华师版七年级数学下册第7章一元一次不等式

第7章

一元一次不等式2024版华师版七年级数学下册教学课件

某班27名学生去参观艺术展，票价每张50元；一次购票满30张，每张票优惠10元.

方案一：购买27张票；

方案二：购买30张票.

怎么买票划算？

这里涉及数学上的不等式！★

本章将类比一元一次方程，研究一元一次不等式的解法，并应用这些知识解决一些实际问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用.7.1.1

不等式1.了解不等式的概念，认识不等号的含义;2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思想．（重点、难点）问题1

艺术展的票价是每张50元，一次购票满30张，每张票可优惠10元.某班有27名学生去参观艺术展.当领队小华准备到售票处买27张票时，爱动脑筋的小敏喊住了小华，提议买30张票.但有同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法。买27张票，要付款买30张票，按优惠价每张40元，要付款显然 1200<1350.我们不妨一起来算一算50×27＝1350（元）.40×30＝1200（元）.

这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，实际上反而节省了.想一想

如果去参观艺术展的人数较少（例如10人）,显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好.现在的问题是:少于30人时，有多少人去参观艺术展，买30张票反而划算呢？分析：设有x人要去参观艺术展.如果x<30,那么按实际人数要买x张，付款50x元，买30张票要付款40×30=1200元.如果买30张票划算，那么应有1200<5x.即5x＞1200.a＜b就是b＞a,它们是一样的.现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立？x50x比较50x与1200的大小50x＞1200是否成立212223242526271350

50x＞1200成立28291050110011501200125013001400145050x＞120050x＜120050x＜120050x＜120050x=120050x＞120050x＞120050x＞1200不成立不成立成立成立成立成立不成立不成立前面已经算过，当x=27时，上式成立.让我们再取一些值试一试，将结果填入下表：由上表可见，当x＝______________时，5x＞1200成立.也就是说,少于30人时，至少要有_____人参观艺术展，买30张票反而划算.25,26,27，…25

☀归纳

像上面出现的1200＜1350、x<30、50x＜1200、50x＞1200那样，用不等号“>”“<”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做不等式.知识点1不等式的概念判断下列式子是不是不等式：（1）-3>0;（2）4x+3y<0；

（3）x=3;

（4）x2+xy+y2；

（5）x+2>y+5.解：（1）（2）（5）是不等式；（3）（4）不是不等式.判断一个式子是不是不等式的方法：1.从意义上看，看这个式子是不是表达不相等的关系.2.从形式上看，看它是否含有不等号（>、<、≥、≤、≠)，若有，则是不等式，否则就不是.3.不等式可以含未知数，也可以不含未知数.知识点2不等式的解

如前面的问题中，由表可以看出，x＝25，26，27，…等都是5x＞1200的解，而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解.☀归纳

不等式5x＞1200中含有未知数x，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.☀小结

不等式的解可以有多个或无数个，它是指某一特定范围内的所有数，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立.

解：2.5，4，6是不等式的解；-2，-1.5，0，1，1.5不是不等式的解.代入检验法：在判断某一个数值是不是不等式的解时，用这个数值代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若不等式成立，则该数值是不等式的解，否则便不是，这就是代入检验法.知识点3列不等式例1

用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足不等式的数：（1）x的一半小于－1；

（2）y与4的和大于0.5；

（3）a是负数；

（4）b是非负数.解：

(1)0.5x＜－1.如x=－3，－4.(2)y+4>0.5.如y=0,1.(3)a<0.如a=－3，－4.

(4)b是非负数，即b不是负数，所以b≥0(即b>0或b=0).如b=0,2.

在找不等关系时要抓住关键词，如“大于”“小于”“超过”“正数”“非负数”“不大于”“不小于”等，弄清运算的先后顺序和不等关系，最后把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

D

CA.2个 B.3个 C.4个D.6个

D

4.下列不等式中，正确的是().C

5.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足___________.4.5t<280006.根据下列数量关系列出不等式：

不等式不等式的概念不等式的解根据题意列不等式7.1.2

不等式的解集1.理解不等式的解集和解不等式的概念；2.准确掌握不等式的解集在数轴上的表示方法，能正确地在数轴上表示出不等式的解集．（重点、难点）

用不等式来刻画比－1大的数为x

>－1.结合数轴与不等式这两者的相关知识，我们是否可以将不等式的解集在数轴上表示出来呢?0－1

如图所示的数轴，如果在上面标注－1，则比－1大的数位于－1的左边还是右边？知识点1不等式的解集不等式x+3＜5，除了上面提到的解外，你还能说出它的一些解吗?下列各数中，哪些是不等式x+3＜5的解？l，0，2，－2.5，－4，3.5，4，4.5，3．解有（）个.无数不等式的解集必须满足两个条件:1.解集中的任何一个数值都使不等式成立;2.解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.☀归纳

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.概念区分不等式的解不等式的解集

区别

定义特点形式联系满足一个不等式的未知数的某个值满足一个不等式的未知数的所有值个体全体如:x=3是2x-3<7的一个解如:x<5是2x-3<7的解集某个解定是解集中的一员解集一定包括了某个解不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1、判断下列说法是否正确？(1)x=2是不等式x+3<4的解；（）(2)不等式x+1<2的解有无穷多个；

（）(3)

x=3是不等式3x<9的解（）(4)

x=2是不等式3x<7的解集；

（）√×××先在数轴上标出表示2的点A问题1

如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？0123456-1A把表示2的点Ａ画成空心圆圈，表示解集不包括2.知识点2在数轴上表示不等式的解集则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2因此可以像图那样表示不等式的解集x>2.

0-101用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:大于向右画,小于向左画;“＞”,“＜”画空心圆.问题2

在数轴上表示x

≤5的解集.-10123456解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.符号“≤”表示“小于等于”，“≥”表示“大于等于”.

解：（1）

（2）

（3）用数轴表示不等式解集的方法：（1）画数轴；（2）定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心点表示；不包含在解集中，则用空心点表示.（3）定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画.

AA.&4&

B.&5&

C.&6&

D.&7&

B

＜＜＞＞＞4.在数轴上表示下列不等式.

(1)&1&

(2)&2&

(3)&3&

不等式的解集将解集在数轴上表示不等式解集的表示7.2不等式的基本性质1.理解并掌握不等式的基本性质1，2，3;2.掌握并能熟练应用不等式的基本性质进行不等式的变形(重点);3.理解不等式的基本性质与等式基本性质之间的区别与联系（难点）．等式的基本性质2：在等式两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等．等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？等式的基本性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，结果仍相等．知识点1不等式的基本性质（甲）（乙）100g50g

根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数）时,不等号的方向______.不变﹥﹥﹤﹤

当不等式两边乘(或除)同一个正数时,不等号的方向_____;而乘(或除)同一个负数时,不等号的方向_____.改变﹥﹤﹤﹥不变﹤﹤﹥﹥+C－C

这就是说，不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变.☀概括

不等式的基本性质1：如果a＞b,那么

a+c＞b+c，a－c＞b－c.

这就是说，不等式两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变.

1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.

（1）a-3____b-3；（2）a÷3____b÷3

（3）0.1a____0.1b;

（4）-4a____-4b；

（5）2a+3____2b+3;

（6）(m2+1)a____(m2+1)b(m为常数)

＞＞＞＞＞＜不等式的基本性质1不等式的基本性质2不等式的基本性质2不等式的基本性质3不等式的基本性质1,2不等式的基本性质2

＜＜＜＞＜＞＜＞知识点2不等式的基本性质的推广例1说明下列结论的正确性：（1）如果a-b＞0，那么a＞b；（2）如果a-b＜0，那么a＜b.

解（1）因为a-b＞0，将不等式的两边都加上b，由不等式的基本性质1，可得

a-b+b＞0+b,

所以

a＞b.（2）因为a-b＜0，将不等式的两边都加上b，由不等式的基本性质1，可得

a-b+b＜0+b,

所以

a＜b.

交换例1中两道小题的条件和结论，其正确性不变，即有

如果a＞b，那么a-b＞O;

如果a＜b，那么a-b＜0.

由此可见，a＞b与a-b＞O、a＜b与a-b＜0可以相互转化.因此，要比较a与b的大小，只需要比较a-b与0的大小.试说明这两个结论的正确性.利用不等式的性质比较两个数大小的方法要比较两个数a，b的大小，可利用不等式的性质1转化为确定a-b与0的大小关系，若a-b＞0，则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a-b＜0，则a＜b.例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：（1）如果a＞b，c＞d,那么a+c＞b+d;（2）如果a、b、c、d都是正数，且a＞b，c＞d，那么ac＞bd.解（1）因为a＞b，所以

a+c＞b+c.

①

又因为c＞d，所以

b+c＞b+d.

②

由①②，可得

a+c＞b+d.由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，即如果a>b且b>c,那么a>c.它也可以作为推理的依据.（2）因为a＞b，c是正数，所以

ac＞bc.

①又因为c＞d，b是正数，所以

bc＞bd.

②由①②，可得

ac＞bd.请解决下列问题：（1）利用不等式的性质1比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用不等式的性质2，3比较2a与a的大小（a≠0）.

解：（1）当a＞0时，a+a＞0+a，即2a＞a；

当a＜0时，a+a＜0+a，即2a＜a.

（2）∵2＞1，∴当a＞0时，2a＞a；

当a＜0时，2a＜a.a≠0，注意分两种情况讨论，a＞0或a＜0.

B

C

C

不等式的基本性质1不等式的性质如果a＞b,那么a+c＞b+c，a－c＞b－c.

不等式的基本性质2不等式的基本性质3

7.3解一元一次不等式第1课时

解一元一次不等式（1）1.理解和掌握一元一次不等式概念的含义；2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式．（重点、难点）1.什么叫一元一次方程?答：“只含一个未知数、并且未知数的次数都是1”的整式方程.2.不等式的性质：不等式的基本性质1；不等式的基本性质2；不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变.

知识点1一元一次不等式的定义

这些不等式有什么共同特点？每个不等式都只含有一个未知数；并且未知数的次数是1.☀归纳

像这样，只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式.

√√××左边不是整式

例1

解不等式：（1）x-7＜8；

（2）3x＜2x-3.

根据不等式基本性质1

根据不等式基本性质1知识点2解一元一次不等式

3x＜2x

3-

从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项.

根据不等式基本性质2根据不等式基本性质3这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”类似，它依据的是不等式的基本性质2或不等式的基本性质3．注意:不等式的两边都乘以(或都除以)的数是正数时，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或都除以)的数是负数时，不等号的方向改变.

解方程：4x-1=5x+15解：移项，得4x-5x=15+1合并同类项，得-x=16系数化为1，得

x=-16

☀归纳

与解方程类似，解不等式的过程，就是利用不等式的基本性质，将不等式进行适当的变形，得到x＞a或x＜a的形式.

知识点3解较复杂的一元一次不等式

解一元一次不等式的一般步骤：一般步骤依据注意事项①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1不等式的性质2、3分配律、去括号法则不等式的性质1合并同类项法则不等式的性质2、3(1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号当括号前是“-”时，去掉括号后，原括号内的每一项要变号(1)所移的项要改变符号，不移的项不变号；(2)移项时，不等号的方向不改变当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变

A

一元一次不等式的概念一元一次不等式的解法解一元一次不等式步骤7.3解一元一次不等式第2课时

解一元一次不等式（2）1.会求一元一次不等式的整数解；（重点）2.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程;（重点）3.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．2.应用一元一次方程解实际问题的步骤：实际问题找相等关系设未知数列出方程检验解的合理性解方程3.将下列生活中的不等关系翻译成数学语言.(1)超过(2)至少(3)最多＞≥≤1.最小的正整数是

，最大的负整数是

，最小的非负整数是

.最小的自然数是

，绝对值最小的整数是___，小于5的非负整数是

.1-10000、1、2、3、4知识点1求一元一次不等式的整数解

B方法总结：先解不等式，然后根据x的取值范围确定非负整数解，注意非负整数包含0.

DB知识点2一元一次不等式的实际应用

问题

在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者能通过预选赛.育才中学有25名学生通过了预选赛，通过者至少应答对多少道题？有哪些可能情形？与你的同伴讨论和交流一下，试解决这个问题.接下来咱们利用不等式的知识解决：

列不等式解决实际问题时需注意：1.实际问题中的“节省”“合算”“最多”“最少”“不超过”“超过”等，都是列不等式的关键词.注意所列不等式是否包含等号.2.列不等式解决实际问题时，要注意题中的限制条件，取解时必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为非负整数，长度、面积等为正数.1.当一个人坐下时，不宜提举超过4.5kg的重物，以免受伤.小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本.问他最多只应搬动多少本记事本？

分析:

本题涉及的数量关系是：画册的总重+记事本的总重≤4.5kg.2.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？

分析：本题涉及的数量关系是： 销售额－成本－税费≥纯利润(900元).3.小明家的客厅长5m，宽4m．现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？

☀注意

列不等式时，不等号两边所表示的量应该相同，并且单位要一致.一元一次不等式的应用实际问题根据题意列不等式解一元一次不等式根据实际问题找出符合条件的解集或整数解得出解决问题的答案7.4解一元一次不等式组第2课时

解一元一次不等式组(2)1.掌握解不等式组的步骤，能熟练确定不等式组的解集；（重点）2.会根据条件求不等式组的特殊解.（重点、难点）

怎么确定一元一次不等式组的解集？（1）数轴法：在数轴上表示出各解集，找出公共部分.（2）口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.

0-12知识点1无解的一元一次不等式组

知识点2一元一次不等式组的特殊解

☀方法总结：首先正确求出不等式组的解集，再根据解集得出待定的整数解.

B

D

D

-47

B

无解的一元一次不等式组解一元一次不等式组一元一次不等式组的特殊解7.4解一元一次不等式组第1课时

解一元一次不等式组(1)1.通过具体操作，在解一元一次不等式组的过程中形成正确的解不等式的思路与方法;（重点、难点）2.掌握将一元一次不等式组的解集在数轴上正确的表示.

同学们,你能根据上图对话片断估计出这头大象的体重范围吗?请说说你的理由!

若设大象的体重为x吨,请用不等式的知识分别表示上面两位同学所谈话的内容:x≥3