江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题（解析版）

2024年HGT第一次模拟测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟一､单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C.2.已知复数满足，则（）A.3 B. C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】先由复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的模长公式求解即可.【详解】由可得：，所以，所以.故选：B.3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.51 B.34 C.17 D.1【答案】C【解析】【分析】由题意列方程组可求出，，再由等差数列的前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为，所以由可得：，解得：，所以.故选：C.4.已知，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得.详解】由，得，设，由的否定为，令，当且仅当时，又，即等号成立，若，则，若，则，设，因为，所以且，所以是的充分不必要条件故选：A5.已知抛物线的焦点为是抛物线在第一象限部分上一点，若，则抛物线在点A处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据抛物线的定义求得，，再根据导函数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出方程即可【详解】设，由，得，所以抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得，得代入，得，又A是抛物线在第一象限部分上一点，所以由，得，所以，所以抛物线在点A处的切线方程斜率为，所以抛物线在点A处的切线方程为，即，故选：A6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数和指数函数的性质可得，即可得出答案.【详解】因为，所以.故选：D.7.已知函数，则下列结论中错误的是（）A.是奇函数 B.C.在上递增 D.在上递增【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义可判A；根据复合函数的单调性并求出最值判断B、C、D【详解】因为，所以定义域关于原点对称，且，所以是奇函数；故A对；令，所以在单调递增，所以，即，又在单调递增，所以在单调递增，故D对；因为是奇函数，所以在上递增，故C对，综上，，则，故B错；故选：B8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点和棱的中点处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，得到为菱形，从而得到多能装入的体积为长方体的体积加上长方体的体积的一半，结合正方体的体积求出答案.【详解】棱长为2的正方体的体积为，在上分别取，使得，又为棱的中点，故由勾股定理得，故四边形为菱形，故四点共面，取的中点，连接，则平面将长方体的体积平分，故以为轴转动正方体，则用此容器装水，则最多能装入的体积为长方体的体积加上长方体的体积的一半，故最多能装水的体积.故选：C二､多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间中两条不同直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定判断选项A；根据面面平行的性质以及线面平行的定义判断选项B；根据线面垂直的定义判断选项C；根据面面垂直性质判断选项D【详解】若，则或，故A错；若，则m与平面无公共点，故，故B对；若，则m垂直于内的任一条直线，所以，故C对；若，则n与可能平行或相交或在内，故D错；故选：BC10.已知圆与直线交于两点，设的面积为，则下列说法正确的是（）A.有最大值2B.无最小值C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】设出点线距离，求出面积取值范围判断AB，利用圆的对称性判断C，将D转化为逆否命题再判断即可.【详解】由题意得必过，如图，取中点为，故，设为，故，易知，即，故，令，而，由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确，由二次函数性质得，在单调递增，在单调递减，易知当时，，当时，，故，则B正确对于C，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，由圆的对称性知，故不论取何值，必有，故C错误，易知D的逆否命题为若，则，故欲判断D的真假性，判断其逆否命题真假性即可，显然当时，则，故D正确，故选：ABD11.某环保局对辖区内甲､乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（）A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65C.甲地区环境治理达标D.乙地区环境治理达标【答案】ACD【解析】【分析】根据条件分别求出平均数和方差判断选项A、B；根据条件判断甲乙地区的每天空气质量指数判断选项C、D【详解】甲地区平均数为80，乙地区平均数为70，则甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是，故A对；设甲乙两地区连续10天检查所得数据分别为和，所以，得，，得，由，由，甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是，甲地区平均数为80，方差为40，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于，所以能确定甲地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以甲地区环境治理达标，故C对；乙地区平均数为70，方差为90，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于，所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以乙地区环境治理达标，故选：ACD12.已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（）A.当时，B.存在，使得C.若与交于点时，且三角形为等边三角形，则D.若与曲线相切，切点为，则【答案】ACD【解析】【分析】根据导数求出两直线斜率可判断选项A、B；根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出，判断选项C；利用导数的几何意义求出斜率判断选项D【详解】由题意得，由，得，如图，可知与交点是可得，，由，得，所以直线的斜率为，由，得，所以直线的斜率为，即直线的斜率等于直线的斜率，所以，故A对；因为，所以不存在，使得，故B错；如图，设的倾斜角分别为，因为三角形为等边三角形，所以，又，所以，整理得，所以，因为在曲线上，所以，所以，故C对；若与曲线相切，切点为，则，即，又在上，所以，所以，即，故D对；故选：ACD【点睛】关键点点睛:根据导数的几何意义求出直线斜率，结合两直线平行和垂直的斜率关系进行判断各项.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则向量夹角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.【详解】因为，所以，所以向量夹角的余弦值为：.故答案为：.14.的展开式中的系数是__________.【答案】160【解析】【分析】根据二项式展开，然后在与相乘，找到这一项即可.【详解】由于题目要求的系数，所以对于的展开项中，没有这一项.所以只需要求出的项在与相乘即可.，故系数为160.故答案为:160.15.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为，，得到甲乙两人坐上摩天轮转过的角度，分别列出甲乙离地面的高度，，然后得到，由的取值范围即可求解.【详解】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为，，则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为，，则甲距离地面的高度为，乙距离地面的高度为，则因为，所以，所以，即.故答案为：.16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据矩形的性质求出，由题意求出，根据旦德林双球模型和双曲线定义可得，求出a、c即可【详解】如图，是圆锥与球的切点，是球心，P是截口上任一点，连接，则，所以，，所以是矩形，连接，则，因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为，即，所以，根据对称性得,所以，故两圆的公切线长为6连接，PA，OP，设OP与球的切线交于K，与球的切线交于H，则，所以，得，在中，，所以，得曲线的离心率为故答案为：四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间；（2）由（1）易判断时单增，在时单减，进而求出.【小问1详解】，令，得，即，所以的单调递减区间为；【小问2详解】当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即的最大值为.18.对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.（1）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；（2）若是公差为2等差数列，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前项和即可.（2）利用累乘法求通项公式即可【小问1详解】由题意知，因为，且是公比为2的等比数列，所以，因为，所以数列首项为1，公比为4的等比数列，所以；【小问2详解】因为，且是公差为2的等差数列，所以，所以，所以，所以，因为，所以.19.如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由锐角三角函数求出、，又，利用两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得；（2）解法1：首先求出，再由，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到，再由计算可得.【小问1详解】由已知，，，因为，所以，所以在中由余弦定理可得.【小问2详解】解法1：因为，又因为，所以，即，解得.解法2：因为，所以，又，，所以，又因为，所以，则，所以.20.甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是，经济形势不好的概率是.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.【答案】（1）0.5；（2）甲公司应该选择方案二，理由见解析【解析】【分析】（1）由全概率公式即可得解；（2）方案一服从两点分布，由此求出对应的概率可得期望；方案二有三种情况，分别算出相应的概率，结合期望公式算出期望，比较两个期望的大小即可得解.【小问1详解】记投资期间经济形势好为事件，投资期间经济形势不好为事件，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件，则，因此；【小问2详解】若采取方案一，则该公司获得的利润值万元的分布列是500.40.6万元；若采取方案二：设该公司获得的利润值为万元，有以下情况，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，，其发生的概率为：，因此，随机变量的分布列为：49.50.180.50.32因此，万元，因为，所以甲公司应该选择方案二.21.如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）为中点，.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质定理得，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行的判定可证；（2）利用线面垂直可得，进而得平面，由线面垂直得，然后根据等边三角形三线重合即得为中点，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式求解即可【小问1详解】设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD平分，又为棱的中点，所以,在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.【小问2详解】平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P在底面的投影H为线段EC