第11讲-导数中的新定义问题(学生版)

第11讲导数中的新定义问题（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算3能结合导数知识进行综合求解【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习知识讲解新定义问题的解决策略第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解考点一、导数中的新定义问题1．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）函数，的定义域都是，直线与，的图象分别交于，两点，若线段的长度是不为的常数，则称曲线，为“平行曲线”设，且，为区间的“平行曲线”其中，在区间上的零点唯一，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（

）A． B．C． D．2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（

）A． B．C． D．3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数．4．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.8．（2022·河北石家庄·统考一模）已知函数，.(1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）.【基础过关】一、单选题1．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（

）（精确到）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（

）A． B．C． D．4．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知定义在区间上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称为函数在上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（

）A． B．C． D．5．（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（

）A．函数与存在唯一“点”B．函数与存在两个“点”C．函数与不存在“点”D．若函数与存在“点”，则7．（2023·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（）A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D．若函数，则三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则.9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为.四、双空题10．（2022秋·云南曲靖·高三校联考阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则的拐点为，.【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（

）A．2021 B． C．2022 D．2．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为.若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”.已知实数是常数，.若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上“中值点”的个数为，函数在区间上“中值点”个数为，则有（

）（参考数据：，，，.）A． B． C． D．4．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上的“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（

）A．函数在任意区间上都不可能是“对望函数”B．函数是上的“对望函数”C．函数是上的“对望函数”D．若函数为上的“对望函数”，则在上单调5．（2022秋·湖南长沙·高三统考阶段练习）若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为.若二元函数，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最小值为D．的最小值为6．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是7．（2022·全国·高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（

）A．在上是“弱减函数”B．在上是“弱减函数”C．若在上是“弱减函数”，则D．若在上是“弱减函数”，则三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.四、解答题9．（2022·湖南·模拟预测）设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数．(1)求a的取值范围；(2)设函数，证明：当时，，当时，．(3)证明：．10．（2022·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类