结构力学课件：位移法

位移法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念；掌握位移法基本未知量的判断；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算各种作用下的结构内力。教学目标位移法6-1

位移法的基本概念6-2

等截面直杆的转角位移方程6-3

位移法计算荷载作用下超静定结构6-4位移法计算广义荷载下超静定结构6-5位移法计算对称结构6-6位移法的基本体系教学内容位移法6-1位移法的基本概念14kNABC2m4m力法求解：三个多余未知力解三元一次方程未知位移角度：一个未知位移解一元一次方程θ思考2m课程导入图示两跨梁，求杆端弯矩。EI为常数，忽略杆件的轴向变形。整体分析基本未知量6-1位移法的基本概念整体分析杆件分析AB杆：求作用下B点弯矩BC杆：求和作用下B点弯矩离散基本未知量6-1位移法的基本概念·整体分析杆件分析AB杆：求作用下B点弯矩BC杆：求单独作用单独作用离散基本未知量6-1位移法的基本概念整体分析杆件分析离散整体分析基本未知量基本方程求超静定杆件内力（杆端弯矩）位移法6-1位移法的基本概念位移法的基本原理“化整为零、集零为整”（1）结构的独立结点位移（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩总结6-2等截面直杆的转角位移方程如何求杆端弯矩？单独作用单独作用6-2等截面直杆的转角位移方程形常数：单位结点位移引起的杆端内力。载常数：荷载引起的杆端内力。讨论如下三种基本杆件的形常数和载常数：（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁；（3）一端固定、另一端滑动支承的梁。符号规定：杆端剪力（杆端横向力）FQAB、FQBA

绕杆端顺时针转向为正。结点转角

A

、

B

、弦转角

（

=

/l)

和杆端弯矩（杆端力矩）M

AB

、M

BA一律以顺时针转向为正；1.等截面直杆的形常数（1）

杆端弯矩作用下产生的杆端转角：单位荷载法1.等截面直杆的形常数（2）

支座竖向位移导致的杆端转角：转角位移方程1.等截面直杆的形常数叠加（1）、（2）得刚度方程符号规定：杆端弯矩和转角都以顺时针为正；

杆端剪力以绕杆端顺时针转动为正。线刚度1.等截面直杆的形常数1.等截面直杆的形常数

2.等截面直杆的载常数如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，根据叠加原理，杆端弯矩及剪力为：2.等截面直杆的载常数（1）基本未知量（3）基本方程（2）杆端弯矩回顾：位移法的基本思路（4）回代求杆端弯矩回顾：位移法的基本思路（4）回代求杆端弯矩M图（5）作弯矩图6-3位移法计算荷载作用下超静定结构连续梁、无侧移刚架、有侧移刚架（1）结构的独立结点位移θB假定顺时针1.连续梁例1：采用位移法计算图示连续梁的杆端弯矩，并作弯矩图。（2）结构拆成杆件，做杆件分析杆端弯矩—荷载和变形（3）平衡方程，求解1.连续梁（4）回代，求杆端弯矩1.连续梁M图无侧移刚架刚架各节点（不含支座）只有角位移而没有线位移。2.无侧移刚架2.无侧移刚架例2：作图示刚架的弯矩图。（1）位移法基本未知量（2）各杆杆端弯矩令，则2.无侧移刚架（3）位移法的基本方程2.无侧移刚架解得注意：各杆用的是相对线刚度，所以求出的位移并不是真值。（4）回代求各杆杆端弯矩2.无侧移刚架M图无侧移刚架的位移法计算要点：

基本未知量：结点的转角位移

转角位移的个数=刚结点的个数

基本方程：结点的合力矩平衡方程

方程个数=刚结点的个数2.无侧移刚架有侧移刚架刚架除有结点转角外，还有结点线位移。基本思路与无侧移刚架基本相同，但增加：未知量有结点位移；杆件计算需考虑结点位移；基本方程增加与结点位移对应的平衡方程。3.有侧移刚架结点的位移（线位移、角位移）（1）角位移的数目（未知量）=刚结点数（2）线位移未知量数目不考虑轴向变形弯曲变形小，受弯矩长度不变。一般方法：取铰接体系：结点线位移数=自由度数=使铰结体系为几何不变体系所必加的最少铰链杆数3.有侧移刚架铰结体系的自由度数目=原结构的独立结点线位移的数目（为使该体系几何不变所需增加的约束个数）不考虑轴向变形铰接体系法3.有侧移刚架1个角位移，2个线位移3个角位移，2个线位移0个角位移，1个线位移1个角位移，0个线位移2个角位移，3个线位移不考虑轴向变形，判断下列体系的结点位移个数。3.有侧移刚架（1）基本未知量

C、Δ（2）杆端弯矩3.有侧移刚架例3：作图示刚架的弯矩图。（3）位移法方程3.有侧移刚架解得（4）回代求杆端弯矩并作弯矩图3.有侧移刚架M图练习：作图示结构的弯矩图4I04I05I03I03I0ABCDEF4m5m4m2m4m（1）基本未知量

B、

C、Δ（2）杆端弯矩20kN/m3.有侧移刚架4I04I05I03I03I0ABCDEF（3）位移法方程3.有侧移刚架6-4位移法计算广义荷载下超静定结构支座移动、温度改变例1：作图示连续梁支座C下沉ΔC时的弯矩图。解：（1）基本未知量θB（2）求杆端弯矩1.支座移动（3）列位移法方程（4）回代求杆端弯矩1.支座移动M图■温度改变时的计算，与支座移动时的计算基本相同。■杆件内外温差使杆件弯曲，产生固端弯矩。■温度改变时杆件的轴向变形使结点产生已知位移，使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分“固端弯矩”。2.温度改变解:2.温度改变例2：求排架由于温度均匀升高t引起的弯矩。立柱的线刚度为i，材料线膨胀系数为α。6-5位移法计算对称结构■作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载；■在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；■在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。■利用这些规则，计算对称结构时，可只取半边结构。

对称性的特点：6-5位移法计算对称结构(1)对称荷载▲在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。(2)反对称荷载▲在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。1.奇数跨对称结构(1)对称荷载▲在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形，也没有竖向位移。(2)反对称荷载▲柱CD只有弯曲变形，可按抗弯刚度分成两个柱子。▲C处的支杆对弯矩不起作用。2.偶数跨对称结构例：试作图示刚架的内力图。解：（1）取半边结构3.实例基本未知量为θC（2）杆端弯矩3.实例基本未知量为θC（3）位移法方程3.实例（4）回代求杆端弯矩（2）杆端弯矩M图例：作刚架由于温度改变所产生的弯矩。各杆截面尺寸相同。解：（1）半边结构基本未知量

B3.实例（2）求杆端弯矩▲各杆的相对横向位移：▲各杆的轴向变形▲各杆的固端弯矩■轴向温度变化引起的固端弯矩■两侧温度差产生固端弯矩3.实例杆端弯矩3.实例（3）列位移法方程（4）最终杆端弯矩（5）画弯矩图3.实例6-6位移法的基本体系

位移法的基本未知量：结点B的转角

1、杆BC水平位移

2

位移法基本体系：结点B和结点C施加相应的约束控制节点位移

基本体系与原结构体系等价的条件：

基本体系在给定荷载及结点位移的共同作用下，附加约束中的总约束反力一定等于零。位移法的基本体系位移法的基本结构（统一用

表示）6-6位移法的基本体系（1）结点位移

1=1单独作用第1个约束发生单位位移时，第1、2个约束装置产生的反力分别用表示。6-6位移法的基本体系（2）结点位移

2=1单独作用第2个约束发生单位位移时，第1、2个约束装置产生的反力分别用表示。6-6位移法的基本体系（3）荷载单独作用荷载单独作用下，第1、2个约束装置产生的反力分别用表示（自由项）。6-6位移法的基本体系M图6-6位移法的基本体系对于n个基本未知量问题，位移法方程为位移法典型方程结构的刚度矩阵kii——主系数，恒大于零；kij=kji——副系数，可正、可负、可为零；位移法的典型方程小