结构力学课件：结构的动力计算

结构动力计算Dynamicof

Structrues第10章

结构动力计算教学目标：

了解动力计算自由度的判断，有阻尼振动和无阻尼振动的区别与联系。

掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理及方法。

熟练掌握两个自由度体系自由振动时的动力特性（自振频率、主振型）的计算。

理解自由度体系在发生强迫振动时微分方程的建立方法以及和自由振动时的区别与联系。10-1结构动力计算的基本概念10-6双自由度体系在简谐荷载下的强迫振动教学内容：第10章

结构动力计算10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度无阻尼体系的强迫振动10-4阻尼对单自由度体系振动的影响10-5双自由度体系的自由振动1. 动力计算(1)

动荷载的特点是荷载随时间而变化动荷载区别于静荷载的关键性特征是，由于荷载变化所引起的动力响应不可忽略，即惯性力(Inertia

Force)影响不可忽略。10-1

概述(2)

动力计算的目的

与结构静力计算相似，动力计算的任务主要是研究结构在动力荷载作用下的各种反应，如变形、内力等，为结构设计提供依据。

由于在动力荷载作用下结构反应的特征性质，动力计算将涉及结构的一系列动力特征如频率、周期、振型等的研究与计算。1. 动力计算(3)

动力计算主要方法

动力计算的基本方法是以达伯原理(D’Alembert’sPrinciple)为理论依据的“动静法”，即在结构上施加“惯性力”，并将动力问题转化为静力问题来求解。

因此，动力计算的基本方法是以静力分析方法为基础的。结构静力学是学好动力学的重要前提。1. 动力计算2.

学习结构动力学的重要意义

结构动力设计计算的基础知识动力荷载作用下结构设计，城市建设环境评价（如轨道交通环境评价）等等。

工程防灾(抗风抗震)的重要先修内容地震破坏塔科马大桥风振破坏简谐荷载—机械振动t3. 动荷载类型

周期荷载FP

t

非简谐FP

t

t3. 动荷载类型周期荷载FP

t

FPFP

t

FPttr t

td在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。如爆炸荷载等

冲击荷载3. 动荷载类型

随机荷载

：地震、风806040200-20-40-60唐山地震北京饭店测点（南北向部分）19767.28

03:42单位:cm/s2时间间隔0.01

s3. 动荷载类型4.

动力自由度确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要确定的独立几何参数的数目。⑴ 集中质量法x1y2n=2n=2为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。n=1n=1n=3mn=2n=∞4.

动力自由度不计轴向变形n=1n=2n=1n=24.

动力自由度y1

自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系;自由度无限多的体系为无限自由度体系。4.

动力自由度平面上的一个刚体y2y(x,t)x(2)

广义坐标法m

(

x)无限自由度体系变形曲线可用三角级数表示：ny(

x,

t)

ak

(t)

sink

1k

xl形状函数广义坐标xxny(

x,

t)

ak

k

(

x)k

1yy(x,t)（3）有限元法FiniteElement

Method

1

(x)

2

(x)

1

14y(x)

[

yi

1i

(x)

i

2i

(x)]i

11y1

12348自由度10-2 单自由度体系的自由振动Free-vibrationofsingledegreeoffreedom

system教学目标：

掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理。

正确理解单自由度体系自由振动的动力特性。

熟练掌握这些动力特性的计算。教学内容：

自由振动微分方程

自由振动微分方程的解

结构的自振周期与频率理论力学知识的回顾k y ykym脱离体受力分析：弹性力—ky,与位移y

的方向相反m

y

m

y

ky

0m

y

惯性力—-m

y

与加速度的方向相反1. 自由振动微分方程kyykymmyky悬臂柱－质量体系的自由振动

m

y

kym

y

m

y

ky

0刚度系数

k由结构力学方法求解1. 自由振动微分方程myky

m

y

建立振动微分方程的2

种思路悬臂柱－质量体系的自由振动mym

y

刚度法 k对质点进行受力分析，利用平衡条件m

y

ky

0

柔度法 δ对体系进行受力分析，质点位移y

(

m

y

)对单自由度体系1k

1m

y

y

01. 自由振动微分方程自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律m

y

ky

0自由振动微分方程：令mk

2

k

y

y

0m

y

2

y

0这是一个齐次方程，其通解为y(t)

C1

cos

t

C2

sin

t2. 自由振动微分方程的解

2C

v0C1

y0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

y

2

y

0y(t)

C1

cos

t

C2

sin

tC1和C2

可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为y(0)

y0 y

(0)

v02. 自由振动微分方程的解yty

T T

v

v

0-y

y T t0y0

A-Ay cos

t

vsin

t

Asin

t

0

vtA

y2

(0

)2v0y

,

tan

1

0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t2. 自由振动微分方程的解T

自振周期

T

2

y(t)

Asin(

t

)yt0AA

aT

stm

2

m

2

W

2

k g gT

2

ω

圆频率或角频率，或简称频率gm

st

W

m

k

1 g3. 结构的自振周期与频率思考外界干扰（初始速度、初始位移）对周期、频率等有影响吗？例10-1如图所示为一个单层建筑理想化刚性横梁支撑在立柱上，假定立柱忽略立柱质量和结构阻尼，为计算结构动力特性，对该结构进行自由振动试验。试验中千斤顶作用在横梁顶部，使横梁产生侧向位移，此时横梁位移为0.5cm，千斤顶施加的力为90kN，然后突然释放使结构产生振动，通过记录横梁位移，测得位移循环周期为1.4s，第一个往复摆动的最大位移为0.4cm。试确定横梁有效重量和结构无阻尼振动频率，结构阻尼比和阻尼系数。3. 结构的自振周期与频率解：（1）横梁有效重量3. 结构的自振周期与频率解：（2）无阻尼振动频率（3）阻尼特性对数衰减率阻尼比阻尼系数3EIl

3

Wl11ml

33EI

m

解：Wl1

EAl

mlEA

m

13. 结构的自振周期与频率例10-2 求图示悬臂杆的自振频率。（杆件截面积

A，惯性矩I，弹性模量

E，自身质量不计，杆顶重物重量为W）mABhC

l 例3: 求图示结构自振频率

。（EI

为常数，杆件自身质量不计）[分析] 图乘法求位移1hh23EIh(h

l)

1 (

1

h2

2

h

1

hl

2

h)

EI 2 3 2 31 3EImh2

(h

l)

m

[讨论]当AB刚度改变为无穷大，或BC改变为无穷大，或均不改变，试比较3

者频率大小。3. 结构的自振周期与频率IIEI1=

h

1kh26EIh26EIh26EIh26EIh312EIh312EIh324EIk

3mhmk

24EI

mh24EI3T

2

3. 结构的自振周期与频率例4：计算图示刚架的频率和周期。ml l

l EI

常数12Ml2l34

1l

l 2

l

EI

22

2

3

3EI1 3EIml3m

水平振动

柔度法 δ3. 结构的自振周期与频率例5：计算结构水平振动和竖直振动时的自振频率，忽略自重。m1132l33EEII3E2lIl22

0.53EI2l33EI2l3l3k

3EIk3EImml3

3. 结构的自振周期与频率

刚度法 k124

0.25

0.751l63l5l16

2

1

l

3l

3l

2

1

l

3l

3l

2

1

5l

16

163

216

16 3 3 16

EI

2

15l

5l

21 3l

7l3

l

2

16

16

3

3

16

96EI7ml3l 7mlm

1 96EI

4

6EI3. 结构的自振周期与频率竖向振动

柔度法 δ16EIl

26EI

l 37

218EI7l2302EI7l4

348EI

7l748EI7l348EI7l3k7l3k

96EIkm7ml396EI

4

6EIl7ml

刚度法 k3. 结构的自振周期与频率竖向振动3. 结构的自振周期与频率SDOF的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。3. 结构的自振周期与频率

拓展——重力的影响yWkm

y

ky

W如果在总位移y中，引入由重量W引起的静位移yst以及由动荷载引起的位移y

之和来表示：y

y

ystm

y

kyst

ky

Wkyst

Wm

y

ky

0以静力平衡位置作为基准点l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2ml

3

1

48EI7l

3

2

768EIl

3

3

192EI11ml

348EI

m

1

217ml

3768EI

m

2

31ml

3192EI

m

3

结构约束越强，其刚度越大，自振动频率也越大。据此可得：

1:

2:

3

1:1.512

:

23. 结构的自振周期与频率

拓展——定性分析例：图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。3. 结构的自振周期与频率

拓展——复杂问题例：求图示结构的自振频率。lEIk1k11

mk11k3l3EI11l

3k

k

3EImk

l

3

11m3EI

k

y

(t)

A

2

sin(

t

)I

(t)

m

y

(t)

mA

2

sin(

t

)在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。sin(

t

)

1时，其值分别为：幅值产生于y

A

y

A

2I

mA

2由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。加速度：惯性力：3. 结构的自振周期与频率

拓展——振动特性y(t)

Asin(

t

)ADl

/2l

/2lm1

mm13 B EI=

C 2m

kBCk

m1m2

A

.1..A2k

l

1I

2I例：计算图示体系的自振频率。 解：单自由度体系，以

表示位移参数的幅值,

各质点上所受的力为：1 1 12I

m

2A

m

2

l

22 2 21I

m

A

m

l

2

2

MB

01 22 2I

l

I

3

l-k

l

l

01m

2

l

l

1

m

2

l

3

l

k

l

l

02 2 2化简后得 m

2

km

k2

小结

自由振动微分方程刚度法 k柔度法 δm

y

ky

0y

(

m

y

)

自由振动微分方程的解

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

结构的自振频率ggm

st

W

m

k

1

10-3单自由度体系的强迫振动教学目标：理解单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的特点

熟练掌握简谐荷载作用下结构动力响应的计算会应用Duhamel积分计算一般荷载作用下的结构动力响应教学内容：强迫振动微分方程的建立简谐荷载作用下振动微分方程的解、动力系数一般荷载作用下Duhamel积分原理突加荷载和短时荷载作用下的动力响应Forced-vibrationofsingledegreeoffreedomsystem强迫振动(受迫振动)：结构在动荷载作用下的振动。

1.强迫振动微分方程简谐荷载分两种情况讨论该方程的求解：一般动力荷载

1.强迫振动微分方程齐次解：特解：

2.简谐荷载作用下的强迫振动将荷载幅值F当作静荷载作用于结构上时所产生的位移通解：2.简谐荷载作用下的强迫振动按自振频率振动由于阻尼的存在而迅速衰减瞬态TransitState稳态SteadyState由初始条件引起伴生自由振动稳态强迫振动按荷载频率振动代入初始条件2.简谐荷载作用下的强迫振动稳态振动位移：动力系数：（位移放大系数）稳态振动最大位移：2.简谐荷载作用下的强迫振动动力系数当θ<<ω时，β→1，相当于静力作用当θ>>ω时，β→0，动力反应趋于零当θ→ω时，β→∞，发生共振，共振区：2.简谐荷载作用下的强迫振动动力系数与频率比的关系强迫振动稳态响应的特点2.简谐荷载作用下的强迫振动位移：加速度：惯性力：当质点达到最大动位移时，惯性力和外荷载均达到最大值：注意此时惯性力和外荷载的方向不一定相同。（1）让质点发生位移，再按静力方法计算产生该位移所需要的力。2.简谐荷载作用下的强迫振动最大动内力的两种计算方法：（2）将动荷载幅值乘以动力系数β，作用于质点处，再按静力方法计算内力。

适用于易求刚度系数的结构（超静定）。

适用于受力分析较简单的结构（静定）。例1：有一悬臂钢梁，如图所示，梁长为1.75m，截面为I28b工字钢，惯性矩为I=7480cm4，截面系数WI=534cm3，弹性模量。结构悬臂端有重量G=25kN的电机。由于电机有偏心，转速n=450r/min时，电机转动时产生离心力为Fp=15kN，离心力的竖向分量为，忽略梁本身重量，试求钢梁在竖向简谐荷载作用下强迫振动的动力系数和最大正应力。2.简谐荷载作用下的强迫振动解：（1）自振频率（2）荷载频率2.简谐荷载作用下的强迫振动（3）计算动力系数（4）计算截面最大正应力悬臂端最大正应力包含电机重量产生的最大正应力和简谐荷载作用下产生的最大正应力，其中简谐荷载作用下产生的最大正应力为简谐荷载幅值作用下最大正应力的倍（1）自振频率（2）荷载频率（3）动力系数（4）最大动位移、最大动内力2.简谐荷载作用下的强迫振动（5）最大位移、最大内力柔度法：2.简谐荷载作用下的强迫振动拓展-当荷载没有作用在质点上时2.简谐荷载作用下的强迫振动为静荷载作用在2位置（跨中）时在1位置（质量处）产生的位移质点位移运动方程可等效为思路：（1）设体系在初始时刻处于静止状态，有瞬时冲量S作用tFP(t)F初速度引起的自由振动在t＝0时刻，受瞬时冲量S所引起的动力响应将一般动力荷载视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和。

3.一般荷载作用下的强迫振动初始速度初始位移位移响应（2）设体系在初始时刻处于静止状态，在t=τ时有瞬时冲量S作用在t＝τ时刻，受瞬时冲量S所引起的动力响应3.一般荷载作用下的强迫振动tFP(t)F位移响应（3）任意动荷载下的动力反应

Duhamel积分——将整个加载过程看作由一系列瞬时冲量组成。

3.一般荷载作用下的强迫振动tFP(t)瞬时冲量引起的位移响应从0到t积分得若初始位移y0和初始速度v0不为零，则总位移为

突加荷载短时荷载下面利用Duhamel积分求两种典型一般荷载下的动力反应：3.一般荷载作用下的强迫振动Duhamel积分其中，表示在荷载幅值F作用下所产生的静位移。

Fp(t)tF3.一般荷载作用下的强迫振动突加荷载时，突加荷载所引起的最大位移为相应静位移的2倍ysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动突加荷载下的位移响应动力系数2.一般荷载作用下的强迫振动Fp(t)tuF3.一般荷载作用下的强迫振动短时荷载阶段I(0≤t≤u)：此阶段的荷载情况与突加荷载相同。阶段Ⅱ(t≥u)：以阶段I终了时刻(t=u)的位移和速度作为起始位移和起始速度，作自由振动。其中，阶段Ⅱ(t≥u)：以阶段I终了时刻(t=u)的位移和速度作为起始位移和起始速度，作自由振动。方法一：其位移反应可按自由振动的解直接写出方法二：按Duhamel积分计算2.一般荷载作用下的强迫振动方法三：按两个突加荷载叠加FP(t)tFP0uFP03.一般荷载作用下的强迫振动第一种情况：当u>T/2（加载持续时间大于半个自振周期）时，最大位移反应发生在阶段I，动力系数第二种情况：当u<T/2时，最大位移反应发生在阶段II，动力系数动位移的最大值短时荷载下的位移响应动力系数2.一般荷载作用下的强迫振动T-结构自振周期u-加载持续时间β1/611/22短时荷载作用下的动力系数：短时荷载作用下的动力系数与加载持续时间的长短有关。3.一般荷载作用下的强迫振动拓展：支承动力作用下的动力响应分析实例：

地震、人在船上、动力基础、车辆模型：

kmyg(t)y(t)质点的位移由两部分组成：绝对位移支承位移相对位移受力分析，列平衡方程：惯性力：弹性力：kmyg(t)y(t)绝对位移支承位移相对位移支承运动的加速度为时，相当于在质点上施加动荷载例：图示悬臂梁长2m，质量为120kg，E=2.1×105MPa，I=245cm4，梁固定端做简谐振动yg(t)=AsinӨt，其中A=0.5cm，Ө=24πrad/s。求梁自由端的最大位移。运动方程：稳态振动：总位移：梁自由端最大位移：负号：支承位移的方向与总位移反向；0.394：输入小于输出，振动降低了。内力放大系数：思考：此时内力放大系数与位移放大系数相等吗？内力与相对位移有关位移放大系数：

10-4阻尼对振动的影响教学目标：了解阻尼的来源、种类和特点掌握阻尼对动力特性的影响及计算方法了解有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下的振动特点教学内容：阻尼的概念和类型有阻尼单自由度体系的自由振动有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动有阻尼单自由度体系在突加荷载作用下的强迫振动Theinfluenceofdampingonvibration无阻尼单自由度体系的自由振动123123振幅永不衰减？共振时，振幅可趋于无穷大？Tyt0

A-A实际中，振动系统的能量会逐渐耗散、振动幅度逐渐下降。无阻尼单自由度体系在简谐荷载下的强迫振动

1.阻尼内因，如结构与支承之间的摩擦、结构构件（或非结构构件）之间的摩擦、结构材料之间的内摩擦等；外因，如周围空气、土壤等介质的阻力。阻尼的定义：阻尼的来源：使振动系统的能量耗散、振动幅度逐渐下降的作用。

1.阻尼粘滞阻尼从方向上看，阻尼力总是与质点的速度方向相反（相对速度）从数值上看，阻尼力与质点速度主要有如下三种关系：粘滞阻尼是目前动力分析中应用最广泛的阻尼假定

与速度成正比与速度的平方成正比如固体在流体中受到的阻尼力与速度的大小无关如摩擦阻尼c--阻尼系数阻尼力：

1.阻尼有阻尼体系的自由振动方程：

2.有阻尼单自由度体系的自由振动令运动方程特征方程特征方程的解阻尼比频率

2.有阻尼单自由度体系的自由振动共轭复根等实根不等实根

2.有阻尼单自由度体系的自由振动低阻尼体系的自振频率运动方程的通解

2.有阻尼单自由度体系的自由振动(1)低阻尼情况代入初始条件

2.有阻尼单自由度体系的自由振动自由振动响应化简得其中，tyty无阻尼单自由度体系的自由振动有阻尼单自由度体系的自由振动振幅随时间衰减

2.有阻尼单自由度体系的自由振动阻尼对振幅的影响：振幅为

ξ值越大，振幅衰减速度越快

振幅的对数衰减率ty

2.有阻尼单自由度体系的自由振动

工程中常用此方法测定结构的阻尼比。相隔n个周期

常见建筑材料的阻尼比均较小，如钢材(0.004-0.03),木材(0.04),混凝土(0.05-0.08);

土木工程结构的阻尼比通常在0.01-0.1之间，一般不超过0.05。

2.有阻尼单自由度体系的自由振动tyy0不再引起振动临界阻尼运动方程的通解特征根代入初始条件得(2)临界阻尼情况

2.有阻尼单自由度体系的自由振动体系在自由反应过程中，不发生振动现象。实际中很少发生，不做讨论。(3)高阻尼情况

2.有阻尼单自由度体系的自由振动例:通过图示结构做自由振动实验，假设质量集中在横梁上。用油压千斤顶使横梁产生侧向位移，当梁侧移0.5cm时，需加侧向力10kN。在此初位移状态下放松横梁，经过一个周期(T=1.40s)后，横梁最大位移仅为0.4cm。试求:(a)阻尼比ξ；(b)阻尼系数c

；(c)振动6周后的位移振幅。

2.有阻尼单自由度体系的自由振动EI=∞m解:

2.有阻尼单自由度体系的自由振动，满足前提假定。(a)阻尼比ξ(c)振动6周后的位移振幅(b)阻尼系数c

3.有阻尼单自由度体系在简谐荷载下的强迫振动有阻尼强迫振动的运动微分方程只讨论低阻尼体系（）。简谐荷载作用下的运动微分方程阻尼比频率

3.简谐荷载下的有阻尼强迫振动特解：齐次解：稳态反应表达式可写为：yst表示荷载幅值F作用下结构的静位移。自由振动会因阻尼作用而逐渐衰减消失稳态强迫振动振幅和周期不随时间变化有阻尼强迫振动的位移反应：

3.简谐荷载下的有阻尼强迫振动动力系数θ/ω

3.简谐荷载下的有阻尼强迫振动增加结构的阻尼比可以减小结构位移反应，对应的技术措施是耗能减振。动力系数

3.简谐荷载下的有阻尼强迫振动共振时的动力系数：动力系数的最大值：θ/ω惯性力弹性力共振时的受力特点（）阻尼力共振时，惯性力与弹性力平衡，阻尼力与外界干扰力平衡。无阻尼体系共振时，惯性力仍与弹性力平衡，但没有力与外界干扰力平衡，以致出现位移、内力趋于无穷大的情况。

3.简谐荷载下的有阻尼强迫振动

4.有阻尼单自由度体系在一般荷载下的强迫振动求解方法：仍然将整个加载过程看作由一系列瞬时冲量组成。低阻尼体系的自由振动响应初始时刻瞬时冲量作用下时刻瞬时冲量作用下低阻尼体系强迫振动的Duhamel积分公式：最初所引起的最大位移约为静力位移的2倍；振动逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置上。ysty(t)ωrt0π2π3π4π5πFP(t)tFP4.一般荷载下的有阻尼强迫振动突加荷载小结低阻尼单自由度体系的自由振动有阻尼自振频率：阻尼临界阻尼:振幅的对数衰减率：阻尼比:低阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动最大动力系数共振时的动力系数

10-5双自由度体系的自由振动教学目标：掌握刚度法和柔度法建立自由振动微分方程理解频率方程和振型等概念掌握自振频率、振型的计算教学内容：刚度法和柔度法建立自由振动微分方程自由振动微分方程的解、特征方程及自振频率、振型振型的正交性Freevibrationof2-DOFsystem

1.刚度法列自由振动方程转换为静力问题刚度法：发生位移、需要多大的力？柔度法：、作用下产生多大的位移？①②1①②1

1.刚度法列自由振动方程自由振动方程：①②①②111.刚度法列自由振动方程求刚度系数：

1.刚度法列自由振动方程层间侧移刚度层间侧移刚度：层间发生单位相对侧移时所需的力（层间剪力）自由振动方程自由振动方程的解设其中一个解的形式为两个质点的位移在数值上随时间变化，但二者的比值始终保持不变，即两个质点具有相同的频率ω和相位角α特点：

1.刚度法列自由振动方程频率方程（特征方程）FrequencyEquation双自由度体系有两个自振频率：较小的圆频率，称为第一（圆）频率或基本（圆）频率；另一个（圆）频率称为第二（圆）频率。振幅方程AmplitudeEquation

1.刚度法列自由振动方程第一振型或基本振型第二振型代表第m个质点的振动代表第n阶频率下

1.刚度法列自由振动方程第一主振型基本频率ω1

第二主振型基本频率ω2

1.刚度法列自由振动方程两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振动。可得自由振动方程的全解：由初始条件来确定。

1.刚度法列自由振动方程特别地，当初位移或初速度与某振型成比例时，多自由度体系将按该振型作自由振动。解：

1.刚度法列自由振动方程例：如图所示双自由度体系，质点1和2质量分别为和，层间高度为和，层间抗弯刚度为和，忽略系统阻尼，试求该结构体系的自振频率及对应振型。第一层的层间刚度为第二层的层间刚度为结构刚度系数为

若

1.刚度法列自由振动方程当，

当时，得结构第一频率和第二频率第一振型：第二振型：

1.刚度法列自由振动方程当，

,得结构第一频率和第二频率第一振型：第二振型：第i个质点：拓展——n自由度体系自由振动方程：

1.刚度法列自由振动方程写成矩阵形式：即：多自由度体系的自由振动方程

1.刚度法列自由振动方程振幅方程频率方程求出频率注意：自振频率应按照由小到大的顺序排列，最小的为第一阶（基本）频率振幅向量对应的为振型

1.刚度法列自由振动方程自振频率个数=自由度的个数；每个自振频率都对应各自的主振型；自振频率、主振型是体系本身的固有性质，只与体系本身的质量、刚度有关，与外荷载无关。多自由度体系自振频率的特点：

1.刚度法列自由振动方程

2.柔度法列自由振动方程思路：质量

、的位移

、

等于体系在惯性力、作用下所产生的静位移。

11自由振动方程：自由振动方程自由振动方程的解同样地，设其中一个解为

2.柔度法列自由振动方程代入得12振幅

、等于体系在对应主振型的惯性力幅值作用下所引起的静位移频率方程令，求得

2.柔度法列自由振动方程振幅方程频率第一振型第二振型（较小的频率）

2.柔度法列自由振动方程例1：试求图所示截面外伸梁自振频率和主振型，假定集中质量

2.柔度法列自由振动方程解：（1）柔度系数。

2.柔度法列自由振动方程（2）求结果自振频率。

结构两个自振频率为求结构主振型

2.柔度法列自由振动方程例2验证图所示结构体系主振型的正交性。。

解：根据计算有满足主振型正交性。正对称反对称拓展——应用对称性作振型图

2.柔度法列自由振动方程第一振型第二振型第一振型第二振型正对称：

2.柔度法列自由振动方程第三振型第四振型

2.柔度法列自由振动方程反对称：

求刚度矩阵和