2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若直线的倾斜角为，则（

）A． B．1 C． D．2．已知直线与圆相切，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．5．已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．8．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．关于曲线，则（

）A．曲线不可能表示直线B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为10．如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（

）

A．B．直线与所成角的余弦值为C．直线和平面所成角的正弦值为D．若为线段的中点，则直线平面11．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左､右顶点分别为，直线与直线及轴分别交于点，则（

）A．的周长为10B．直线的斜率之积为定值C．当时，线段的中点到直线的距离为D．若，则的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．在平面直角坐标系中，是坐标原点，则过点且与直线垂直的直线的方程为.13．已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为.14．已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为.(1)求直线的方程；(2)求的面积.16．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面为的中点.(1)证明：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.17．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作两条直线，直线与交于两点.(1)若的面积为，求的方程；(2)若与交于两点，且的斜率是斜率的倍，求的最大值.18．已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为.(1)求圆的方程；(2)过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标.19．在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为.(1)求的方程；(2)设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围；(3)已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】D【详解】依题意，.故选：D2．【正确答案】B【详解】由题意，得圆心坐标为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以，解得.故选：B3．【正确答案】C【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值.【详解】由题意得，，其中，故，解得或8，故选C.4．【正确答案】C【详解】因为，所以，所以.故选：C5．【正确答案】D【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接，则四边形为平行四边形，设，由椭圆的对称性得，其中，即，所以，令，所以当时，，当或3时，，即的取值范围是.故选：D

6．【正确答案】B【详解】令，可得出，这是一个半径为的圆，根据比例尺得出实际圆的半径长为，所以占地面积为.故选：B.7．【正确答案】C【详解】设点，根据中点的坐标公式可得，代入椭圆方程得，其中.故选：C8．【正确答案】A【详解】因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，则、，设，其中，所以，，则点到直线的距离，设，因为，所以，则.所以，点到直线的距离的最小值为，故选：A.9．【正确答案】BC【详解】对于A，当，时，方程为，即或，此时方程表示直线，故A错误；对于B，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，将椭圆方程化为标准形式，所以，则，故B正确；对于C，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，将方程化为，依题意，焦距，故C正确；对于D，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，将方程化为，依题意，椭圆长轴长为，故D错误.故选：BC.10．【正确答案】ABD【详解】因为又所以又，所以又，所以综上可知：分别为所在棱的三等分点，由于直线不平行于平面，所以两点到平面的距离不相等，所以两个三棱锥的体积不相等，故A正确；对于B，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，则直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C，，则，设平面的一个法向量为，则，取，设直线与平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为，故C错误；对于D，连接，交于点，连接，则，又平面平面，从而平面，故D正确.故选：ABD11．【正确答案】BD【详解】如图，椭圆，长轴长，短轴长，焦距，对于A，直线过椭圆的左焦点为右焦点，则的周长为，故A错误；对于B，设Mx1,所以，同理，所以直线的斜率之积为，故B正确；对于C，将直线与联立得，设Nx2,y2线段的中点到直线的距离为，当时，，故C错误；设，由共线得，即，同理由共线得，所以，而，则，所以，又，则，故D正确.故选：BD.12．【正确答案】【详解】直线的斜率为，所以与垂直的直线斜率为，又直线过点，可得所求直线的方程为，即.故答案为.13．【正确答案】【详解】设双曲线的标准方程为，，由已知可得，即，因为，所以，所以，故双曲线的方程为.故答案为.14．【正确答案】/【详解】如图，由，得，又因为F1,0为，的中点，所以，即N为PF的三等分点，且，又因为，所以，且，所以．不妨设Px0,y0，且在第一象限，，因为点Px所以，所以△AMN的面积．故答案为.15．【正确答案】(1)(2)5【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即点，设点的坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即，所以直线的方程为，即.（2）由（1）可得，又点到直线的距离.所以的面积.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为为等边三角形，所以.又因为平面平面，平面平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）解：因为，又为中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，所以两两垂直.以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）解：由题意知，易知的斜率不为，设，联立，得，所以.所以，由，解得，所以的方程为或.（2）由（1）可知，因为的斜率是斜率的倍，所以，得.所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.18．【正确答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）设线段的垂直平分线斜率为，则，所以.又线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即，则圆心的坐标在上，所以.因为，圆的所有过点的弦中最短弦长为，易知最短弦垂直于，所以,所以，则圆的方程为.（2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为，与圆的方程联立并消去得，设，则，直线的方程为，令，得，所以.同理得，所以线段的中点纵坐标为，所以线段的中点坐标为，是一个定点.19．【正确答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【详解】（1）设，由点为双曲线上的一点，得①因为，所以，得②，又③，由①②③得，，所以双曲线的方程为；（2）设，因为，，所以，.由，得，即，又，则，解得，所以，即的取值范围是；