华师版七年级数学下册第6章一次方程组

第6章

一次方程组2024版华师版七年级数学下册教学课件“我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队赛了9场，共得17分．已知这个队负了2场，那么这个队胜了几场？平了几场呢？

★本章将研究一次方程组的解法，并应用一次方程组解决一些实际问题，从中体会消元的思想方法.6.1

二元一次方程组和它的解1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点）2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点）什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是否是这个方程的解?☀

只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.☀

能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．问题1

暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分．那么这个队胜了几场？平了几场呢？知识点1二元一次方程(组)的定义思考

问题1中告诉了我们哪些等量关系？问题1中有两个未知数，如果分别设为x、y，又会怎样呢？探索

在下列的表格中填入数字或式子.胜平合计场数xy9得分173xy设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据题意，得x+y=9-2

①和

3x+y=17.

②

这两个方程

有什么共同特点？上面所列方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1☀归纳

像这样，有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.

这个问题中，两个未知量（比赛场数）要满足两个等量关系．相应地，两个未知数x、y必须同时满足①②两个方程.因此，把这两个方程合在一起，并写成

☀归纳

像这样，两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.问题2（1）x＝6,y＝2适合方程x＋y＝8吗?

x＝5,y＝3呢?

x＝4,y＝4呢?

你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗?(2)x＝5,y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?

x＝2,y＝8呢?知识点2二元一次方程(组)的解例如:

x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解,记作

☀归纳

使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.用尝试检验、列算式或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5，y=2.这里的x=5与y=2既满足方程①，即5+2=7;又满足方程②，即

3×5+2=17,

☀归纳

一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解.

问题3

某校现有校舍20

000m²，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？知识点3根据题意列二元一次方程(组)

分析

根据条件可知，题中的等量关系为：新建校舍的面积=被拆除的旧校舍面积的4倍；新建校舍的面积-被拆除旧校舍的面积=现有校舍面积的30%.

根据此等量关系列出方程组，（1）审题：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量及两者之间的联系；（2）设未知数：弄清题意和题目中的数量关系，设出两个未知数，并用含未知数的代数式表示其他需要的量；（3）找等量关系：通过阅读理解，找出两个等量关系；（4）列方程组：根据等量关系，列出二元一次方程组.根据实际问题列二元一次方程组的步骤：D.x=4y=3x=3y=6x=2y=4x=4y=2A.B.C.

C2.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3y B.2x+y=3zC.x²+x-y=0 D.3x+2=5A

3.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3x-y=1B.C.x=1y=1D.6x+4y=9y=3x+4B

A二元一次方程组的定义认识二元一次方程组二元一次方程组的解6.2二元一次方程组的解法第1课时

用代入法解二元一次方程组(1)1.会用代入法解简单的二元一次方程组.（重点、难点）

怎样求这个二元一次方程组的解呢？

方程②表明，y与4x的值是相等的，因此，方程①中的y可以看成4x，即将②代入①：y=4xy-x=20000×30%,可得4x-x=20000×30%.

通过“代入”,“消去”了y,得到了一元一次

方程,就可以解了！解

把②代入①，得4x-x=20000×30%,3x=6000,

x=2000.把x=2000代入②，得

y=8000.

在以上解法中，通过将②代入①，能消去未知数y，得到一个关于x的一元一次方程，求出它的解，进而由②求出y的值.用同样的方法可以解6.1节问题1中的二元一次方程组.

这里没有一个方程是一个未知数用另一个未知数表示的形式，怎么办呢？知识点1用一个未知数表示另一个未知数问题

用含y的式子表示x.(1)x+y=7;(2)x-2y=5.解(1)移项，得

x=7-y.(2)移项，得

x=5+2y.☀归纳

通过移项，我们可以把不含x的项移到方程的右边，得到用一个未知数表示另一个未知数的代数式.把下面方程写出用一个未知数表示另一个未知数的形式.(1)x+2y=9;(2)3x+y=7.解(1)移项，得

x=9-2y.(2)移项，得

y=7-3x.注意：用一个未知数表示另一个未知数时，我们通常选择表示系数的绝对值为1的未知数.知识点2用代入法解简单的二元一次方程组x=5，y=2.例1：解方程组x+y=7,①3x+y=17.②解：由①，得y=7-x③将③代入②，得3x+7-x=17.2x=10

x=5.将x=5代入③，得y=2.所以原方程组的解是x=5，y=2.例2：解方程组2x+3y=16①x+4y=13②

解：由②，得x=13-4y③将③代入①，得2（13-4y）+3y=1626–8y+3y=16-5y=-10

y=2将y=2代入③，得x=5.所以原方程组的解是☀归纳

前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.回顾并概括上面的解答过程，并想一想，怎样解方程组：

解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.x=-3，y=-3.解：由②，得x=-15-4y③将③代入①，得3（-15-4y）-5y=6-45–12y-5y=6-17y=51

y=-3将y=-3代入③，得x=-3.所以原方程组的解是

DB

y=2x

x+y=12

(1)(2)2x=y-54x+3y=65解：(1)x=4y=8(2)3.解下列方程组.x=5y=15解二元一次方程组基本思路“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤6.2二元一次方程组的解法第2课时

用代入法解二元一次方程组(2)会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.（重点、难点）把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_____________的式子表示出来，再代入____________，实现______，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称________.另一个未知数另一个方程消元代入法知识点1用一个未知数表示另一个未知数

☀归纳

通过移项，我们可以把不含y的项移到方程的右边，两边同时除以y的系数，得到用一个未知数表示另一个未知数的代数式.知识点2用代入法解较复杂的二元一次方程组

分析

能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数呢？

这里是先消去x，得到关于y的一元一次方程.可以先消去y吗？试一试.

用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.

C

2

3.解下列方程组：

代入法解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.6.2二元一次方程组的解法第3课时

用加减法解二元一次方程组(1)会用加减法解二元一次方程组．（重点）信息一：已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；信息二：又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，你会解这个方程组吗？3x+2y=235x+2y=33你是怎样解这个方程组的？

解得：y=4把y=4代人③，得x=5所以原方程组的解为：除了代入消元，还有其他方法吗？①②3x+2y=235x+2y=33x=5y=4知识点1加减消元法——相同未知数的系数相同仔细观察这组方程，你有什么发现吗？解：②-①得5x-3x=33-23，

解得x=5.将x=5代入①得15+2y=23,解这个方程得y=4.所以原方程组的解是①②3x+2y=235x+2y=33②-①的话就只剩下一个未知数了x=5y=4这样是不是更简单呢？

解

①-②，得9y=-18,

即

y=-2.

把y=-2代入①，得3x+5×(-2)=5,

解得

x=5.

知识点2加减消元法——相同未知数的系数互为相反数

①②3x+7y=9，4x－7y=5.例2

解方程组:怎样消去一个未知数？先消去哪一个比较简便？☀归纳

当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.

像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.主要步骤：

特点:基本思路:写解求解加减二元一元加减消元:消去一个元分别求出两个未知数的值写出原方程组的解同一个未知数的系数相同或互为相反数用加减法解二元一次方程组：

1.用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．

①+②①+②②-①

解二元一次方程组基本思路“消元”加减法解二元一次方程组的一般步骤6.2二元一次方程组的解法第4课时

用加减法解二元一次方程组(2)1.会用加减法解未知数的系数不相同或不互为相反数的二元一次方程组．（重点）

下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元?

知识点1加减消元法——相同未知数的系数成倍数关系观察发现，直接相加减不能消去一个未知数，怎么办呢？

前面的两个方程组都有一个共同特点，即两个方程中有一个未知数的系数的绝对值相等，所以可以直接通过加(或减)消元.这个方程组能不能通过变形，转化成系数的绝对值相等的形式呢？

☀小结

运用加减消元法解方程组时,需观察方程组中相同未知数的系数,当相同未知数的系数为倍数关系时,把其中一个方程未知数的系数化为与另一个方程相同的形式,再利用加减消元法求解即可.

知识点2加减消元法——相同未知数的系数不成倍数关系例2用加减法解方程组:①②分析：对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．解：①×3，②×2，得

③+④，得19x=144，即x=6.

把x=6代入②，得30+6y=42，解得

y＝2.

想一想，能否先消去x再求解？怎么做？试一试.

在本章6.2解方程组时，用了代入消元法.用加减消元法解题如下：

对比6.2中的方法，大家觉得哪种方法更简便？本题也可以用加减消元法消去未知数y来求解.

对比前后两种方法，你认为哪种方法更简单？为什么？

若两个方程中的相同未知数的系数均不成倍数关系,则一般选绝对值的积较小的一组系数,求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数相等或互为相反数,再用加减消元法求解.通过上面两种解方程组的方法进行对比，我们发现：

D

C3.解下列方程：（2）

（2）

解二元一次方程组基本思路“消元”加减法解二元一次方程组的一般步骤6.2二元一次方程组的解法第5课时

二元一次方程组的应用1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.（重点）2.学会利用二元一次方程组解决其他类型问题.（重点、难点）小刚买了3kg苹果，2kg梨，共花了19元小玲买了2kg苹果，3kg梨，共花了18.5元你能算出苹果和梨各自的单价吗？一天，小刚和小玲来水果店买水果.

知识点1由实际问题抽象出二元一次方程(组)问题1

题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量：苹果的单价，梨的单价；问题2

题中有哪些等量关系？（1）3kg苹果和2kg梨共19元;（2）2kg苹果和3kg梨共18.5元;设未知数：设苹果的单价为x元/kg，梨的单价为y元/kg.解：设苹果的单价为x元/kg，梨的单价为y元/kg，根据小刚和小玲买水果花费的费用，可列方程组：3x2y2x3y接下来，通过解二元一次方程组即可求出苹果和梨的单价.

知识点2二元一次方程组的应用例1

某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，得27分，没有输过一场，试问该队胜几场，平几场？分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11,胜场得分+平场得分=27.胜场平场合计场数得分x3xyy1127解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得8y3xy3答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.x例2

某蔬菜公司收购到某种蔬菜140t，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6t或者粗加工16t.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析：本题的关键是解答第一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数.从题目信息可以得到的等量关系有：粗加工天数+精加工天数=15；粗加工任务+精加工任务=140.解：设应安排x天粗加工，y天精加工.依题意可得解这个方程组，得出售这些加工后的蔬菜一共可获利1000×16×5+2000×6×10=200000（元）.答：应安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共可获利200000元.通过上述两题，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤

在第5章中，我们通过列一元一次方程解决了一些简单的实际问题，在这里，又通过列二元一次方程组解决了另一些实际问题.实际上，有很多问题都存在着一些等量关系，我们可以通过列方程或方程组的方法来处理．

列方程（或方程组）解决实际问题的过程可以概括为：问题方程解答分析抽象求解检验

某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？分析本问题涉及的等量关系有：总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.解:设出租车的起步价是x元，超过3km后每千米收费y元.则根据等量关系，得解这个方程组，得答：出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.起步价超过3km后的费用合计费用甲乙xx(11-3)y(23-3)y1735

小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法1.一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶.2大盒、3小盒共装76瓶.大盒与小盒每盒各装多少瓶？

2.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

3.小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路,她跑步去学校共用16分钟.已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，在下坡路上的平均速度是12千米/时,则小红上坡、下坡各用多少时间？

A品牌B品牌

小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法6.3三元一次方程组及其解法1.理解三元一次方程组的概念．2.能解简单的三元一次方程组．1.解二元一次方程组有哪几种方法？2.解二元一次方程组的基本思路是什么？二元一次方程组代入加减消元一元一次方程化未知为已知化归转化思想代入消元法和加减消元法消元法知识点1三元一次方程组的概念

在第6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决.小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？

分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得

这个方程组和前面

学过的二元一次方程组有什么区别和联系？☀归纳

在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.☀归纳

像这样，共含有三个未知数的一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.知识点2三元一次方程组的解法怎样解三元一次方程组呢？

能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？☀归纳

三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.分析

注意到方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可消去x.

能否先消去x(或y)？怎么做？比较一下，哪个更简便？例2

解方程组：分析

三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法求解.

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行

，把

转化为

，使解三元一次方程组转化为解

，进而再转化为解

.三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程转化为转化为知识点3三元一次方程组的简单应用解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意得：

x+y=z+1x+10y+100z－(100x+10y+z)=495答：原三位数是368.解得：x=3y=6z=8

6832.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A.2B.3C.4D.5D3.在等式y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤

解：设这个三位数个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z.

答：这个三位数是275.

4.一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数的和是14.求这个三位数．三元一次方程组三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用6.4实践与探索1.学会用二元一次方程组（或三元一次方程组）来解决实际问题.（难点）列二元一次方程组解实际问题的一般步骤：（1）审，认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系；（2）设，设未知数，可直接设，也可间接设；（3）列，根据等量关系列方程组；（4）解，求出所列方程组的解；（5）验，既要检验所求出的方程组的解是否符合所列方程组，又要检验其是否符合题意；（6）答，写出答案，包括单位名称.问题1

要用20张白卡纸做包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面.如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？知识点1用二元一次方程组解决实际问题请你设计一种分法.通过试验可以发现：

1张白卡纸能做0个盒子；

2张白卡纸能做1个盒子，1张做侧面，1张做底面；

3张白卡纸能做2个盒子，1张做侧面，2张做底面；

4张白卡纸能做3个盒子，2张做侧面，2张做底面；

5张白卡纸能做4个盒子，2张做侧面，3张做底面；

6张白卡纸能做4个盒子，2张做侧面，4张做底面；

7张白卡纸能做6个盒子，3张做侧面，4张做底面；第8张和第1张情况类似；第9张