高考一轮复习数学(理)-第一章-集合与常用逻辑用语-第二节-命题及其关系、充分条件与必要条件VIP

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以

的陈述句叫做命题．其中判断为

的语句叫做真命题，判断为

的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系判断真假真假3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有

的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则相同(1)四种命题的等价关系：原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时往往找等价命题进行证明．(2)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(3)区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且B

A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A

B)两者的不同．(4)A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．(5)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)

x>2(小范围)．1．下列命题是假命题的有

(

)A．三角形角平分线上的点到角的两边距离相等B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案：B2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的

(

)A．逆命题

B．否命题C．逆否命题

D．否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．答案：B

3．设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C4．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点四种命题及其真假判断

[题点全训]1．(2023·合肥模拟)设x，y∈R，命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是(

)A．若x2＋y2≤2，则x2≤1或y2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案：C2．(2023·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是

(

)A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案：D3．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是

(

)A．若经冬寒，必知春暖

B．不经冬寒，但知春暖C．若知春暖，必经冬寒

D．不经春暖，必历冬寒解析：“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”．故选C.答案：C

4．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确命题的序号是________．[一“点”就过]判断命题真假的2种方法直接判断判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当直接判断一个命题的真假不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假提醒(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)充分、必要条件的判断

[典例]

(1)(2022·浙江高考)设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件(2)(2023·福建高三阶段练习)在四边形ABCD中，AB∥CD，则“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件(2)若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件．故选D.[答案]

(1)A

(2)D[方法技巧]判断充分、必要条件的2种方法定义法直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么集合法利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题[针对训练]1．(2019·浙江高考)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件重难点(二)充分、必要条件的应用

[典例]

(2023·郑州模拟)设α：2a<x≤3a＋1，β：－2≤x≤7，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[解析]

因为α是β的充分不必要条件，(2a,3a＋1]是[－2,7]的真子集，所以，当(2a,3a＋1]＝∅时，2a≥3a＋1，解得a≤－1，当(2a,3a＋1]≠∅时，－2≤2a<3a＋1≤7，解得－1<a≤2.综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．[答案]

(－∞，2][方法技巧]由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍[针对训练](2023·西安模拟)已知条件p：(x－m)(x－m－3)>0；条件q：x2＋3x－4<0.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是

(

)A．[－7,1] B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：设集合P＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|－4<x<1}．因为p是q的必要不充分条件，则Q是P的真子集，所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1，故选B.答案：B

层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(混淆条件与结论致误)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是

(

)A．x＜1 B．x＞1C．x＞4 D．x＞32．(弘扬传统文化)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．答案：B

其中，所有正确结论的序号是

(

)A．②

B．①③C．②③

D．①②③答案：C

4．(对命题中条件与结论否定不全面)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是______________________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠05．(忽视大前提致误)已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是______________