2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（

）A． B． C． D．2．若点在圆的外部，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．3．曲线与曲线（）的（

）A．短轴长相等 B．长轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等4．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或5．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．117．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知圆与圆交于两点，则面积取最大值时圆心的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（

）A． B． C． D．10．已知圆，直线，则以下命题正确的有（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交C．轴被圆截得的弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为11．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（

）

A．的方程为 B．的最小值为C． D．曲线在点处的切线与线段垂直三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是.13．已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是.14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知点，直线.(1)求点到直线的距离；(2)求点关于直线l的对称点的坐标.16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.(1)求圆的方程；(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程.18．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)A为椭圆C的左顶点，点在椭圆上，且点不在轴上，线段AP的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线AP的方程.19．已知拋物线的焦点，直线，(1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）；(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值.

答案1．【正确答案】A【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为，则直线的斜率为，因为，所以，故选：A.2．【正确答案】C【详解】因为点在圆的外部，则，即，解得，故选：C.3．【正确答案】C【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确．4．【正确答案】B【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为，由题意得，，解得，则该双曲线的标准方程为．当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为，由题意得，，解得，则该双曲线的标准方程为．综上，该双曲线的标准方程为或．故选：B．5．【正确答案】A【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解之得，于是直线，即，所以与之间的距离为.故选A.6．【正确答案】A【详解】抛物线的焦点为，准线方程是，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得，∴，当且仅当共线时取等号，∴的最小值为8．故选：A．7．【正确答案】C【详解】设，因为点在双曲线上，则，两式相减可得，整理可得，又线段的中点是，则，所以，又直线过点，得到，所以，得到，故选：C.8．【正确答案】D【详解】由题意得：，所以圆心，半径，由两圆相交于两点可知：，所以的面积，因为是半径为1的圆，所以，当时，，又，此时由，解得，，故可以取最大值2；所以当时，最大，且是锐角，根据函数的单调性可知：当时，最大，此时三角形面积最大，圆心N的纵坐标为，故选：D9．【正确答案】AC【详解】∵点在第二象限，∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上．当拋物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的标准方程为，∵点在抛物线上，则，解得，∴抛物线的标准方程是；当拋物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的标准方程为，∵点在抛物线上，则，解得，∴抛物线的标准方程是.综上，抛物线的标准方程是或.故选：AC.10．【正确答案】BCD【详解】对于A，由，则，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；对于B，由，则圆心，半径，因为，即定点在圆内，故B正确；对于C，令，整理圆的方程为，解得或，所以轴被圆截得的弦长为，故C正确；对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，由直线的斜率，直线的斜率，且，则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确.故选：BCD.11．【正确答案】BCD【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合，故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故选项A错误；对于选项B，由图可知与互补，设，在中，，则，又，所以，当且仅当时取等号，又，所以，得到的最小值为，故选项B正确；对于选项C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；对于选项D，设点，下面先证明椭圆上一点的的切线方程为.联立，消去得，则，又，所以.所以椭圆上一点的的切线方程为.则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，又，所以，则得，解得，所以，又，因为，所以，所以，所以，所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确

故选：BCD.12．【正确答案】【详解】设椭圆方程为，则，解得，故椭圆方程为.故13．【正确答案】【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切，又圆的圆心为，半径为，由，得到，则，且圆的圆心为，半径为，由题有，得到，解得，故答案为.14．【正确答案】【详解】设，则，圆的圆心，半径为，由切圆于点，得，则，当且仅当时，等号成立，可知的最小值为，整理可得，解得，且，所以，故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为点，直线，所以点到直线的距离为.（2）设，则，即，解得，所以点关于直线l的对称点的坐标为.16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意，设圆心，半径，∵圆M经过点，∴，∵圆M与直线相切，∴圆心到直线的距离，∴，化简，解得，则圆心，半径，所以圆M的方程为．（2）由题意，圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离由，解得，则直线的方程为，即，综上，直线的方程为或．17．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，即，∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，∴，即，又，则，解得，所以双曲线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设，由得，由题意得，解得，因为，所以，又点O到直线的距离，所以的面积，则，即，解得或，又因为，所以，所以直线的方程为或．

18．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）因为离心率，即，短轴长为2，即，又，解得，所以椭圆C的方程为．（2）由题意可知，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，因为点P不在x轴上，则，设直线的方程为，，联立，可得，由题意可知，是方程的两根，由韦达定理可得，∴，所以，从而，可得的中点为，所以直线的垂直平分线方程为，令，解得，即因为为等边三角形，则，即，整理得，即，解得，即，所以直线AP的方程为或，即或．19．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线，由题知，由，得到，所以，在中，，