吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（）A．1 B．2 C．3 D．62．已知向量a=(3,m),b=(m−5,2)，若aA．2 B．3 C．6 D．153．已知sin(α+β)=15A．-2 B．2 C．-3 D．34．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数y=alogA．15 B．16 C．18 D．205．正四面体ABCD中，AP=13AD,A．33 B．63 C．556．直线x+2y−4=0与直线3x+y−9=0所成角是（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（）A．5 B．4 C．3 D．28．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数，满足xA．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．函数f(x)=sinωx−πA．x=−π12是B．f(x)与函数y=cosC．f(x)在区间0,πD．f(x)在区间0,π210．已知等比数列an的公比为q，且a5=1，设该等比数列的前n项和为Sn，前A．aB．当q>1时，anC．Sn单调递增的充要条件为D．当q>1时，满足Tn>1的11．2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−c,0),F2(c,0)距离之积等于定值cA．PO的最大值为3c C．−c2≤y0≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若S9=313．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点F的对称点为14．若(3+i)99=x+yi四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=12x2−ax+b（1）求a与b的关系；（2）若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，求16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积记为S，已知3csin（1）求A；（2）若BC边上的中线长为1，AD为角A的平分线，求CD的长.17．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C（1）求证：直线A1C⊥平面（2）求平面A1BD与平面18．某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性（患病），小于或等于c的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.（1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值c=97.5进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出2×2列联表，依据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为误判与性别有关？（2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：指标[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者频率0.010.060.170.180.20.20.18指标[70，75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100](100,105]未患病者频率0.190.20.20.180.170.050.01假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在2.5%以内（小于等于2.5%），求临界值（3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值c0及c附：χα0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.82819．已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过焦点F作一条直线l0交C于A，B两点，点M在C的准线（1）求抛物线C的方程；（2）试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过焦点F且与x轴垂直的直线l1与抛物线C

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知，该组数据共有8个，则i=0.25×8=2，所以第25百分位数为1+32故答案为：B.【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而计算得出一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数.2．【答案】B【解析】【解答】解：由a⊥b，可得3(m−5)+2m=0，解得故答案为：B.【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示，从而得出m的值.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为sinsin两式联立可得：sinα所以tanα故答案为：A.【分析】由已知条件和两角和、差的正弦公式，展开求得sinαcosβ=4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：10=alog解得：a=20,b=10−20log设达到50米的高度需要x秒，20log解得：x=18，所以达到50米的高度需要18秒.故答案为：C.【分析】由题意列出关于a，b的方程，从而解方程组得出a，b的值，再结合已知条件，设达到50米的高度需要x秒，从而列出关于x的方程，则解方程得出x的值，进而得出达到50米的高度需要的时间.5．【答案】D【解析】【解答】解：从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为3a，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，如图所示：，则C0,0,0所以AD=则BD=因为AP=所以Pa,3a,2a,Qa,0,a，

则PQ根据cosPQ则sinPQ所以，异面直线PQ与BD所成角的正弦值为25故答案为：D.【分析】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为3a，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和向量共线的坐标表示以及数量积求向量夹角公式，则得出异面直线PQ与BD所成角的余弦值，再根据同角三角函数基本关系式，从而得出异面直线PQ与BD所成角的正弦值.6．【答案】B【解析】【解答】解：因为直线x+2y−4=0斜率k1=−12，直线设两直线的夹角为θ，则tanθ=k2−k11+故答案为：B.【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，再由两直线的夹角公式和代入计算的方法，从而结合夹角的取值范围，进而得出直线x+2y−4=0与直线3x+y−9=0所成角.7．【答案】C【解析】【解答】解：抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为x=2.5，s抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为z=1.5，s设抽取的总体样本的平均数为y和方差为s2则y=所以s2故答案为：C.【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，再结合平均数公式、方差的公式，从而计算估计出该校学生平均每天户外运动时间的总体方差.8．【答案】D【解析】【解答】解：设g(x)=f(x)x2因为x>0，xf'(x)−2f(x)<0，所以g'(x)<0，

不等式f(2x)>4x，即f2x因为g(x)在0,+∞上单调递减，

所以2x<2所以不等式的解集为：(−∞故答案为：D.【分析】利用已知条件，构造函数g(x)=f(x)x2，再由导数判断函数g(x)的单调性，从而将已知不等式转化为关于g(x)不等式，再利用函数g(x)在0,+9．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为函数fx=sinωx−π3ω>0)的最小正周期为π，

对于A，因为f−π12=sin−π6对于B，因为y=cos2x+与fx对于C，当x∈0,π4因为y=sinx在−π3,π6对于D，当x∈0,π2时，2x−π3∈−π3,2π3，

因为故答案为：AD.

【分析】先根据正弦型函数的最小正周期公式，从而求出ω的值，进而确定函数f(x)的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用已知条件和诱导公式，从而判断出选项B；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，则判断出函数f(x)在区间0,π4上的单调性，则判断出选项C；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出函数f(x)在区间10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为a5=a对于A：因为a5=1且则a3+a7=1q所以a3对于C：若Sn单调递增，等价于S又因为数列an为等比数列，则a即qn−1>0对任意n≥2恒成立，等价于即Sn单调递增，等价于q>0，

所以Sn单调递增的充要条件为对于B：若q>1，则an>0，且an+1所以数列an对于D：当n≤4时，an<1；当n≥6时，当n≤5时，Tn为递减数列，且T当n≥6时，Tn为递增数列，且T综上所述：当n≤9时，Tn≤1；当n≥10时，所以满足Tn>1的故答案为：ABC.【分析】利用已知条件和等比数列的通项公式，可知a1>0，利用已知条件和等比数列的通项公式以及均值不等式求最值的方法，则判断出选项A；利用Sn的单调性，等价于an>0,n≥2，再结合等比数列的通项公式得出对任意n≥2恒成立，等价于q>0，从而得出Sn单调递增的充要条件，则判断出选项C；利用等比数列的定义和数列的单调性，则判断出选项B；当n≤4时，an<1，当n≥6时，11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：依题意，如图所示：

对于B，由题意得双纽线的轨迹方程为x+c2+将x换成−x，把y换成−y得−x+c2即x+c2对于C，S△PF1又因为Px0,故c2sin∠当且仅当∠F1P对于D，PF1+PF对于A，当P,O重合时，PO=0当P,O不重合时，PO=两边平方得PO2在△PF1F2即PF1①②联立得，PO2当P落在x轴上（除原点）时，等号成立，故PO≤2c，PO故答案为：BCD.【分析】利用已知条件求出双纽线的轨迹方程为x+c2+y2⋅x−c2+y2=c2，将x换成−x，把y换成−y12．【答案】9【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d由S9=3a化简得(m+3)d=12d，

因为d≠0，解得m=9.故答案为：9.【分析】设公差为d，再利用已知条件和等差数列的通项公式和求和公式，再结合d≠0，从而化简计算得出m的值.13．【答案】3【解析】【解答】解：由题意，设A(0,b),B(0,−b),F(c,0)，

则AF的中点为(c2,b2)，

因为kAF=−bc，所以AF由B关于点F的对称点为B'，则B'(2c,b)，故AB联立①②，可得y=b2+c22b=由题意得a=a22b故答案为：32【分析】根据题意，设A(0,b),B(0,−b),F(c,0)，再由中点坐标公式设出AF的中点坐标，再由已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AF中垂线的斜率，再由中垂线的定义和点斜式方程，从而求出AF的中垂线，再由点与点关于点对称的求解方法和中垂线的定义，从而得出AB'的中垂线方程，再联立两直线方程得出过14．【答案】2【解析】【解答】解：由于32则(所以x=0，y=299，即故答案为：2100【分析】利用复数的运算法则和i的周期性，从而得出x，y的值，进而得出x+2y的值.15．【答案】（1）解：由f(x)=12x2−ax+blnx依题意，f'(1)=1−a+b=0，即得此时切线方程为y=12−a，

所以a−b=1a≠（2）解：函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，

等价于f'即x−a+a−1x≥0在[2,+∞)故得a≤3且a≠12，所以实数a的取值范围是【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，则得出切线的斜率，再结合代入法，从而得出a，b的关系.（2）由题意结合函数的单调性，从而得到f'(x)=x−a+bx≥0在[2,+∞)（1）由f(x)=12x2−ax+b依题意，f'(1)=1−a+b=0，即得此时切线方程为y=12−a所以a−b=1a≠（2）函数f(x)在[2,+∞)上单调递增等价于f'即x−a+a−1x≥0在[2,+∞)故得a≤3且a≠12，即a的取值范围是16．【答案】（1）解：由题意得出3csin因为sinB=3sinC≠0，

所以6所以A=π（2）解：如下图，AE是BC的中线，

则AE=1所以AE2由sinB=3sinC⇒b=3c，

又因为12bcsinπ3=12b⋅ADsinπ6+12【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦定理中的边角关系，从而化简已知条件可得cosA（2）因为AE是BC的中线，再利用平行四边形法则和数量积的运算律以及正弦定理，从而得出c2的值，再结合三角形的面积的关系式和三角形的面积公式，从而得出b（1）由题设3csin而sinB=3sinC≠0，所以6所以A=π（2）如下示意图，AE是BC的中线，则AE=所以AE2由sinB=3sinC⇒b=3c又12bcsin即33c=4AD⇒AD所以CD=A17．【答案】（1）证明：已知如图所示：

设AB=a，AD=则a,b,c为空间的一个基底，且A1因为AB=AD=AA1=2则a→2=可得A1C即A1C⊥BD,A1C⊥BB1所以A1C⊥平面（2）解：由（1）知，AC1=所以AC则AC1⊥DB所以AC则AC1⊥A1B，又因为DB∩A1B=B，DB,故AC1，A1C→设平面A1BD与平面BDD所以cosθ=所以，平面A1BD与平面BDD【解析】【分析】（1）取a,b,c为空间的一个基底，则由空间向量基本定理和数量积的运算法则，从而由两向量垂直数量积为0的等价关系，则证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证出线面垂直，即证出直线（2）由（1）知，AC1=a→+b→+c→（1）设AB=a，AD=b则a,b,c为空间的一个基底，且A1因为AB=AD=AA1=2则a→2=可得A1C⋅即A1C⊥BD,A1C⊥BB1所以A1C⊥平面（2）由（1）知，AC1=所以AC则AC又A1所以AC则AC又DB∩A1B=B，DB,A1B⊂平面故AC1，A1C→设平面A1BD与平面BDD所以cosθ=所以平面A1BD与平面BDD18．【答案】（1）解：依题意，列出2×2列联表为：误判人数未误判人数总计男性人数2498500女性人数8492500总计109901000由上表可知，χ2故可以认为，依据小概率值α=0.050的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关.（2）解：因漏诊率小于等于2.5%，由频率分布表可知，临界值c应在(100,105]依题意，有c≤100+0.015又因误诊率小于等于2.5%，由频率分布表可知，临界值c应在(95,100]依题意，有c≥100−0.015综上所述，临界值c的范围为[98.5,101.25].（3）解：由（2）已得c∈[98.5,101.25]，故c0此时误诊率为：0.01+100−98.55×0.05=0.025漏诊率为：98.5−955×0.01=0.007，即【解析】【分析】（1）依题意列出2×2列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较，即可判断误判与性别的相关程度.（2）分别根据漏诊率和误诊率都小于2.5%，再结合频率分布表，先判断临界值c所在组别，再利用百分位数的定义，建立c满足的不等式，从而得到临界值c（3）由（2）易得误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值c0的值，再根据误诊率与漏诊率的定义，从而结合频率分布表列式，即可求得c（1）依题意，列出2×2列联表为：

误判人数未误判人数总计男性人数2498500女性人数8492500总计109901000由上表，χ2故可以认为，依据小概率值α=0.050的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关；（2）因漏诊率小于等于2.5%，由频率分布表可知，临界值c应在(100,105]依题意，有c≤100+0.015又因误诊率小于等于2.5%，由频率分布表可知，临界值c应在(95,100]依题意，有c≥100−0.015综上，临界值c的范围为[98.5,101.25]；（3）由（2）已得c∈[98.5,1