重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题

重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N∣x2−4x−5≤0}A．{x∣1≤x≤2} C．{0,12．已知z=a+i1+2i(A．-1 B．1 C．2 D．13．已知向量a=(2,3A．3 B．18 C．−14．设α,β,γ是三个不同的平面，A．若α⊥β,a⊂αB．若α//βC．若a//α,b⊂β，则D．若αβ=a5．已知cos(π4A．2 B．12 C．3 D．6．已知抛物线C:y=4x2的焦点为F，该抛物线上一点P到A．3 B．4 C．4916 D．7．已知y=f(x+1)A．-5 B．-12 C．-10 D．-68．如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图像与xA．f(x)的最小正周期为12π B．fC．f(2)=f二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知直线l:x+my−m+3=0，圆A．直线l恒过定点(−3,1) B．直线C．当直线l平分圆C时，m=−4 D．当点C到直线l距离最大时，m=10．已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,A．直三棱柱ABC−A1B．点B1到平面A1C．当点D为线段A1C的中点时，平面DBD．E、F分别为棱BB1、CC11．已知函数f(x)A．当a=1时，f(x)在B．若f(x)有3个零点，则C．当a=e2时，x=1是D．当a=12时，f(x三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12．已知a=log2513．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=14．有序实数组(x1,x2,⋯,xn)(n∈N*)称为n维向量，|x1|+|x2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=x（1）求a的值；（2）求函数f(16．已知在数列{an}（1）求证：数列{1an}是等差数列，并求数列{a（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1an+117．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD,∠PBC=90（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若二面角B-PC-D的余弦值为33，求直线PD与底面ABCD18．已知F，C分别是椭圆Γ:x2a2+y2b2=1（1）求椭圆Γ的方程；（2）设椭圆Γ的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1,l2，这两条直线与椭圆Γ的另一个交点分别为M，N，设直线l1的斜率为k(k≠019．在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n次，红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为p=（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，不知道哪种颜色的球多，有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则Y~注：Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为①完成下表：k0123P271P927②在统计理论中，把使得Pp(Y=k)的取值达到最大值时的p作为p的估计值，记为（2）把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大值时的p作为具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数l(θ)，再对其关于参数θ求导，得到似然方程l'(θ)，最后求解参数θ的估计值.已知Y~B

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由x2−4x−5≤0，解得-1≤x≤5，

则集合A={x∈N∣x2−4x−5≤0}={0故答案为：C.【分析】先解不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：复数z=a+i1+2i=(a+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=a+25+1−2a5i，则z⋅z故答案为：B.【分析】根据复数的乘除运算化简复数z，再根据纯虚数的定义，列式求解a，最后根据复数的乘法运算求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为向量a=(2,3),b=(故答案为：D.【分析】根据平面向量共线的坐标表示列式计算即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：已知如图所示：

A、若α⊥β,a⊂α,b⊂βB、若α//β,a⊂α,C、若a//α,D、若αβ=a,α⊥γ,β⊥γ，设α与γ的交线为m，在平面α内取l1⊥m，在平面β内取l2⊥n，由面面垂直的性质可得l1⊥γ,又l1⊄β，所以l1//β故答案为：D.【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可判断ABC；结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质分析即可判断D.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为cos(π4即sin(α+π4)=3cos(α+π故答案为：B.【分析】利用诱导公式化简可得sin(α+π46．【答案】C【解析】【解答】解：抛物线C:y=4x2的标准方程为因为抛物线上一点P到y=−1的距离为4，所以点P到y=−116的距离为由抛物线的定义知，|PF故答案为：C.【分析】化抛物线方程为标准方程，求出抛物线的准线方程抛以及点到准线距离，再根据抛物线定义求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：函数y=f(x+1)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位得到函数y=f(x)即函数y=f(x)则f(即f(故答案为：A.【分析】由函数图象平移，以及y=f(x+1)+1为奇函数，得到函数8．【答案】C【解析】【解答】解：易知A(2,0),因为|AD|=2213，所以(π2ω−1)2所以ω=π6，sin(π3+φ)=0，又因为|φ|≤π2，所以A、函数f(x)B、当x=8时，π6x−πC、f(2)=16D、f(故答案为：C.【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示A,B,9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、直线l:x+my−m+3=0，即x+3+m(y−1)=0，

令y−1=0，则y=1，x=−3，即直线l恒过定点B、易知圆C:(x−1)2+(y−2)2=5的圆心C(1,2)、半径为r=5，点C(1C、当直线l平分圆C时，则直线l:x+my−m+3=0过圆心C(1,2)，即D、点C到直线l距离满足d≤|PC|，等号成立当且仅当PC⊥l，PC的斜率为k1所以当等号成立时有14⋅(−1故答案为：ACD.【分析】将直线方程变形即可判断A；举反例即可判断B；将圆心坐标代入直线方程即可验算参数m即可判断C；当点C到直线l距离最大值时，有PC⊥l，结合它们的斜率关系即可判断D.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、易知直线A1C与底面ABC所成角为∠A因为AB⊥BC,AB=BC=2，所以则直三棱柱ABC−A1BB、由上可知BC⊥平面AB1，因为A1B⊂平面AB设点B1到平面A1BC的距离为hC、取A1C1,AC的中点G,H，如图所示：

易知M在线因为GH∩BH=H,GH,BH⊂平面BB1DH，所以AC⊥平面BB1DH，

而平面BBD、将三棱柱侧面展开，如图所示：显然AE+EF+FA1取得最小值时，故选：BC【分析】利用线面夹角及棱柱的体积公式即可判断A；利用等体积法即可判断B；利用线线垂直的判定与性质及线面垂直的性质即可判定C；利用多面体的展开图求最值即可判断D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、当a=1时，函数f(x)=e2x−x2B、若函数f(x)=e当x≠0时，转化为g(x)又由g'令g'(x)>0，解得x<0或x>1所以函数g(x)在(所以当x=1时，函数g(x)又由x→0时，g(x)→+∞，当x→−∞时，g(x)→0且g(x)>0，如图所示：所以a>e2，即实数a的取值范围为C、当a=e2时，f(令g(x)=e2x−e2且g'(0)=2−e2⟨0所以在(−∞,x0)上在(x0,+∞)上g'所以在(x0,1)上g(x)<0，即在(1,+∞)上g(x)>0，即f'所以x=1是f(x)D、当a=12时，设h(x)当x<ln12时，h'(x)<0,h(所以当x=ln12时，h所以f'(x)>0，所以函数f(又因为f(−1)所以f(x)有唯一零点x故答案为：ABD.【分析】根据导数的几何意义即可判断A；根据题意，转化为g(x)=e2xx2与y=a的图象有3个交点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值即可判断B；当a=e2时，得到f'(x)=2(e2x12．【答案】3【解析】【解答】解：因为8=5b，所以b=lo故答案为：3.【分析】根据指数式与对数式的互化关系求出b，再利用对数运算性质计算即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：P(A∪B)=P(A)故答案为：13【分析】根据和事件的概率公式求出PAB14．【答案】40； 【解析】【解答】解：根据乘法原理和加法原理得到A4奇数维向量，范数为奇数，则xi=1的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，根据乘法原理和加法原理得到A2n+131=(2−1)故答案为：2；32n+1【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解A4；根据(2+1)2n+1和15．【答案】（1）解：函数f(x)=x2−10x+3a因为切线与直线x+4y−1=0垂直，所以(3a−8)⋅(−（2）解：由(1)知，函数f(x)=x当0<x<2或x>3时，f'(x)>0则函数f(x)在(当x=2时，f(x)当x=3时，f(x)故函数f(x)的递增区间为(0,2),(【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合两直线垂直时的斜率关系求解即可；（2）结合（1）可得f'16．【答案】（1）证明：由题意，1an+1则数列{1an}是以1a设bnS=（2）解：因为bcos所以由正弦定理可得sinB即sin(B+C)=所以cosA=−1由a=1由余弦定理得：a2所以a2=4≥3bc，即bc≤4S△ABC=12bc⋅【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的定义写出数列{1an}的通项公式，即可求得{a（2）由题意，三利用正弦定理得sinA=−2sinAcosA，结合三角形内角和性质求角A17．【答案】（1）证明：证朋：由∠PBC=90°，得因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC,所以BP⊥平面ABCD又CD⊂平面ABCD，则PB⊥CD，又∠ABC=90°,AD//BC，所以所以BD=A过点D作DE⊥BC交BC于点E，则DE=1,所以CD=DE2故∠BDC=90°，即又BD∩BP=B,BP⊂平面PBD所以（2）解：因为∠ABC=90°，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面所以AB⊥平面PBC,故以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设BP=a，则B(所以PC=由题意可知BA=设平面PCD的法向量为n=则n⋅PD=0n⋅PC=0，即2x−ay=0因为二面角B−PC−D的余弦值为33所以|cos解得a=2，即BP=2，则PD=B由(1)可知，BP⊥平面ABCD，则直线PD与平面ABCD所成的角为∠PDB，所以cos∠PDB=故直线PD与平面ABCD所成的角的余弦值为33【解析】【分析】（1）要证CD⊥平面PBD，可证CD⊥BD且CD⊥BP，CD⊥BD，通过勾股定理可证CD⊥BP，再利用线面垂直性质证明即可；（2）以B为原点，BC为x轴，BP为y轴，BA为z轴建立B−xyz空间直角坐标系，分别求出平面BPC和平面PCD的法向量，结合向量夹角公式即可求解BP的长度，由（1）知BP⊥平面ABCD，

直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDB，再求线面角的余弦值即可.18．【答案】（1）解：设椭圆Γ的左焦点为F1，连接A由对称性知四边形F1AFB是平行四边形，所以由椭圆定义知2a=|BF|设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，∠FCO=π3，则a=2b，所以所以椭圆Γ的标准方程为x2（2）解：椭圆Γ的标准方程为x24+所以直线l1如图所示：设M(x1,y1),所以x1=8k所以|DM同理可得：x2=−8k|所以S=1由S|k|整理得4k4−又k2>0，所以0<k2<2所以k的取值范围为(−【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义，结合椭圆的几何性质知，∠FCO=π3，则a=2b，解出a，(2)设l1的方程为y=kx−1代入椭圆方程，求出M的坐标，可得|DM|，用−1k代替k，可得|DN|，求出△DMN的面积S，可得S|