2024-2025学年湖南省益阳市安化县高二上学期期中数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖南省益阳市安化县高二上学期期中数学检测试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间向量，，若，则（

）A．4 B．6 C． D．4．设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝（

）A． B． C． D．5．设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围A． B．C． D．6．一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（

）A．1 B．2 C．13 D．268．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14 B．16 C．18 D．20二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，满分18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（

）A． B．与所成角的余弦值为C．平面 D．与平面所成角的余弦值为10．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，则在上的投影向量为B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（

）A．C的方程为B．在x轴上存在异于的两定点，使得C．当三点不共线时，射线是的平分线D．在C上存在点M，使得三、填空题:本题共4小题，每小题5分，满分15分12．设复数满足，则．13．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到米．14．已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为．四、解答题:本题共5小题，满分87分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤15．（1）在△ABC中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积.16．“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：(1)求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率.17．已知圆，直线.(1)求证直线恒过定点；(2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．(1)证明：平面；(2)证明：；(3)若，，求二面角的余弦值.19．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.答案1．D【分析】直接利用集合的运算求解即可.★解析：因为，，所以或.故选：D2．A★解析：若“”，则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=−1，或m=−2故“”是“”的充分不必要条件，故选A3．C【分析】求得，进而可得，求解即可.★解析：因为，因为，所以，解得.故选：C.4．A★解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×.而a>1，所以a＝.故选A.5．D根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.★解析：直线l的斜率为k，且，∴，.∴.故选：D.本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.6．D【分析】根据两圆位置关系分析可得，结合椭圆的定义分析求解.★解析：由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；因为，可知圆与圆内切于点，

显然圆心不能与点重合，设圆的半径为，由题意可知：，则，可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外），且，可得，所以点的轨迹方程为.故选：D.7．B【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得.★解析：设平面的法向量，则，令，得，所以这个四棱锥的高.故选：B8．C【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．★解析：如图所示设椭圆的左焦点为，则，则，，的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．的周长最大值等于18．故选：C．9．ABC【分析】A.由求解判断；B.利用空间向量的数量积运算求解判断；C.由是否为零判断；D.由与AC的夹角的余弦值判断.★解析：A.因为，所以，，，故正确；B.因为，所以，所以，故正确；C.因为，所以，又，所以平面，故正确；D.由题意知：与平面上的射影为AC，则与AC的夹角即为所求，而，故错误.故选：ABC10．ABC【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D.★解析：选项A：因为，所以在上的投影向量为，故选项A正确；选项B：因为，故选项B正确；选项C：是空间的一组基底，，所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故选项C正确；.选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量，，则直线或，故选项D错误；故选：ABC11．BC【分析】设点，根据求出的轨迹方程可判断A；假设在x轴上存在异于的两定点使得，设，根据、点P的轨迹方程求出可判断B；由利用余弦定理可判断C；设，由、点M在C上解得无实数解可判断D.★解析：设点，则，化简整理得，即，故A错误；假设在x轴上存在异于的两定点，使得.设，则，化简整理得，由点P的轨迹方程为得，解得或，因为点异于点，所以，所以假设成立，故B正确；由于，只需证明，即证，化简整理得，又，则，则，故C正确；

设，由得，整理得①，又点M在C上，故满足②，联立①②，解得无实数解，故D错误.故选：BC.12．2【分析】由题意，，利用复数的除法运算可化简得到，利用模长公式即得解★解析：由题意，故213．8【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度.★解析：画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得；旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为.所以答案为8.14．【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，求出，再由圆的性质可得的取值范围．★解析：由题意可知，，半径为2，直线，，因为直线，与圆相切，所以，，两边同时平方整理可得，，所以，是方程的两个不相等的实数根，所以．又，所以，即，则；又，根据圆的性质可得，所以，即．故答案为.

思路点睛：求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解.15．（1）；；（2）【分析】（1）利用余弦定理求出角，再求角即可；（2）由余弦定理结合题设条件求出，即可求得的面积.★解析：（1）因，则，由余弦定理，，因，则，；（2）由余弦定理，，代入整理得，因则，解得，故的面积为16．(1)，平均值为93分(2)【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率之和可得的值，从而可估计样本数据的平均数；（2）结合古典概型运算公式，列举基本事件总数和符合条件的事件总数即可得所求概率问题.★解析：（1）由，得.观看时长在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：，可以估计样本数据中平均值为93分.（2）由题意可知，观看时长在的人数为（人），在的人数为（人）.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在内抽2人，分别记为，，需在内抽3人，分别记为，，.设“从样本中任取2人，至少有1人在内”为事件，则样本空间共包含10个样本点，而的对立事件包含3个样本点，所以，.即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为.17．(1)证明见解析(2)；最短弦长为4【分析】（1）将直线方程整理为，列方程组，求得定点坐标，即可得证；（2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线斜率，由两点间的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．★解析：（1）证明：直线，可化为，联立，解得．故直线恒过定点．（2）圆，圆心，半径设，则点在圆内，故当直线时，直线被圆截得的弦长最短．因为直线的斜率为．故直线的斜率为，解得．此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）取的中点，证明四边形是平行四边形，得得证；（2）根据面面垂直的性质定理证明平面即可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.★解析：（1）取的中点，连接，，如图所示：∵M为棱的中点，∴，，∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又平面，∴，（3）∵，，，∴，∴，因为，，∴以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，A1,0,0，，，P0,0,1，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即.令，则，．所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.19．（1）（2）过定点【分析】（1）由点M（﹣1，32）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）．★解析：（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：故椭圆的标准方程为.（2）设点