2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期期中数学学情调研试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期期中数学学情调研试卷本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A. B. C.2π3 D.【正确答案】D【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角.直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，则.故选：D．2.若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意得到直线过圆心，将代入直线方程，求出答案.由题意得直线过圆的圆心，故，解得，所以圆心坐标为.故选：A3.双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可.因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，解得.故选：D.4.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，BA.2 B.3 C.4 D.6【正确答案】A【分析】根据给定条件，可得，再由四边形周长求出即可得解.因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆面积为，则，又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，则四边形为平行四边形，因为四边形的周长为12，由椭圆的定义得，解得，所以椭圆的短半轴长.故选：A.5.直线与以为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用点到直线的距离公式及弦长公式的逆运用计算半径即可.易知到的距离为，所以该圆的半径为，故该圆方程为.故选：B6.已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可.设，圆M的半径为r，易知则由题意可知，即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1，则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等，所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即.故选：B7.双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，即，所以，解得，所以，故，由，解得，所以，故C项正确.故选：C.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】取弦AB的中点D，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出的关系，即可得解．如图，取弦AB的中点D，连接，则，即，因，所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以，因为，所以OD垂直平分弦AB，因，，所以，所以，由椭圆定义可得，，所以，解得，，又，，所以，故，所以椭圆的方程为.故选：B.方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，直线，下列说法正确的是（）A.始终过点 B.若，则或C.若，则 D.当时，始终不过第一象限【正确答案】ACD【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D.对于A：直线，即，令，解得，所以直线过定点，故A正确；对于B：若，则，解得或，当时，，，则，当时，，，即，则与重合，故舍去，所以，故B错误；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D：当时，直线始终过点，斜率，所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确．故选：ACD．10.抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（）A.为定值 B.C.A，O，三点共线 D.【正确答案】AC【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D.易知F1,0，准线方程，不妨设，与抛物线方程联立有，所以，而，故A正确；易知，则，显然，即，故B错误；易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；由抛物线定义可知，由上知，所以，故D错误.故选：AC11.已知曲线，点，，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于对称B.曲线C上存在点P，使C.直线与曲线C无公共点D.点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值【正确答案】BCD【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D.当时，曲线，表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分，当时，曲线，表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分，其渐近线方程为，焦点为，，当时，曲线，表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为，当时，曲线，不表示任何图形，对于A，因为，所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误；对于B，当点在第四象限时，，故B正确；对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确；对于D，设，则，则，故D正确故选：BCD.方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.抛物线的焦点坐标是______.【正确答案】【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为.13.设Px0,y0为直线上的动点，若圆上存在两点，，使，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】判断直线与圆的位置关系，当点在圆外时，过点的两条切线所成的以为端点过切点的两条射线形成的角最大，求出此角不小于的的范围.易知圆的圆心到直线的距离，即直线与圆相交，当点在圆及内部时，显然该圆上存在两点，，使，此时，当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，显然是圆上两点与形成夹角中最大的，则只需即可，此时，则，

综上，即，满足题意，又，则，解得.故14.已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为______．【正确答案】【分析】取的中点，得到为的中点，设Ax0,y0，，根据垂直关系得到直线l的方程，求出和，利用点差法得到，从而得到方程，求出，，从而求出直线方程.取的中点，连接，因为，所以，即，故，即，即为的中点，设Ax0,y0直线l与圆O相切于第一象限的点A，故，所以，直线l的方程为，令得，故，故的中点，设，则，两式相减得，化简得，故，即，即，，解得，负值舍去，又，故，负值舍去，所以直线l的方程为，即.故直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握.四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程；（2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标．【正确答案】（1）和，（2）【分析】（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解，（2）根据垂直满足的斜率关系即可求解.（1）当直线经过原点时，设直线，代入2,3可得，当直线截距不为0时，设，代入2,3可得，解得故直线方程为，即，综上可得直线方程为和（2）设，由于直线的斜率为故，又，解得则，故16.已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）利用两点距离公式设点坐标化简计算即可；（2）假设存在，设线设点，利用圆的性质得，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可.【小问1】设Mx,y，则，整理得；【小问2】设存在，联立圆C方程有，整理得，则Δ=−2b2此时弦PQ为直径的圆过原点，即，即，符合题意；即或.17.已知，是椭圆上两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【正确答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可.【小问1】已知，B2,1是椭圆上两点,可得，解得：，所以椭圆C的标准方程为；【小问2】设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为，与椭圆相交的交点坐标分别为，此时交点弦长，不符合题意，所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立，消得：，整理得：，设交点，则，则，整理得：，即，所以直线l的方程为或.18.在平面直角坐标系中，已知双曲线左右顶点分别为，．（1）过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值；（2）过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．【正确答案】（1）或（2）为定值【分析】（1）联立直线与双曲线方程，分二次项系数是否为零，结合根的判别式即可得解；（2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再结合斜率公式化简即可得出结论.【小问1】直线方程为，联立，消得，当，即时，此时方程仅有一个解，即直线与双曲线C有且只有一个公共点，当，即时，则，解得，综上所述，或；【小问2】由题意可设直线的方程为，，联立，消得，则，，则，因为，所以，则，所以为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.已知抛物线，Px0,y0为抛物线上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”，设为方程的两个实根，记．（1）求点的“特征直线”l的方程；（2）已知点G在抛物线上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与y轴的交点为H，点为线段GH上的点，求；（3）已知C，D是抛物线上异于原点的两个不同的点，点C，D的“特征直线”分别为，，直线相交于，且与y轴分别交于点E，F．当（其中为点C的横坐标）时，证明：点M在线段CE上．【正确答案】（1）；（2）3；（3）证明见解析.【分析】（1）根据新定义计算的斜率为2，再由点斜式计算直线方程得到答案.（2）根据与渐近线垂直得到，线段的方程，得到，代入方程得到，，计算得到.（3））设坐标，利用新定义计算，方程，联立解得，从而得到所对应的方程为：，计