2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，，若，则m等于（）A． B． C．2 D．42．已知，B2,1，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.64．口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（

）A． B． C． D．5．曲线的周长为（

）A． B． C． D．6．某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（）A．， B．，C．， D．，7．长方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（

）A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立10．已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（

）A．直线的方程为 B．线段的长为C．直线过定点 D．的最小值是．11．在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（

）A．动点的轨迹是圆B．平面平面C．三棱锥体积的最大值为3D．三棱锥外接球的半径不是定值三、填空题（本大题共3小题）12．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为13．已知事件A与事件B相互独立，若，，则.14．若直线与圆只有一个公共点，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．16．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则：(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现几人合格的概率最大？17．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，的中点分别为，且.(1)证明：平面平面.(2)若为的中点，求点到平面的距离.18．在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.(1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC；(2)证明：平面平面BCD；(3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长.19．在平面直角坐标系中，圆为ΔABC的内切圆.其中.（1）求圆的方程及点坐标；（2）在直线上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数)？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】B【详解】由，，，得.解得.故选：B2．【正确答案】C【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线l经过点，且与线段没有公共点，所以，或，即或，因为，所以，故直线l的倾斜角的取值范围是．故选：C．

3．【正确答案】C【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11组，因此，所求概率为.故选C.4．【正确答案】A【详解】记两个标有数字的小球分别为、，两个标有数字的小球分别为、，两个标有数字的小球分别为、，从中任取两个小球可能结果有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于的有，，，，共种情况，所以两个小球上的数字之和大于的概率.故选：A5．【正确答案】C【详解】由，得，即，即或，所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，所以曲线C的周长为．故选：C.6．【正确答案】A【详解】因为新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，所以由题意得，解得.故选：A.7．【正确答案】D【分析】根据线面角以及线线角的定义可得，即可由锐角三角函数表示结合三角函数的单调性即可求解.【详解】由于平面，故,故由于的大小不确定，所以无法确定的大小，故的大小不确定，A错误，由于,故，由于均为锐角，所以也是锐角，故，即.故选：D8．【正确答案】A【详解】如图所示，

由，得圆C的圆心，半径.因为，所以四边形PACB的面积.所以当PC最小时，S也最小，此时，.则PC斜率为1，故PC的方程为，即.联立，解得，，即.由于过圆外一点作圆的两条切线，切点弦方程为，所以直线AB的方程为，化简得.故答案选：A.9．【正确答案】ABD【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确；对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.故选：ABD.10．【正确答案】BCD【详解】由题知，联立，两式相减得，即直线的方程为，A错；联立，解得或，所以，B正确；对于C，设，因为，为圆的切点，所以直线方程为，直线的方程为，又设，所以，故直线的方程为，又因为，所以，由得，即直线过定点，C正确；因为，所以当最小时，最小，且最小为，所以此时，D正确.故选BCD.11．【正确答案】ABC【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点的轨迹，点也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解.【详解】A.因为，所以在平面内，以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，设，，，由知，，化简为，即点的轨迹为圆，故A正确；B.根据以上证明可知，点和在圆与轴的两个交点，如上图，由条件可知，点在圆上，则，而平面，平面,所以，所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确；C.当点到的距离为2时，此时的面积最大，此时最大面积是,则三棱锥体积的最大值为，故C正确；D.由以上证明可知，，且，如图，取的中点，作平面，且，所以，所以三棱锥外接球的半径是定值，故D错误.故选：ABC关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点的轨迹，后面的选项就会迎刃而解.12．【正确答案】【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，则可设，又点在平面外，则，即，则，又，所以，解得，.故1313．【正确答案】0.28/【详解】因为事件A与事件B相互独立，所以事件与事件B相互独立.因为，，所以.所以.故0.2814．【正确答案】【详解】由题意，圆的半径，圆心到直线的距离为.因为直线与圆只有一个公共点，所以，即，解得，则，所以.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)选择见解析，或【详解】（1）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知.又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.（2）如果选择条件①：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.16．【正确答案】(1)；(2)出现2人合格的概率最大.【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，，，显然，，相互独立，且，，，设恰有人合格的概率为，则，.（2），，而，所以出现2人合格的概率最大.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为为等边三角形，分别是的中点，且，所以，所以.又，所以，即.因为，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）连接，由于为等边三角形，是的中点，所以，又由（1）可知平面平面，且交线为，平面，所以平面.因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.在直角中，可知，在直角中，可知，因为是的中位线，所以，的面积，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.又的面积，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积.由，得，即点到平面的距离为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）由，，得，.因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且.所以四边形BCMF为平行四边形，所以.又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC.（2）因为平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF.又平面BCEF，所以.由，，，得.又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD.（3）由（2），得EF，EC，ED两两垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则.设（），则.设平面BNE的法向量为.由，令，得.易知平面ABF的法向量为.所以，解得，此时，所以，即