2024-2025学年浙江省台州市温岭市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年浙江省台州市温岭市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题1.已知递增的等差数列的前项和为，则（）A.70 B.80 C.90 D.100【正确答案】D【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解.【详解】设等差数列的公差为d，则由题得，解得，所以.故选：D.2.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率．【详解】椭圆，左焦点F−c,0，下顶点，设，，的中点为，，．，．由，，两式相减得，可化为，得，即，两边平方得，化为：，解得，又，解得．故选：A．3.两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A4.已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（）A.120 B.180 C.210 D.420【正确答案】C【分析】根据累加法可得，进而可得，即可根据等差求和公式求解.【详解】，由于，与的夹角为，故，因此，故，故选：C．5.《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系.【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，得，所以法向量为，设，因为，因为平面，则，所以，解得，则.故选：B二、多选题6.已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆恒相交C.直线，的交点在定圆上D.若为中点，则的最小值为【正确答案】ACD【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D.【详解】对于选项A，因为直线，即，令，解得，则直线恒过定点，故A正确；对于选项B，因为直线，即，令，解得，所以直线恒过定点，将点代入圆可得，即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误；对于选项C，联立两直线方程可得，解得，消去可得，即，故C正确；对于选项D，设，因为，且为中点，所以，而圆的圆心，半径为，则圆心到弦的距离为，即，即点的轨迹方程为，圆心，半径为，由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为，两圆圆心距为，所以的最小值为，故D正确；故选：ACD7.首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A.若，则，；B.若，则使的最大的n为15；C.若，，则中最大；D.若，则.【正确答案】ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.8.已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（）A.若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为B.若直线过焦点，则以为直径的圆与相切C.若直线过焦点，当时，则D.设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关【正确答案】BCD【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示：抛物线的焦点为，准线为，设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得，则，当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错；对于B选项，若直线过焦点，则，线段的中点到直线的距离为，所以，，因此，以为直径的圆与相切，B对；对于C选项，当时，直线的方程为，联立可得，不妨取、，则，此时，，C对；对于D选项，线段的中点坐标为，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，由题意可得，由作差得，所以，，D对.故选：BCD.9.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面截正方体所得截面为六边形B.点G到平面的距离为定值C.若，且，则G为棱的中点D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【正确答案】BCD【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解.【详解】对于A，连接，在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以，，所以，则平面与平面为同一平面，所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误；对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确；对于C，连接，因为，且，所以四点共面，因为在正方体中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方体中，，所以四边形是平行四边形，则，则，因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确；对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，设，则，所以，设平面的法向量为n=a,b,c，则，令，则，故，设直线与平面所成角，则，因为，所以，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.故选：BCD.三、填空题10.等差数列的前项之和为，若，，则______．【正确答案】90【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故9011.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【正确答案】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为.该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.12.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________．【正确答案】分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离,故13.已知离心率为

的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________．【正确答案】【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解．【详解】设为右焦点，半焦距为，，，为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，，则，，，所以，从而有，故，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故．思路点睛：关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．四、解答题14.等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【小问1详解】设数列的公差为，∵，∴，∵，∴，∴公差为，∴，∴；【小问2详解】由已知，时，；时，；综上.15.如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点（1）求的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可；（2）根据向量数量积公式和运算律求解即可.【小问1详解】因为为线段的中点，，所以，，所以，又因为，，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.16.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）存在，．【分析】（1）根据圆心到直线的距离公式得到，可得，进而结合离心率求解即可；（2）根据题意得到，可得点的轨迹为抛物线，进而求解；（3）设，，，且，，由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，再根据二次函数性质求解即可.【小问1详解】由题意，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切，则，