四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题

四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知i为虚数单位，则(1+i)2A．4 B．2 C．0 D．4i2．已知集合A=x−1≤x≤2，B=x−a≤x≤a+1，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．若双曲线E：x2a2−yA．22 B．2 C．3 D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且BD=DA，AE=3EC，点F为A．−18BAC．38BA+5．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）A．图中a的值为0.005B．这200天中有140天的日销售量不低于80kgC．这200天销售量的中位数的估计值为85kgD．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为916．函数fx=1A． B．C． D．7．已知正四棱锥P−ABCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36π，若正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知a,b,c∈0,4，且满足a+12=cosA．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fx=sinωx+3A．fxB．fx在−C．fx的图象关于点−D．fx的图象可由y=2cos2x的图象向右平移π10．已知椭圆E:x24+y23=1的左顶点为A．FB．PQC．当F2,P,Q不共线时，△D．设点P到直线x=−4的距离为d，则d=211．已知函数fxA．fx的极小值一定小于B．函数y=ffC．若对于任意的x∈R，fx≥ax−1，则aD．过点0,−2有且仅有1条直线与曲线y=fx三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P1,2，则cos2α=13．已知数列an满足a3=5，a2n=2an+1，2an+114．条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为EXY=y=i=1nxi⋅PX=xiY=y=i=1nxi⋅PX=四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2（1）求角A；（2）若∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD=4，b=5，求△ABC的面积.16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC.（1）求证；平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=5，BC=12，三棱锥P−ABC的体积为100，求二面角A−PB−C的余弦值.17．已知函数fx（1）若fx在0,+∞上单调递减，求（2）若a<0，证明：fx18．甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，未投进记（1）求甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率；（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为X.①求X的分布列和数学期望；②若X>0，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续nn≥8轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为Y，当n为何值时，P19．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B，△AOB面积的最小值为12（O为坐标原点）.按照如下方式依次构造点Fnn∈N*：F1的坐标为p,0，直线AFn，BFn与C的另一个交点分别为A（1）求p的值；（2）求数列xn（3）数列xn

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：(1+i)2故答案为：B.【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则，结合加减运算法则求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：当a=1时，B=x−1≤x≤2，此时A=B，即a=1可以推出若A⊆B，所以−a≤1a+1≥2，得到a≥1，所以A⊆B推不出a=1即“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】根据已知条件和集合间的包含关系，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可得到答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1故答案为：B.【分析】先求出双曲线的渐近线方程，则得出渐近线的斜率，从而得出ba4．【答案】C【解析】【解答】解：

因为点F为DE中点，所以BF=12(BD+BE)所以BF=故答案为：C.【分析】根据已知条件结合图形，再利用向量的中线公式和平面向量基本定理以及共线定理，从而找出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，由图可知(a+a+0.02+0.04+0.03)×10=1，解得a=0.005，所以A正确；对于B，由图知日销售量不低于80kg的频率为0.7，则0.7×200=140，所以B正确；对于C，设中位数为x，由(x−80)×0.4=0.5−0.2−0.05−0.05，解得x=85，所以C正确；对于选D，设第85%分位数为a，则有(100−a)×0.03=0.15，得到a=95故答案为：D.【分析】利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的面积，再结合频率之和等于1，从而得出图中a的值，则判断出选项A；利用频率分布直方图，得到不低于80kg的频率，即可得出这200天中有140天的日销售量，从而判断出选项B；设中位数为x，根据条件，建立方程(x−80)×0.4=0.2，从而得出x的值，进而得出这200天销售量的中位数的估计值，则判断出选项C；将问题转化成求第85%6．【答案】D【解析】【解答】解：因为定义域关于原点对称，

又因为f-x即fx当x=72时，cosπx=cos7π2=0；当x∈又易知当x>0时，ex−e−x>0，所以，当x∈故答案为：D.【分析】根据已知条件和奇函数的定义，从而判断出选项A和x选项B；再结合cosπx与ex−e7．【答案】C【解析】【解答】解：设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P−ABCD的外接球球心在PG上，如图所示，不妨设球半径r,OG=h,AB=2a，该球的体积为36π，即43又因为正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则AG=2即2a−h2故答案为：C.【分析】根据正四棱锥和球的结构特征、球的体积公式以及勾股定理，从而建立方程组，再解方程组得出该正四棱锥的底面边长.8．【答案】A【解析】【解答】解：令fx则f'所以fx又因为f12=g0由a+12=cos2而lnc+1=cosc，即c为作出y=x,y=lnx+1,y=因为12=2故答案为：A.【分析】利用已知条件，构造函数fx9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，易知fx=sinωx+3cosωx=2sinωx+π3，

其最小正周期为对于B，令2x+π显然区间−π3,对于C，令x=−π6⇒2x+π3对于D，将y=2cos2x的图象向右平移π12y=cos故D正确.故答案为：ACD.

【分析】利用辅助角公式和正弦型函数的最小正周期公式可得函数解析式，再根据换元法和正弦函数的图象求最值的方法，从而判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出正弦型函数的图象的单调性，进而判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性判断出正弦型函数的对称性，从而判断出选项C；利用三角型函数的图象变换和诱导公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，由题意知：a=2，b=3，∴c=a2−对于B，∵PQ为椭圆C的焦点弦，∴PQ对于C，∵P∴△F2PQ对于D，作PM垂直于直线x=−4，垂足为M，如图所示：

设Px0,y0，则d=PM=x∴2PF1故答案为：BCD.【分析】根据椭圆方程得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，再结合焦距的定义判断出选项A；利用已知条件和焦点弦性质判断出选项B；利用椭圆定义和三角形周长公式，从而判断出选项C；设Px0,y011．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：如图所示：

对于A，易知f'x=xe易知−∞,−1上gx单调递减，−1,+而当x<0时，gx<0恒成立，且g1所以∃x0∈则在−∞,x0上fx即x=x0时，fx对于B，由上知在−∞,x0上fx且f−1=1−2则∃x1∈又知f2>2,f-3=3-4e3即函数y=ff对于C，若对于任意的x∈R，fx即x−1e令hx若a>−1，则h'根据y=xex的性质知∃x即0,x3上hx若a=−1，则有hx在−∞,0即hx若a<−1，此时h'则区间−1,0上一定存在子区间使得hx而h0=0，则对于D，设过0,−2与曲线y=fx相切的切线切点为a,f则fa+2a令ma可得−1,0上ma单调递减，−∞,−1即当a=−1时，ma取得极大值mm1=e-2>0，则∃a0∈故答案为：ACD.【分析】利用导数判断函数的单调性结合隐零点判定极小值点的范围，从而计算得出fx的极小值，则判断出选项A；利用数形结合的思想和选项A的结论，即可判断选项B；含参讨论结合端点效应，从而计算出a的值，则判断出选项C；利用导数的几何意义，从而转化为函数零点个数的问题，再根据导数研究函数的单调性、极值和最值，从而判断出过点0,−2有且仅有1条直线与曲线y=f12．【答案】−【解析】【解答】解：由题意可知cosα=所以cos2α=2cos故答案为：−3【分析】利用三角函数的定义先计算出cosα的值，再利用二倍角的余弦公式，从而计算得出cos2α13．【答案】n2【解析】【解答】解：由2an+1=an+an+2，设其公差为d，首项为a1，

又因为a即a1+(2n−1)d=2[a因为a3=a1+2d=5，

所以Sn故答案为：n2【分析】利用已知条件和递推公式以及等差数列的定义，从而判断出数列{an}为等差数列，利用等差数列的通项公式得出首项和公差的值，再根据等差数列前n项和公式，从而得出数列an的前14．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可知ξ可能取1,2,3，所以Pξ=1,η=4=p1-pPξ=3,η=4又因为Pη=4所以E=1×1故答案为：2.【分析】根据题意可知随机变量ξ的取值，再分别算出相应的PX=x,Y=y概率值，从而得出随机变量的分布列，再结合EXY=y15．【答案】（1）解：因为sin2所以a2=b所以cosA=−因为A∈0,π，所以A=（2）解：根据题意和余弦定理，

则AD所以cosC=CD2+AC2根据正弦定理有ACsin所以S△ABC​​​​​​​【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边的方法结合余弦定理得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）利用已知条件和余弦定理，先计算出CD的长与cosC的值，再根据三角形内角和定理和同角三角函数基本关系式以及诱导公式、两角和的正弦公式，从而计算出sinB的值，再利用正弦定理得出AB的长，最后由三角形面积公式得出三角形（1）因为sin2所以a2=b所以cosA=−因为A∈0,π，所以A=（2）根据题意及余弦定理有AD所以cosC=则sinC=根据正弦定理有ACsin所以S△ABC16．【答案】（1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC⊥BC，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC.（2）解：因为AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以S△ABC又因为三棱锥P-ABC的体积为100，即100=13×PA×30由题意，以A为原点，分别以平行于BC，AC，AP所在直线为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，则A0,0,0，B12,5,0C所以AP→=0,0,10，CB设平面APB的一个法向量为n→则n→·PB→=12x+5y-10z=0n→·AP设平面PBC的一个法向量为m→则m→·PB→=12a+5b-10c=0m→设二面角A-PB-C为θ，则cosθ=所以，锐二面角A-PB-C的余弦值为245【解析】【分析】（1）由PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，再结合AC⊥BC，可证明BC⊥平面PAC，再由线面垂直证出面面垂直，即证出平面PAC⊥平面PBC.（2）由题意结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，从而求出PA的长，进而建立空间直角坐标系，得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面APB的一个法向量和平面PBC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角的取值范围，从而得出二面角A−PB−C的余弦值.（1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC⊥BC，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC.（2）因为AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以S△ABC又因为三棱锥P-ABC的体积为100，即100=13×PA×30由题意可得以A为原点，分别以平行于BC，及AC，AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则A0,0,0，B12,5,0C所以AP→=0,0,10，CB设平面APB的一个法向量为n→则n→·PB→=12x+5y-10z=0n→设平面PBC的一个法向量为m→则m→·PB→=12a+5b-10c=0m→设二面角A-PB-C为θ，则cosθ=所以锐二面角A-PB-C的余弦值为24517．【答案】（1）解：由fx=xln因为fx在0,+∞上单调递减，

所以f'所以lnx+1−2ax≤0，即a≥构造函数gx=lnx+1当x∈0,1时，g'x>0；当所以gx在区间0,1上单调递增，在区间1,+则当x=1时，fx取得极大值也是最大值，即gxmax=g1=12，（2）证明：证法一：由题意得fx=xln当a<0时，要证fx>0，即证：xlnx−ax2+1>0构造函数hx=lnx−ax+1所以h'x=1x因为函数Tx的对称轴为x=12a<0，

所以Tx在0,+∞上单调递增，且T0=−1<0，所以，当x∈0,x0时，T当x∈x0,+∞时，所以hx在0,x0所以，当x=x0时，hx有极小值也是最小值，

又因为−ax02+x0−1=0令px=lnx+2x−1所以px在0,1上单调递减，所以px>p则即证hxmin>0证法二：若a<0，ax令px=xlnx+1，则当x∈0,1e时，p'x<0，px单调递减；

所以px≥p1e=1−所以fx【解析】【分析】（1）根据题意可得f'x≤0在区间0,+（2）利用两种方法证明.证法一：根据题意，要证fx>0等价于证明lnx−ax+1x>0，构造函数hx=lnx−ax+1xx>0，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极小值，进而得出函数的最小值，再结合导数的单调性求值域的方法，从而求出其最小值hx（1）由fx=xln因为fx在0,+∞上单调递减，所以f'所以lnx+1−2ax≤0，即a≥构造函数gx=lnx+1当x∈0,1时，g'x>0；当所以gx在区间0,1上单调递增，在区间1,+所以当x=1时fx取得极大值也是最大值，即gxmax所以a的取值范围为12（2）解法一：由题意得fx=xln当a<0时，要证fx>0，即证：xlnx−a构造函数hx=lnx−ax+1所以h'x=因为函数Tx的对称轴为x=12a<0，所以且T0=−1<0，T1=−a>0，所以存在所以当x∈0,x0时，T当x∈x0,+∞时，所以hx在0,x0所以当x=x0时，hx又因为−ax02+x令px=lnx+2所以px在0,1上单调递减，所以px>p所以即证hxmin>0解法二：若a<0，ax令px=xlnx+1，则当x∈0,1e时，p'x<0，px所以px≥p1所以fx18．【答案】（1）解：甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以，甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(（2）解：①由题知X可能取值为−4,−2,0,2,4，P(X=−4)=13×P(X=0)=1P(X=2)=23所以X的分布列为X−4−2024P111311数学期望E(X)=(−4)×1②由①知P(X>0)=13+19=4由P(Y=k)≥P(Y=k−1)P(Y=k)≥P(Y=k+1)，

得到Cnk(整理得到4Cnk≥5得到4×(n−k+1)≥5k5×(k+1)≥4(n−k)，所以4n−5由题可知k=8，所以4n−59≤8≤4n+49，得到17≤n≤774，

又因为n∈N【解析】【分析】（1）利用已知条件，将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件求概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式，从而得出甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率.（2）①由题知随机变量X可能的取值，再根据已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而求出相应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再利用分布列求期望公式，即可求出随机变量X的数学期望；

②根据已知条件，得到Y∼B(n,49)，再由二项分布求概率公式和P(Y=k)≥P(Y=k−1)（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(（2）①由题知X可能取值为−4,−2,0