2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，且，则（

）A． B．C． D．2．方程，化简的结果是（

）A． B．C． D．3．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（

）A． B．C． D．4．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．或5．下列结论正确的是（

）A．若直线与直线平行，则它们的距离为B．原点到直线的距离的最大值为C．点关于直线的对称点的坐标为D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为6．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（

）A．或 B．C．或 D．或8．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知正方体，点P满足，，，则下列结论正确的是（

）A．三棱倠的体积为定值B．当时，平面C．当时，存在唯一的点P，使得与直线的夹角为D．当时，存在唯一的点P，使得平面10．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（

）A．曲线有4条对称轴 B．的最小值是C．曲线围成的图形面积为 D．的最大值是111．已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，是坐标原点，是椭圆上不同于的两个点，且过，则下列说法中正确的是（

）A．一定是钝角三角形 B．一定是锐角C．可能为直角 D．周长为定值三、填空题（本大题共3小题）12．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则.13．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为．14．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则，面积的最大值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求的方程．16．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．17．已知椭圆的焦距为，且的离心率为.(1)求的标准方程；(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.18．如图，在四棱锥中，平面，，，．为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．（1）求证：平面；（2）若．判断直线是否在平面内，说明理由．（3）设与平面所成角为，求的范围.19．椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满．（1）求离心率的取值范围；（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上点的最远距离为.①求此时椭圆的方程；②设斜率为的直线与椭圆相交于不同两点、，为的中点，问：、两点能否关于过点、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.

答案1．【正确答案】B【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量，则，因为，于是得，解得，所以.故选B.2．【正确答案】B【详解】根据两点间的距离公式可得:表示点与点的距离,表示点与点的距离.所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:根据椭圆中:,得:所以椭圆的方程为:.故选:B.3．【正确答案】C【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值.故选：C4．【正确答案】C【详解】设点关于直线对称的点，则，解得.因为在外，所以，可得，且表示圆可得，即得，综上可得.故选：C.5．【正确答案】C【详解】A选项：由题意得，∴，当时，两直线均为；当时，两直线分别为：，，∴两直线距离，故A选项错误;B选项：直线即过定点，设为A，∴原点到直线的距离在直线和OA垂直时取得，∴最大距离，故B选项错误；C选项：∵直线的斜率为，则和其对称点的连线的斜率，∴，联立方程组，解得，即对称点坐标，故C选项正确；D选项：由解析式可得直线的截距为，∴所围成的三角形的面积，故D选项错误.故选：C.6．【正确答案】D【详解】解：设的中点为，由题意可知平面，连接、、，在三棱柱中，所以即为异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为，则，分别在和中，由勾股定理，可知，，在中，由余弦定理，得；所以异面直线与所成的角的余弦值为．故选：D．7．【正确答案】C【详解】，，即圆M：的上半部分，如图：圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，①外切：，d为圆心距，，此时，②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径，圆（3）处的半径，所以，综上，正数的所有取值为或.故选：C.8．【正确答案】C【详解】，设Px1,y1，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆C的离心率为．故选：C9．【正确答案】ABC【详解】选项A，由题意在面内，因此它到平面的距离等于正方体的棱长，为常数，而面积为常数，因此为常数，A正确；

选项B，，则，因此点轨迹是线段，连接，由与平行且相等，因此是平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，同理平面，而与是平面内两相交直线，所以平面平面，平面，则平面，B正确；

选项C，取中点，中点，连接，由得点轨迹是线段，同选项A分析知，与直线的夹角即为与直线的夹角，由正方形知当只有当与重合时，与直线的夹角为，C正确；

选项D，由知在线段上，过与平面垂直的直线只有，因此不可能与平面垂直，D错．

故选：ABC．10．【正确答案】ACD【分析】当时，化简方程为，结合曲线的对称性，画出曲线的图象，结合图象，可得判定A正确，把表示曲线上的点到直线的距离的倍，可判定B错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C正确；设表示点与点确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D正确.【详解】当时，原方程化为，即，所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.，对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称，所以该曲线有4条对称轴，所以A正确，对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍，结合图象得，当是时，距离最小值为，所以最小值为，所以B错误；对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，所以面积为，所以C正确；对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率，设该直线方程为，结合图象，当，即，则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确.故选ACD.11．【正确答案】ABD【详解】由题意可知：，设点.对于选项A：因为，所以，由椭圆方程可知：，代入上述式子得：，因为点异于点，所以，所以，即，又因为，所以，即，所以，所以在内，为钝角，所以一定是钝角三角形.故选项A正确；对于选项B：因为，所以，由椭圆方程可知：，代入上述式子得：，设，则，显然，所以在上单调增加，当时，，所以当时，，所以在上单调递增，因为，而，所以，即，所以，所以在内，一定为锐角，故选项B正确；对于选项C：因为，由选项B的解析过程可知：，所以，所以与不垂直，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的定义可知：，所以周长为：，故选项D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】解：，，所以，解得，所以，故113．【正确答案】和【详解】因为直线：与：平行，所以与之间的距离．设直线与，的夹角为（），因为直线被直线与截得的线段长，所以，解得．因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为，所以直线的倾斜角的值为和．故和.14．【正确答案】【详解】设点，由，得，整理得，所以解得如图，当或时，.故

.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆心坐标为，又因为圆的半径为2.由勾股定理可得圆心到直线的距离所以.所以圆的方程为：（2）由已知：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意.（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，又因为圆心到直线的距离所以直线的方程为.综上所述：直线为或.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)或【详解】（1）证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E，F分别是，的中点，，设，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量，由得令，则，即．设平面的一个法向量，由得,令，则,即．所以，因为二面角的余弦值为，所以，解得或．所以的长为或．17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：，即，则，所以的标准方程为.（2）由题意设，联立，消去得：，则，则，可得，设直线与轴的交点为，且，则，故，解得.

18．【正确答案】（1）证明见详解;（2）直线在平面内，理由见详解；（3）【分析】（1）由平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证；（2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内；（3）由点是线段上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面.（2）在底面中，过作，交于，因为由题意可知，平面，所以以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，所以，，，因为平面，所以，且，使得，则有，解得，故.所以直线平面.（3）因为由（2）可知，.设，所以，因为设平面的法向量为，则，即，令，有，所以.所以，令，则，因为，，所以.19．【正确答案】（1）；（2）①；②能，k的范围为.【详解】（1）设，由在椭圆上，则，则①，由，，则，可得②，将①代入②：，整理得，而，所以，即，所以