椭圆的定义可得，则.当且仅当、、、四点共线且、在线段上时，上述不等式两个等号同时成立，故的最小值为.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）9.已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆的离心率为C.直线被椭圆截得的弦长为D.若，则的面积为4【答案】BCD【解析】因为椭圆方程为：，则其长轴长、短轴长、焦距分别为，所以，即A错误；B正确；当时，与联立得，即直线被椭圆截得的弦长为，故C正确；若，则，即，则的面积为，故D正确.故选：BCD10.在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（）A.长的最小值为B.四棱锥的体积为定值C.有且仅有一条直线与垂直D.当点、为线段中点时，则为等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A，由点所在线段分别在两个平行平面、上，且为异面直线，其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，即长的最小值为，A对；对于B，由，其中表示到平面的距离，显然为定值，而的中，底与边上的高均为定值，由此可知面积为定值，综合上述，四面体的体积为定值，B对；对于C，点在平面上的射影的轨迹为线段，平面，平面，所以，则的一个充要条件，当射影位于线段上的任意位置时，过作的垂线，所得垂足记为，则，根据以上垂直关系可知，，、平面，所以平面，平面，从而.于是这样的直线不唯一，C错；对于D，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，当、分别为、的中点时，则、、，所以，，同理可得，，此时，为等腰三角形，D对.故选：ABD.11.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与直线垂直，则C.当点到直线的距离取到最大时，此时D.直线与圆所截得的最短弦长为1【答案】BC【解析】对于A，由，令，即直线恒过定点，故A错误；对于B，若直线与直线垂直，则有，所以，故B正确；对于C，易知点到直线的距离，即，解之得，故C正确；对于D，，即该圆圆心为，半径为，则到的距离为，所以直线与圆所截得的弦长为，即越大，弦长越小，则弦长最小，故D错误.故选：BC.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）12.直线的倾斜角大小为______.【答案】【解析】由直线可知其斜率为，所以其倾斜角满足，所以.故答案为：13.已知空间向量且与互相平行，则实数值______.【答案】2【解析】由条件可知，因为与互相平行，所以，解之得.故答案为：214.已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______.【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，连接，

因为点平分，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形，设，则，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC方程．解：（1）设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．16.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.解：（1）易知和的中点，，则的中垂线方程为，联立方程，即圆心坐标为，易知，所以圆的标准方程为；（2）易知圆心C到直线的距离为，又直线被圆截得弦长为，所以，解之得或.17.如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且.（1）求三棱锥的体积；（2）直线与平面PBD所成角的正弦值.解：（1）根据题意可知，所以，；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，易知，所以，设平面的一个法向量，则，取，即，设直线与平面PBD所成角为，则.18.已知O为坐标原点，椭圆C：过点，且离心率为，斜率为的直线交椭圆于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程；（2）记以为直径的圆的面积分别为的面积为S，求的最大值.解：（1）由题意可知，解之得，即椭圆方程为；（2）设，直线方程，与椭圆方程联立得，所以，即有，易知，同理，则，由上知，即，而，O到直线的距离，即，显然时，取得最大值1，即的最大值为.19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.（1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）若点，求的最大值；（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）根据题意可知，，则，所以；（2）设，因为，则有，即的轨迹，作出的轨迹图形如图所示，若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大，根据余弦函数的单调性可知此时最小，则的最大值为；（3）易知，设，则，若，则，符合题意；若，则，根据分段函数的性质可知，又恒成立，当且仅当时取得等号.综上：或.浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】由复数的概念可得的虚部是.故选：B2.已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为.故选：B3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若直线与垂直，则其斜率为，又该直线过，根据点斜式有，整理得.故选：C4.已知，且，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可得，即，解得.故选：C5.在四面体中，，点在上，且为的点，且，则等于（）A. B.C D.【答案】D【解析】易知，即.故选：D.6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：，由条件得，又的周长为，所以，即椭圆方程为：.故选：A7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则有，整理可得，则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，所以，，由题意，，由，解得.故选：D.8.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，由椭圆的定义可得，则.当且仅当、、、四点共线且、在线段上时，上述不等式两个等号同时成立，故的最小值为.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）9.已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆的离心率为C.直线被椭圆截得的弦长为D.若，则的面积为4【答案】BCD【解析】因为椭圆方程为：，则其长轴长、短轴长、焦距分别为，所以，即A错误；B正确；当时，与联立得，即直线被椭圆截得的弦长为，故C正确；若，则，即，则的面积为，故D正确.故选：BCD10.在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（）A.长的最小值为B.四棱锥的体积为定值C.有且仅有一条直线与垂直D.当点、为线段中点时，则为等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A，由点所在线段分别在两个平行平面、上，且为异面直线，其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，即长的最小值为，A对；对于B，由，其中表示到平面的距离，显然为定值，而的中，底与边上的高均为定值，由此可知面积为定值，综合上述，四面体的体积为定值，B对；对于C，点在平面上的射影的轨迹为线段，平面，平面，所以，则的一个充要条件，当射影位于线段上的任意位置时，过作的垂线，所得垂足记为，则，根据以上垂直关系可知，，、平面，所以平面，平面，从而.于是这样的直线不唯一，C错；对于D，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，当、分别为、的中点时，则、、，所以，，同理可得，，此时，为等腰三角形，D对.故选：ABD.11.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与直线垂直，则C.当点到直线的距离取到最大时，此时D.直线与圆所截得的最短弦长为1【答案】BC【解析】对于A，由，令，即直线恒过定点，故A错误；对于B，若直线与直线垂直，则有，所以，故B正确；对于C，易知点到直线的距离，即，解之得，故C正确；对于D，，即该圆圆心为，半径为，则到的距离为，所以直线与圆所截得的弦长为，即越大，弦长越小，则弦长最小，故D错误.故选：BC.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）12.直线的倾斜角大小为______.【答案】【解析】由直线可知其斜率为，所以其倾斜角满足，所以.故答案为：13.已知空间向量且与互相平行，则实数值______.【答案】2【解析】由条件可知，因为与互相平行，所以，解之得.故答案为：214.已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______.【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，连接，

因为点平分，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形，设，则，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC方程．解：（1）设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．16.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.解：（1）易知和的中点，，则的中垂线方程为，联立方程，即圆心坐标为，易知，所以圆的标准方程为；（2）易知圆心C到直线的距离