第二章控制系统的数学模型讲义教材

二、数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型

1、时间域：微分方程、差分方程、状态方程2、复数域：传递函数、结构图3、频率域：频率特性数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其性能之间的内在关系。第二章控制系统的数学模型一、数学模型三、建立控制系统数学模型的方法分析法－依据系统及各元件的变量之间所遵循的物理和化学规律列写出相应的数学表达式，建立模型。实验法－人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。也称系统辨识。四、分析法建立系统数学模型的步骤建立物理模型。m—k系统，RLC电路列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。1.平移运动mcxF(t)KmcxF(t)Kx(t)mm-物体质量；c—粘性阻尼K—弹簧刚度x—物体运动的位移F(t)—物体受外力2.旋转运动

JTθKJfJ

JT回转粘性阻尼系数；T—外力矩（扭矩）扭转弹簧刚度；θ—转角J构件转动惯量根据回转运动力矩平衡方程可得：KJ二.电气系统微分方程1.基本原理：基尔霍夫定律，欧姆定律及电磁感应定律(1)电流定律（节点处）（2）电压定律（闭合回路）2.电气系统基本参数

RLC电阻电感电容

1.以Ui(t)为输入电压，U0(t)为输出电压，列写系统微分方程

①②③④消去i1,i2,i等中间变量可得到：无源网络R1R2CUi(t)U0(t)i1(t)i2(t)i(t)

将上式代入（4）式可得到只含有输入、输出的微分方程：上式可写成如下形式：2.如图所示Ui(t)为输入电压，U0(t)为输出电压，K为运算放大器的开环放大倍数，列写系统微分方程有源网络对于运算放大器一般来说A点的电位为0（虚短）由于运算放大器的K值很大：可看作K断开，A与B连接。（虚断）因而有：+—ABCUi(t)Ri1(t)i2(t)U0(t)K

由于UA(t)近似为0，则有：+—ABCUi(t)Ri1(t)i2(t)U0(t)K

实例：试证明如图(a)、(b)所示的机械、电气系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。

对电气网络(b)，列写电路方程如下：

解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式②

③

④

①化简得：利用②、③、④求出

代入①并将两边微分得机械系统电气系统力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。机械阻尼B1阻尼B2弹性系数K1弹性系数K2电气电阻R1电阻R21/C11/C2系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：

①确定系统的输入量和输出量②将系统划分为若干环节，从输入端开始，每个环节可考虑列写一个方程，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的原始方程并线性化（将非线性函数展开成泰勒级数，然后略去高于一次的小增量项，工作点处导数或偏导数必须存在）。③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。M1M2K1C1C2x1(t)X2(t)f(t)K1K2CXi(t)Xo(t)UoUiRCL(1)(2)(3)(4)作业：

1.拉普拉斯变换意义：对于前面所建立的微分方程进行求解，可以得出系统的输入量和输出量间的关系。但对微分方程的求解很复杂，尤其是高阶系统微分方程及复杂系统的求解更困难，因此为分析研究系统的动态性能，寻找一种简单可行的方法来求解系统微分方程。对于线性系统采用拉氏变换的方法将微分方程化为代数方程使求解大为简化。2.2拉普拉斯变换与反变换1.拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0

②t≥0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

f(t)为原函数，F(s)为象函数

一.拉氏变换的定义及典型函数2.典型函数及其拉氏变换：（1）单位阶跃函数

（2）单位脉冲函数

（3）单位斜坡函数对脉冲函数有性质（通过分部积分可得）tf(t)1单位阶跃函数tδ(t)tf(t)t(4)单位加速度函数

（5）指数函数（6）正弦函数和余弦函数

应用欧拉公式：

tf(t)单位加速度函数tf(t)指数函数1（7）幂函数求下列函数的拉氏变换

二.拉氏变换的性质线性定理位移定理

延时定理函数如图所示求其拉氏变换函数eg1.

tf(t)a1/Ttf(t)a1/T-1/T（2）对处理后的函数应用定理（线性定理和延时定理）（1）应用定义式求解方法：eg2.

已知求其拉氏变换F(S)

终值定理初值定理微分定理积分定理相似定理三.拉氏反变换

拉氏反变换是指将象函数变换到与其对应的原函数f(t)的过程。记为：1.基本方法：①定义法；②查表法；③部分分式法①定义式其中②查表法利用拉氏变换表查得相应的f(t)③部分分式法先将一个复杂的象函数F(S)变换成为数个简单的标准形式象函数之和，然后通过查表，分别查出各个的原函数，其和即为所求。

F(s)化成下列因式分解形式：式中

根据F(S)中分母根的不同情况进行讨论已知象函数F(s)且可表示为简单的标准形式象函数之和

Case1. F(s)中具有不同根时，可展开为eg1.解：

Case2.F(s)含有多重极点时，可展开为

不重根系数K2…KN可按case1的情况求解，而K11…K1r求解如下：

eg2.解：

Case3.F(s)分母中含有共轭复根情况：上式中－p1、－p2为共轭复根，则有

（1）将上式两边实部和虚部分别相等可解得k1,k2（2）用不重根情况求解复系数解决方案：eg.解法一：

解法二：

四．用拉氏变换解常系数微分方程

eg.已知方程，其中

利用拉氏变换解常系数微分方程。对方程取拉氏变换：

解：

作业2：

（2）（3）

2.1①、③2.3①、③求下列象函数的原函数（1）

2.3系统传递函数的概念

及基本环节的传递函数

传递函数的引入：对于控制系统如果能求解系统的微分方程则可以准确地描述系统的动态性能，但对于改善系统的动态品质有一定的困难（由于不知道各变量间的关系），为能够直观明了地表示系统各变量间的关系，于是引入传递函数。传递函数是建立在拉氏变换的基础之上，用它描述系统免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构参数与性能的关系，找出改善系统品质的方法。

1.系统传递函数的定义：当零初始条件时，线性定常系统的输出量的拉氏变换C(s)与引起该输出的输入量的拉氏变换R(s)的之比。记为：零初始条件：①t≤0时，输入量及其各阶导数均为0；②输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t≤0时，输出量及其各阶导数也均为0。

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai和bi是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

例：求如图所示机械系统与电路系统的传递函数。解：--》机械系统传递函数--》电系统的传递函数2.传递函数的性质（结论）传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部输入－输出特性来描述系统的内部特性。②它不说明所描述系统的物理结构（因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数)③传递函数是复数S域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。

④传递函数只适用于线性定常系统。⑤若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数决定，这一输出与系统在输入作用前的初始状态无关。即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。3.与系统传递函数有关的概念

(1)系统的特征方程：传递函数中分母为0的方程。(2)极点：传递函数分母为0的根。即–p1,-p2…－pn

(3)零点：传递函数中分子为0的根。即B(s)=0的解(4)系统的阶次：传递函数分母多项式中s的最高次幂称为系统的阶次。

特征方程：极点：s=-1

零点：-2,-1

系统阶次：3

例：二典型环节传递函数1．比例环节系统的输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。如：电子放大器的放大倍数，齿轮传动的传动比，在平衡状态下杠杆两端所受的力等其传递函数为

2．惯性环节系统微分方程可表达为：

经拉氏变换后其传递函数为

如RC电路，弹簧阻尼系统任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的T--时间常数Kf

r(t)c(t)

RC电路传递函数：弹簧阻尼系统传递函数：3微分环节系统的输出正比于系统输入微分的环节称为微分环节。传递函数为

eg:液压缸的流量q(t)和活塞位移x(t)间的关系

传递函数为

4积分环节系统的输出正比于输入积分的环节称为积分环节。

传递函数

eg:电容两端的电压与电流的关系

传递函数

5振荡环节

系统中含有两种储能元件，而且该两种储能元件能量可以相互转换。如动能与势能，电能与磁能。

传递函数为：

eg1：质量弹簧阻尼系统，其系统加入外力为输入x(t)，质量块位移为输出y(t)，其输入和输出之间的关系可以表示为—系统固有频率

—系统阻尼比

Mx(t)y(t)kf6二阶微分如果系统的微分方程可表示为：

其传递函数为：7一阶微分

若系统传递函数为

则称其为一阶微分

8．延时环节

若系统的输入和输出间存在关系其传递函数为：

各环节比较：

惯性环节：

一阶微分

积分环节

微分环节

振荡环节

二阶微分

作业3：

2-6(a,d,g)2-82.4控制系统框图及其简化采用框图的优点：①将各环节联接起来容易构成一个系统；②通过系统框图，可以评价各环节对系统的影响；③各环节组成系统框图，可以进一步将系统框图进行简化，从而写出整个系统传递函数。一、框图单元、比较点、引出点框图单元：中间的框为环节传递函数，箭头的线为信号线，其中指向方框的为流入信号，从方框指出的线为流出信号；信号线上的表达式为信号G(s)R(s)C(s)框图单元比较点：

两个相比较的信号一定具有相同的量纲

引出点：

从同一点引出的信号在大小和性质上完全相同

注意问题：+—(+)R(s)E(s)B(s)比较点A引出点二、系统构成方式及运算法则

基本连接方式：串联、并联、反馈连接1．串联连接：各环节传递函数顺序连接称为～

推广到n个环节，则串联系统传递函数为n个环节传递函数的积X(s)Y1(s)Y(s)G2(s)G1(s)2．并联连接：各环节传递函数具有共同的输入,输出相加或相减的连接方式称为并联连接

G1(s)

G2(s)＋＋(-)X(s)Y(s)Y2(s)

Y1(s)结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和或差。3.反馈连接：指将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路重新输入到系统中去。概念介绍：

X(s)输入信号；Y(s)输出信号；X1(s)反馈信号；E(s)偏差信号闭环系统、闭环系统传递函数正反馈：若反馈信号与输入信号相同则为正反馈（信号都正或都负）负反馈：反馈信号与输入信号方向相反则为负反馈。各信号间关系：①②

③＋—X(s)Y(s)E(s)X1(s)H(s)G(s)①

输出信号与偏差信号的比

G(s)，前向传递函数②由①式推导得主反馈信号与输出信号的比H(s)，称为反馈传递函数若H(s)=1则称为单位反馈传递函数。③上式信号中消去X(s)和Y(s)得到的信号比为：

闭环系统中主反馈信号与偏差信号之比G(s)H(s)，开环传递函数（Open-loopTransferFunction）：④消去X1(s)和Y(s)有

偏差信号与输入信号比称为误差传递函数

⑤消去X1(s)和E(s)

在闭环系统中，系统输出与输入拉氏变换的比称为闭环传递函数（Closed-loopTransferFunction）

闭环传递函数：

正反馈闭环传递函数：负反馈闭环传递函数：

三、干扰信号作用下的闭环系统

产生干扰信号的来源有：系统中参数的变化，输入误差，电气噪声，电压波动等等对于线性系统而言，输入量和干扰量对系统的输出可进行线性叠加，分别计算(1)输入信号(即输入为X(s))作用下的系统输出为Y1(s)(N(s)=0)

＋—X(s)Y(s)E(s)X1(s)H(s)G1(s)G2(s)＋＋N(s)断开(2)系统在干扰信号(即输入为N(s))作用下系统输出为Y2(s)(X(s)=0)干扰信号和输入信号共同作用下系统的总输出为Y(s)＋＋Y2(s)X1(s)H(s)G1(s)G2(s)N(s)－1E(s)

四、方框图的变换及简