2006级信息安全数学基础试卷-A

《信息安全数学基础》试卷第5页共6页姓名学号学院姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷A注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共四大题，满分100分， 考试时间120分钟。题号一二三四总分得分评卷人选择题：（每题2分，共20分）1．如果a≡b(modm)，c是任意整数，则下列结论错误的是()。(1)ac≡bc(modmc)，

(2)m|a-b，(3)(a,m)=(b,m)

，

(4)a=b+mt,t∈Z。2．设a,b,c0是三个整数，ca，cb，如果存在整数s,t，使得sa＋tb＝1，则()。(1)(a,b)=c，(2)c＝1，(3)c＝sa＋tb，(4)c＝1。3．模30的简化剩余系是()。(1)－1,2,5,7,9,19,20,29，(2)－1,－7,10,13,17,25,23,29，(3)1,7,11,13,17,19,23,29，(4)3,7,11,13,17,19,23,29。4．设a,b,c是三个不全为零的整数。如果a=bq+c,其中q是整数，则有()。(1)(a,b)=(q,c)，(2)(a,b)=(b,c)，(3)(a,b)=c，(4)(a,b)=(a,c)。5．设n是正整数，则()。(1)d，(2)n，(3)nd，(4)(n)。6．下面的集合和运算是群的是()。(1)<N，＋>（运算“＋”是自然数集N上的普通加法）(2)<R，×>（R是实数集，“×”是普通乘法）(3)<Z，＋>（运算“＋”是整数集Z上的普通加法）(4)<P（S），∩>（P（S）是集合S的幂集，“∩”为集合的交）7．下面各组数中，均为模7的平方剩余的是()。(1)1,3,4，(2)1,2,4，(3)3,5,6，(4)1,2,3,4,5,6。8．下面各组数中，均为模14的原根的是()。(1)2,3,4,5，(2)3,6,8,10，(3)9,11,13，(4)3,5。9．Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有()。(1)ap＝1(modp)，(2)a(p)＝1(moda)，(3)a(p)＝a(modp)，(4)ap＝a(modp)10．设a是整数，A．a≡0（mod9），B．a≡2008（mod9）C．a的十进位表示的各位数字之和可被9整除D．去掉a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（）。(1)1个，(2)2个，(3)3个，(4)4个。二．填空题：（每题2分，共20分）1．设m是正整数，a是满足am的整数，则一次同余式：axb(modm)有解的充分必要条件是。当同余式axb(modm)有解时，其解数为。2．设m是正整数，则m个数0,1,2,…,m－1中叫做m的欧拉(Euler)函数，记做(m)。3．整数2t＋1和2t－1的最大公因数(2t＋1，2t－1)＝。4．设a,b是正整数，且有素因数分解，，则(a,b)＝，[a,b]＝。5．如果a对模m的指数是，则a叫做模m的原根。6．设m是一个正整数，a是满足的整数，则存在整数a¢，1≤a¢＜m，使得aa¢≡1(modm)。7．Wilson定理：设p是一个素数，则。8．(中国剩余定理)设m1,…,mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1,…,bk同余式组xb1(modm1)…………xbk(modmk)有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,k，则同余式组的解为：，其中。9．正整数n有标准因数分解式为，则n的欧拉函数(n)＝。10．设G和G¢是两个群，f是G到G¢的一个映射。如果对任意的a,b∈G，都有，那么，f叫做G到G¢的一个同态。三．证明题（写出详细证明过程）：（共30分）1．证明：形如4k+3的素数有无穷多个。（6分）2．设a,b是两个整数，其中b>0。则存在唯一一对整数q,r使得a=bq+r，0£r<b。（6分）3．设p，q是两个不同的奇素数，n＝pq，a是与pq互素的整数。整数e和d满足(e,(n))＝1，ed1(mod(n))，1<e<(n)，1d<(n)。证明：对任意整数c，1c<n，若aec(modn)，则有cda(mod4．证明：设p和q是两个不相等的素数，证明：。（6分）四．计算题（写出详细计算过程）：（