2024-2025学年湖北部武汉市高二上学期期中联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年湖北部武汉市高二上学期期中联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数（i为虚数单位），则（）A．0 B．2024 C． D．2．已知直线：，直线：，若，则（）A．2或 B． C．4或 D．43．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）A． B．C． D．4．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A． B．C． D．5．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、1200人、800人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm，估计该校学生的平均身高是（）A．166.4cm B．167.2cm C．167.8cm D．170.0cm6．已知向量，，若，则（）A．3 B． C．1 D．7．已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（）A． B．2 C． D．38．如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中，正确的有（）A．直线在y轴的截距是2B．直线的倾斜角为C．直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为D．点在直线l：上，直线l的方程可化为．10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）A．B．C．若，且，则D．若且，则11．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线Ω：，进行绘制，点在曲线Ω上，点，则下列结论正确的是（）A．曲线Ω围成的图形面积为B．的最小值是C．直线PQ的斜率的最大值为1D．的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．椭圆的长轴长为．13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为．14．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，．(1)求；(2)求顶点A坐标．16．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．

(1)证明：平面平面ABC；(2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值．17．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．18．已知圆E：，直线l：．(1)讨论l与圆E的位置关系；(2)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值．19．如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．

(1)证明：；(2)若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积．

答案1．【正确答案】D【详解】因为，则，所以.故选：D.2．【正确答案】B【详解】若，则，解得，当时，直线：，直线：，两直线重合，不合题意；当时，直线：，直线：，两直线平行，符合题意；综上所述.故选：B.3．【正确答案】D【详解】圆的圆心，直线的斜率，因此圆在点P处的切线方程为，即.故选：D4．【正确答案】B【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，由，得圆内含于圆内，设动圆半径为,依题意，，，则，因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，，所以M的方程为.故选：B5．【正确答案】C【详解】依题意，容量为30人的样本中，高一年级的学生数为，高二年级的学生数为，高三年级的学生数为，所以该校学生的平均身高大约为.故选：C6．【正确答案】A【详解】由向量，，得，由，得，所以.故选：A7．【正确答案】C【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内，，所以点到平面的距离是.故选：C8．【正确答案】A【详解】令与圆相切的切点分别为，由椭圆定义得，即，由，得，即，由对称性得，即，解得，所以该椭圆的离心率为.故选：A9．【正确答案】BCD【详解】对于A，直线在y轴的截距是，A错误；对于B，直线的斜率为，其倾斜角为，B正确；对于C，设直线的方程为，则变换后的直线方程为，依题意，，解得，直线的斜率为，C正确；对于D，由点在直线l：上，得，因此该直线方程为，D正确.故选：BCD10．【正确答案】AC【详解】由，，得，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由，，得，解得，C正确；对于D，由且，得，无解，D错误.故选：AC11．【正确答案】ACD【详解】对曲线方程：，当时，可化为，即，故曲线Ω在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧；根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下：对A：记点，显然均在曲线Ω上，如下所示：因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△面积之和；故曲线Ω围成的图形面积，故A正确；对B：设点到直线的距离为，则，根据对称性可知，曲线Ω在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆上；数形结合可知，点到直线的距离最小值为，故的最小值为，故B错误；对C：根据题意，作图如下：数形结合可知，当且仅当为过且与曲线Ω在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值；根据对称性，曲线Ω在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧，其方程为，设过点，且斜率存在的直线为，故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，故斜率的最大值为，故C正确；对D：记曲线Ω在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，显然，如下所示：根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点在第一，第四象限时，可以取到最小值；当点在第二，第三象限时，可取到最大值；为方便，只讨论第一，第二象限的情况；当点在第一象限时，的最小值为；当点在第二象限时，的最大值为；故的取值范围为：，故D正确；故选：ACD.12．【正确答案】【详解】根据椭圆方程可知，所以长轴长为，故13．【正确答案】【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为；所以甲、乙各胜一局的概率为.故答案为.14．【正确答案】【详解】由已知表示点到点的距离，表示点到点的距离，所以，

过点A作，垂足为，因为直线的方程为，，则，又直线与直线平行，，则，可得，则四边形为平行四边形，所以，可得，且，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，即点的坐标为，可得，所以的最小值为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：直线，对于直线，令，可得，即，可得，所以.（2）设关于直线对称的点为，则，解得，即，可知直线，即，联立方程，解得，所以顶点A坐标为.16．【正确答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以，取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得，再由，可得，即．由题易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．（2）由（1）可知，，且，故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．所以，，，由题意知，则．可得．设平面MBC的法向量为，则，令，则，可得；设平面的法向量为，则，令，则，可得；则，所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值.17．【正确答案】(1)(2)16【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.则，，，可得，，.“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.每位同学独立竞猜，故A，互相独立，则A与，与，与均相互独立.所以，所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.（2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.所以，解得，所以n的值16.18．【正确答案】(1)答案见解析.(2).【详解】（1）圆：的圆心，且，即或m>0，圆的半径，设圆心到的距离为，则，若，则，解得，则当或时，直线与圆相离；若，则当或，直线与圆相切；若，则当或，直线与圆相交.（2）由（1）知，解得或，则，圆，圆心，半径，依题意，圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为，由切点在劣弧上，知，，又点在线段上，则，当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且.所以圆的半径的最大值为.19．【正确答