点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离-(人教A版2019选择性-必修第一册)

高中数学

人教A版（2019）

选择性必修第一册第二章

直线和圆的方程2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离

教材分析本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第三节《直线的交点坐标与距离公式》。以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3直线的交点坐标与距离公式所在位置教材第51页教材第59页教材第70页新教材内容分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，通过例题直线平行与垂直的判定，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。教学主线直线方程的应用学习目标

1.会用向量工具推导点到直线的距离公式，理解两条平行线间的距离公式的推导，培养逻辑推理的核心素养。.2.掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题，提升数学运算的核心素养.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养逻辑推理的核心素养.重点、难点重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；

点到直线的距离公式的应用．

理解和掌握两条平行线间的距离公式难点：应用距离公式解决综合问题（一）新知导入

【问题1】在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?【问题2】立定跳远测量的是什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离◆知识点1点到直线的距离【探究1】1．如图，什么是平面上点P到直线l的距离？【提示】点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足．2．如上图，设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐标？如何求|PQ|的长？

（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离

（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离5．根据问题3,4的内容，你能得出|PQ|的长吗？

（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离◆点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝

.【点睛】(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.（3）点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值。

D

（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离◆知识点2两条平行直线间的距离【探究2】1．两条平行直线间的距离是指什么线段的长？【提示】两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同时为0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推导出l1与l2间的距离公式？

（二）点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离◆两条平行直线间的距离：(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

.

C-6或2

两直线方程中x，y的系数对应相等.（三）典型例题1.点到直线距离公式的应用例1.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.

（三）典型例题例2.求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．

（三）典型例题【类题通法】1.在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解．2.在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可．【巩固练习1】1.若点M(－2,1)到直线x＋2y＋C＝0的距离为1，则C的值为______．

（三）典型例题2.两条平行直线间的距离【例3】已知直线l与直线3x＋4y－1＝0平行，且两直线间的距离为4，则直线l的方程为________．

（三）典型例题

（三）典型例题【巩固练习2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．

若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.（三）典型例题3.对称问题例4.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

（三）典型例题

（三）典型例题

（三）典型例题

（三）典型例题4.最值问题例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

（三）典型例题

【类题通法】数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．例如，当一条直线过定点A时，点B到这条直线l的距离d也是当l⊥AB时最大，l过B点时，最小为零．（四）操作演练

素养提升

答案：1.A

2.C

3.C

4.C（五）课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？作业布置完成教材——第77页练习第1，