广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题

广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=x3xA．−∞,1 B．13,122．复数z=3−2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列{an}A．25 B．−25 C．14．函数fxA．4 B．2 C．2π D．π5．设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为πA．2 B．3 C．4 D．56．已知函数y=fx的定义域为R，且f−x=fx，若函数y=fxA．−1 B．0 C．1 D．27．已知点P在圆C:(x−2)2+(y−3)2A．20,30 B．20,30 C．20,25 D．20,258．已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为0,+∞,fA．f1=0 B．f3=0 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9．中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2:1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为2B．李明获胜的概率为17C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为12D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为610．已知函数fxA．fx在1,2上单调递增 B．x=1是函数fC．fx既无最大值，也无最小值 D．当a∈1,2时，11．如图，几何体的底面是边长为6的正方形A1B1C1A．当λ=0时，该几何体的体积为45B．当λ=1C．当λ=12D．当点B1到直线DD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分．12．x−1x13．在△ABC中，AB=2AC，点D在线段BC上，且AD=BD=2DC=2，则△ABC的面积为．14．定义离心率e=53的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C:x2m+y216=1（m>16）是“西瓜椭圆”，则m=.若“西瓜椭圆”E:x2a四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：性别是否喜欢篮球合计喜欢不喜欢男生450150600女生150250400合计6004001000（1）依据α=0.001的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；（2）用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．附：参考数据χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8286．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=2,BC=DC=PD=1，∠ABC=90°,AB∥CD，平面ADP⊥平面ABCD,PD⊥BC．（1）证明：PD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PDC的夹角的余弦值．17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，右焦点到双曲线（1）证明：直线AB的斜率k为定值；（2）O为坐标原点，若△OAB的面积为23，求直线AB18．已知函数fx（1）若曲线y=fx在点2,f2处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求（2）若a=−1，证明：fx（3）若fx在2,+∞上有且仅有一个极值点，求正实数19．定义：一个正整数n称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列a1,a①a1②1a（1）写出最小的“漂亮数”；（2）若n是“漂亮数”，证明：n3（3）在全体满足k=4的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”n，求n−1是质数的概率．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：A=x所以A∩B=1故答案为：B.【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再根据交集的运算法则，从而得出集合A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为z=3−2i所以复数z=3−2i故答案为：A.【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z在复平面内对应的点的坐标，再由点的坐标确定点所在的象限.3．【答案】B【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d≠0若a2,a4,整理可得5d2+2d=0，解得d=−所以公差为−2故答案为：B.【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等差数列的通项公式，从而解方程得出满足要求的公差的值.4．【答案】D【解析】【解答】解：因为fx=sinx⋅cosx−3所以，函数fx的最小正周期为2π故答案为：D.【分析】利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再根据正弦型函数的最小正周期公式，则得出函数fx5．【答案】C【解析】【解答】解；抛物线和其准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，过焦点F作FC垂直于AB于点C，如图所示：

由题意可知p=2,∠AFx=∠FAC=π3根据抛物线的定义得出|AF|=|AB|=|AC|+|CB|在Rt△AFC中，|AC|=|AF|⋅cosπ3=1所以|AF|=|AB|=1解得|AF|=4.故答案为：C.【分析】由抛物线的定义和已知条件，可知|AF|=|AB|，再由直角三角形中的余弦函数的定义和抛物线的性质，可得|AB|=16．【答案】C【解析】【解答】解：令y=g(x)=log2(因为g(-x)=log2(由题易知f(x)也为偶函数，因为两个函数图象的交点个数为奇数，所以两个函数的交点，必有一个是原点，故f(0)=g(0)=log故答案为：C.【分析】利用已知条件和偶函数的定义，则判断出函数y=log2(7．【答案】A【解析】【解答】解：由圆C:(x−2)2+(y−3)2又因为A−2,0，所以|AC|=所以AC⋅因为−1≤cosAC·故答案为：A.【分析】利用圆的方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两点距离公式得出AC的长，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而由余弦函数在给定区间求值域的方法，进而得出AC⋅8．【答案】C【解析】【解答】解：令g(x)=xf(x),x∈(0,+∞∴g∴g(x)=x+C（C为常数），∵g(2)=2f(2)=-2，∴2+C=-2，则C=-4，∴g(x)=x-4,x∈(0,+∞∴f(x)=g(x)∴f(1)=1-4=-3，故A错；f(3)=1-4f(4)=1-1=0，故C正确；f(6)=1-4故答案为：C.【分析】够造函数g(x)=xf(x)，求导后为常数1，则g(x)=x+C，根据题意和代入法求出C的值，进而得到函数f(x)的解析式，再由代入法逐项判断得出正确的选项.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，

事件C为“李明获胜”，则由题意可知P(A)=2对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)=P(A)P(C|A)=2对于B，李明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=2对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A∣C)=P(AC)对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B∣C)=P(BC)故D错误.故答案为：ABC.【分析】根据条件概率的乘法公式，则判断出选项A；利用全概率公式，则判断出选项B；根据条件概率公式，则判断出选项C；利用条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：由题意得f(x)=|x-2|e所以f'对于A，当x∈(1,2)时，所以f(x)在(1,2对于B，当x∈(-∞,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,2)时，所以f(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,2)单调递减，在所以x=1是函数f(x)的极大值点，故B正确；对于C，当x→-∞时，f(x)=|x-2|ex-a>-a，当又因为f(1)=e所以函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的值域为[-a,+∞)，所以f(x)有最小值，无最大值，故C错误；对于D，当x≥2时，f(x)在[2,+∞因为a∈(1,2)，所以f(2)=-a<0,f(3)=e所以f(x)在[2,+∞当x<2时，f(x)在(-∞,1)上单调递增，在又因为f(1)=e-a>0，

当x→-∞再结合f(x)的大致图象，函数f(x)在(-∞,1)有一个零点，在综上所述，当a∈(1,2)时，f(x)有三个零点，故D正确.故答案为：BD.【分析】利用绝对值的定义得出分段函数f(x)用的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，则判断出选项A；再利用函数的单调性求出函数的极大值点，则判断出选项B；利用函数极限和分段函数的大致图象，从而得出函数的值域，则判断出选项C；利用函数的单调性和零点存在性定理以及函数的极限，从而结合分段函数的图象，则判断出选项D，进而找出正确的选项.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：若λ≠0，即BC=AD=λ对于A：当λ=0时，即BC=取A1B1,C因为AA1⊥底面A1B1C1D1，A1B1⊂底面A1B1C1D1，

又因为AB=A1E，AB∥A1E，

可知A可知AA1D1−BEF所以该几何体的体积为V=V对于B：当λ=13时，即BC=AD=对于C：当λ=12时，即BC=AD=如图所示，E,O1,G因为AA1⊥底面A1B且正方形ABCD−A1E所以最大球的半径R=32，即S的最大值为对于D：以A1为坐标原点，A1B则B16,0,0,D1则点B1到直线DD可知dλ在0,1内单调递增，

所以当点B1到直线DD故答案为：ACD.【分析】根据题意结合图形，再利用分割法和三棱锥体积、三棱柱的体积以及求和法，从而得出组合体的体积，则判断出选项A；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出选项B；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出该几何体为台体，再利用中点的性质和正方形的判断方法，则判断出ABCD−A1EO1G为正方形，再结合线面垂直的性质定理和正方体的内切球的结构特征，从而得出最大球的半径，再由球的表面积公式得出球的表面积的最大值，则判断出选项C；利用已知条件建系，再利用空间向量求点到面的距离的公式和函数的单调性，则得出点12．【答案】70【解析】【解答】解：由题意可知：展开式的通项为Tr+1令4−r=0，解得r=4，所以，展开式中常数项是−14故答案为：70.【分析】根据二项式定理求出展开式的通项，再利用常数项的定义和赋值法，则得出x−13．【答案】3【解析】【解答】解：设AC=x，则AB=2x，在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=在△ADB中，由余弦定理可得cos∠ADB=又因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADC+所以12+2又因为AC2+BC2=3+9=12=AB所以S△ABC故答案为：33【分析】设AC=x，则AB=2x，由∠ADB+∠ADC=π，再结合余弦定理可得x的值，再利用勾股定理判断出三角形为直角三角形，从而由三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积.14．【答案】36；±【解析】【解答】解：(1)∵椭圆C：x2m+y216=1(m>16)是"西瓜椭圆"，

∴离心率e=1-16m=53，解得m=36.

（2）设Ax1,y1、Bx2,y2，

联立y=kxx2a2+y2b2=1消去y并整理得b2+a2k2x2-a2b2=0，

∴x115．【答案】（1）解：零假设H0χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；（2）解：根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，

所以X的可能的取值为0，1，2，P(X=0)=C20C6所以X的分布列为X012P5153E(X)=0×5【解析】【分析】（1）根据题意补全2×2列联表，再利用列联表计算出卡方值，并与边界值比较，从而推出假设不成立，则认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联.（2）利用分层抽样的方法可得抽取的男生人数与女生人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再结合超几何分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用期望公式得出随机变量X的数学期望.（1）零假设H0χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；（2）根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，所以X的为0，1，2，P(X=0)=C20C6所以X的分布列为X012P5153E(X)=0×516．【答案】（1）证明：取AB的中点E，连接DE,BD，如图所示：

∵∠ABC=∴∠∵BC=DC=1，∴BD=B∵E为∴BE=CD,BE//CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∵BC=BE=1,∠∴四边形BCDE为正方形，∴∠∴AD=A∵AD∴AD⊥BD，∵平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD，∵PD⊥BC,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.（2）解：由（1）可知DA、DB、DP两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示：则P(0,0∴PA设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅令x=1，则z=2∴n∵PD⊥BC,BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，∴BC=-设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则cosθ=|所以，平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为22【解析】【分析】（1）取AB的中点E，连接DE,BD，再利用勾股定理和中点的性质，从而判断出边形BCDE为平行四边形，再结合正方形的判断方法，则判断出四边形BCDE为正方形，再利用勾股定理得出线线垂直，再由面面垂直、线面垂直和线线垂直的推导方法，则证出PD⊥平面ABCD.（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则得出平面PAB的法向量与平面PDC的法向量，再利用数量积求向量夹角的余弦值的方法，则得出平面PAB与平面PDC的夹角的余弦值.（1）取AB的中点E，连接DE,BD，∵∠∴∠∵BC=DC=1，∴BD=B∵E为∴BE=CD,BE//CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∵BC=BE=1,∠∴四边形BCDE为正方形，∴∠∴AD=A∵AD∴AD⊥BD，∵平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD，∵PD⊥BC,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.（2）由（1）可知DA、DB、DP两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0∴PA设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅令x=1，则z=2∴n∵PD⊥BC,BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，∴BC=-设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则cosθ=|所以设平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为2217．【答案】（1）证明：由已知可得ca=2bca所以双曲线方程为x2设A(x所以x12−y1又因为线段AB的中点为M2m,mm≠0，

所以x1所以4m(x1−x2所以直线AB的斜率k为定值.（2）解：由（1）设直线AB的方程为y=2x+t，如图所示：

由x2−y2=1y=2x+t，所以x所以Δ=16t2−12t所以x1+x所以|AB|=5又因为原点到直线AB的距离为d=|t|所以△OAB的面积为12化简可得|t|4t2所以直线AB的方程y=2x±2．【解析】【分析】（1）由题意和双曲线的离心率公式、点到直线的距离公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而建立方程组得出a，b，c的值，则得出双曲线的标准方程，设点A，B的坐标，由代入作差法，再由中点坐标公式和韦达定理以及代入法，从而根据两点求斜率公式证出直线AB的斜率k为定值.（2）由（1）设直线AB的方程为y=2x+t，再联立直线与双曲线的方程结合判别式法得出t的取值范围，再由韦达定理和弦长公式得出弦长|AB|，再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及三角形的面积为23，从而得出t的值，进而得出直线AB（1）由已知可得ca=2所以双曲线方程为x2设A(x所以x12−又线段AB的中点为M2m,mm≠0，所以x1所以4m(x1−所以直线AB的斜率k为定值；（2）由（1）设直线AB的方程为y=2x+t，由x2−y2=1所以Δ=16t2−12t所以x1+x所以|AB|=5又原点到直线AB的距离为d=|t|所以△OAB的面积为12化简可得|t|4t2所以直线AB的方程y=2x±2．18．【答案】（1）解：由题意可知：y=fx的定义域为1,+∞，则f2=0，f'2=12−a，

即切点坐标为令x=0，可得y=2a−1，可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2a−1=2a−1=2，所以a的值为−12或（2）证明：若a=−1，则fx若fx=x+1设gx=x−ln令g'x>0，解得x>2；令g可知gx在1,2内单调递减，在2,+则gx≥g2所以fx（3）解：由（1）可知：f'令f'x=0设Fx则F'因为a>0，x>2，所以F'所以函数Fx在2,+∞上单调递减，且当x趋近于+∞，所以只需F2=−0+2−4a>0，得所以正实数a的取值范围0,1【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出切线方程，从而由赋值法得出切线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式和已知条件得出a的值.（2）利用a的值得出函数的解析式，将fx=x+1lnx−1x<x+1（3）由（1）可知：f'x=−1x2ln（1）由题意可知：y=fx的定义域为1,+∞，且则f2=0，即切点坐标为2,0，切线斜率k=12−a令x=0，可得y=2a−1，可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2a−1=2a−1所以a的值为−12或（2）若a=−1，则fx若fx=x+1设gx=x−ln令g'x>0，解得x>2；令g可知gx在1,2内单调递减，在2,+则gx≥g2所以fx（3）由（1）可知：f'令f'x=0设Fx则F'因为a>0，x>2，所以F'所以函数Fx在2,+∞上单调递减，且当x趋近于+∞，F所以只需F2=−0+2−4a>0，得所以正实数a的取值范围0,119．【答案】（1）解：若n是“漂亮数”，

设a1<a2<...<ak−1<ak=nk≥2满足1a1+1a2+...+1ak=1，

则1=1a1+1a2+...+1ak>1a1，所以a1>1，即a1≥2，

故a（2）证明：若n是“漂亮数”，

设a1<a2<...<ak−1<ak=nk≥2满足1a1+1a2+...+1ak=1，

（3）解：若k=4，