(易错题)初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣72．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（）A． B．C． D．3．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝(a﹣2)x2+2(a﹣1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．12 B．15 C．17 D．204．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A． B． C．6 D．6．已知二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，当为整数时，的值为()A．或1 B．或1 C．或 D．或7．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是（）A． B． C． D．8．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（）．A． B．C． D．9．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．关于的方程有两个相等的实数根D．10．抛物线的顶点坐标为（）A． B． C． D．11．已知二次函数的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A．B．方程的两根是C．D．当x>0时，y随x的增大而减小．12．抛物线的对称轴是（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．14．已知二次函数为常数，）上有五点、；有下列结论：①；②关于的方程的两个根是和；③；④为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．15．已知点P（m，n）在抛物线上，当时，总有成立，则实数a的取值范围是_______．16．已知二次函数的图象与轴只有一个交点．请写出一组满足条件的的值：__________，_________________17．已知自变量为的二次函数经过两点，若方程的一个根为，则其另一个根为__________．18．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系为__________．19．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是_______．20．设A（－3，y1），B（－2，y2），C（，y3）是抛物线y＝（x+1）2－m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_______．（用“＞”连接）三、解答题21．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x的范围．22．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点．（1）求二次函数的解析式；（2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值；（3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值增大，求满足题意的自变量的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．25．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？26．已函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：（1）自变量的取值范围是________；（2）与的几组对应值如下表，请补全表格：…－2.5－2－1.5－1－0.5－0.20.20.511.522.5……5.853.51.580－1.75－4.965.042.924.56.65…其中________，________.（3）下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；（5）结合图象，直接写出方程的所有实根：________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．2．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y轴交于同一点可排除选项A，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．3．B解析：B【分析】由抛物线的性质得到，然后通过解分式方程求得a的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y=（a-2）x2+2（a-1）x+a+1的值恒为非负数，∴，解得解分式方程解得：由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a=3，x=6，a=4，x=3，a=8，x=1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和=3+4+8=15，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a＞0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；∴ac＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x＝＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B．【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．5．A解析：A【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：∵观察图形可知抛物线经过点∴∴∴抛物线解析式为：∴当水位下降米后，即当时，有∴，（不合题意舍去）∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．6．A解析：A【分析】由题意易得，且，则有当x=1时，y<0，即，进而可得，然后由为整数，则有或0或-1，最后求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，∴，且，当x=1时，y<0，即，∴，且，∴，∴，∵为整数，∴或0或-1，若时，则有，从而；若时，则有，从而；若时，则有，从而；故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y=的顶点坐标为(0，0)，向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y=2-3．故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．8．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a、b的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y轴左边，故即得：故一次函数交y轴的负半轴．则一次函数图象便为C选项故本题选择C．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．9．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故A选项错误；对称轴为x=-=1，得2a=-b，∴2a+b=0，故B错误；由图像可得二次函数的图象与x轴有两个交点，故有两个相等的实数根的说法错误，故C错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故D正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．B解析：B【解析】解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a，∴2a+b=0，故本选项错误；D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．12．A解析：A【分析】利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：∵，∴对称轴为直线x=-，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．二、填空题13．或【分析】先求出A1A2B1B2…的坐标若B1为直角顶点则A1A2的中点（10）到B1的距离与到A1和A2的距离相等求出d的值；同理：若B2为直角顶点求出d的值；若B3为直角顶点求出的d值是负数（舍解析：或【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．【详解】解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（2，），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，即：1﹣d＝，解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．14．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c＞0∴＞0∴＞0解析：【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为，可得，即，是方程的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当和时，，∴对称轴为，∴当，时，y的值相等，∴，∴，是方程的两个根，故②正确；∵当时，，且c＞0，∴＞0，∴＞0，故③错误；∵，＞0，，，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵，∴＞0，故①正确；∵当时，，∴，∴，∴，∴，∵顶点坐标为，a＜0，∴，∴，∴，∴，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．15．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：解析：0＜a≤【分析】依照题意画出图形，分0＜＜1及≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．【详解】当≥1时，有，解得：a＞0，∴0＜a≤；当0＜＜1时，有，解得：a=∴0＜a≤．综上所述：0＜a≤．故答案为：0＜a≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜＜1及≥1两种情况找出关于a的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．16．【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a取一个不为0的实数再确定对应的b的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b可解析：【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，∴△=b2-4a=0，若a=1，则b可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．17．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数经过或，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程的一个根为，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键．18．【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式再根据二次函数的增减性即可得【详解】二次函数化成顶点式为由二次函数的性质可知当时y随x的增大而减小点在此二次函数的图象上且故答案为：【点睛】本题考查二次函数的顶解析：【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．【详解】二次函数化成顶点式为，由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小，点在此二次函数的图象上，且，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点式为y＝a（x＋1）2−2，∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M和N两点关于x＝−1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），如图所示：∵当x＝0时，y＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x＝1时，y＝4a−2＞0，即：，解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．20．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】解析：【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线，∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大∵、、是抛物线上的三个点∴，，∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．三、解答题21．（1）每千克水果应涨价2元；（2）【分析】（1）设每千克应涨价x元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（10+x）（500﹣20x）＝5520，解得：x＝2或x＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为令，即，解得，，∴要使每天获利不少于6000元，涨价x的范围为，答：每千克水果涨价x的范围是．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．22．（1）函数关系式为y=-1000x+36000；（2）函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y与x之间的函数解析式.（2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w与x之间的函数解析式.（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y=（30-x）×1×1000+6000=-1000x+36000.∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-1000x+36000.（2）解：由题意得w=（x-20）（-1000x+36000）=-1000x2+56000x-720000.∴每天的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000.（3）解：w=-1000x2+56000x-720000=-1000（x-28）2+64000.∵a=-1000＜0∴当x=28时，w有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．23．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把A,B代入解析式求出b,c，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线的对称性即可求得；（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点和，∴，解得，∴．（2）依题意，点的坐标为，该二次函数图象的对称轴为，设点向右平移个单位后，所得到的点为，由于点在抛物线上，∴，两点关于二次函数的对称轴对称．∴点的坐标为．∴．（3）依题意，即当自变量取时的函数值，大于自变量为时的函数值．结合函数图象，由于对称轴为，分为以下三种情况：①当时，函数值随的增大而减小，与题意不符；②当时，需使得，方可满足题意，联立解得；③时，函数值随的增大而增大，符合题意，此时．综上所述，自变量的取值范围是．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．24．（1）；（2）【分析】（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（