2024-2025学年广西南宁高三上学期11月考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广西南宁高三上学期11月考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.这组数据的第90%分位数为（

）A．50 B．55 C．60 D．653．（

）A． B．0 C．1 D．24．已知，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．已知的三个内角分别为A、B、C，若A、B、C成等差数列，且，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．6．若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（

）A． B． C． D．7．“函数的图象关于对称”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知正方体的棱长为2，点M在线段上运动，则（

）A．直线与直线是异面直线B．三棱锥的体积为定值C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为10．已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（

）A．PF1B．C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为D．直线与直线的斜率之积11．函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，函数只有一个零点B．若函数的对称中心为，则C．若函数在上为减函数，则D．当时，设的三个零点分别为，，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上且到x轴的距离为3，则.13．函数(，且)，若对成立，则实数的取值范围是.14．已知向量，，令，当时，则实数t的取值范围是；对任意和，满足恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球.(1)求从乙箱中摸出白球的概率；(2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率.16．如图，在正四棱台中，，，E是的中点.(1)求证：直线平面；(2)已知直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值.17．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是.(1)求动点P的轨迹方程；(2)记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程.18．已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，讨论的单调性；(3)证明：当时，只有一个零点.19．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”.(1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由；(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”.

答案1．【正确答案】C【详解】因为复数，则.故选：C.2．【正确答案】D【详解】数据从小到大排序为，而，故第90%分位数为.故选：D3．【正确答案】A【详解】.故选：A．4．【正确答案】A【详解】由题意知函数定义域为，关于原点对称，因为，所以fx为偶函数，所以，当单调递增，所以,所以或,所以或.所以解集为.故选：A.5．【正确答案】B【详解】由，又A、B、C成等差数列，即，可得，由，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.故选：B6．【正确答案】C【详解】由题设，可画如下示意图，其中，且，要使最小，即最小，而，若，则，此时，故.故选：C7．【正确答案】B【详解】当函数的图象关于对称时，有，，得，，易知，，所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选：B．8．【正确答案】B【详解】因为①，所以，所以，所以的周期为4，，令，由①得，所以，因为为奇函数，所以②，令，得，结合①，得③，令，由②得，所以，由③得，所以，令，由③得，所以，由函数的周期性得，.故选：B.9．【正确答案】ABD【详解】A：根据正方体的结构，易知直线与直线是异面直线，对；B：根据正方体的结构，易证面，即面，又点M在线段上运动，所以M到面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，对；

C：根据正方体结构，易知面，面，则，由，都在面内，故面，若，所以直线与平面所成角为，所以，错；D：由，若点到平面的距离为，又，故，对.故选：ABD10．【正确答案】AD【详解】易知，对于A，设Px0,则，故A正确；对于B，易知四边形为平行四边形，即，故B错误；对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为，则相应弦长为，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选：AD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，时，，令，令，即y=fx在上单调递增，在上单调递减，则y=fx的极大值为，极小值，又，即函数y=fx只有一个零点，在区间−1,1内，故A正确；对于B，若函数的对称中心为，则有，即，所以，故B正确；对于C，可知，若函数在上为减函数，则有在上恒成立，分离参数得在上恒成立，结合对勾函数的性质可知：，故，故C错误；对于D，当时，，令，令，即y=fx在上单调递增，在上单调递减，则y=fx的极大值为，极小值，又，即函数y=fx有一个零点，分别在区间内，则有，故，所以，，则，故D正确.故选：ABD12．【正确答案】5【详解】由题设，则，而，根据抛物线的定义知，.故513．【正确答案】.【详解】解:当时，，设，则在上是减函数，所以.故.当0<a<1时，，设，则在上均为减函数，所以，所以，此不等式组无解.综上，实数的取值范围是，故答案为.14．【正确答案】【详解】第一空，由，因为，可得，当，即时，；当时，即时，，所以实数的取值范围为；第二空，当时，可得，当，即时，；当或时，即或时，，所以实数的取值范围为，又由，可得，由向量，，可得，因为，所以，对任意恒成立，注意到，有，即恒成立，所以，则，即或，即或对任意恒成立，因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减函数，所以，所以或，即实数的取值范围为.故；.1、若题目的条件中给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量的坐标运算公式，得到三角函数的关系式，进而求解；2、若题目条件中给出三角函数表示向量的坐标，要求的是向量的数量积或向量的模，或者其他向量的表达形式，解题思路是结合向量的运算，利用三角函数的图象与性质，以及有界性，进而求解；3、对于向量的最值与范围的求法方法：①几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积的运算解决；②代数法：将平面向量的最值或范围转化为坐标运算，结合目标函数，利用代数方法求解.15．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为，从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为，从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为，所以从乙箱中摸出白球的概率为.（2）由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接棱台上下底面的对角线，交点分别为，由于棱台为正四棱台，易知与上下底面均垂直，且，故可以以O为中心建立如图所示的空间直角坐标系，设棱台高为h，则，，所以，设平面的一个法向量为m=x,y,z，则，令，即，易知，又平面，所以直线平面；（2）易知，而底面的一个法向量为，因为直线与平面所成的角为，所以，则，又，设平面的一个法向量为n2=a,b,c则，令，即，由上知，所以，由图形可知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为，故其正弦值为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由已知.两边平方得.展开化简得.则这就是动点的轨迹方程.（2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，联立，将代入得.展开整理得，，设，，由韦达定理（），.根据弦长公式先求.所以.

原点到直线的距离.已知.即.化简得.两边平方整理得，即.得，因为，所以，.也满足.所以直线的方程为.18．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，则，所以，所以在点1,f1处的切线方程为：，即；（2）易知，因为，若，则在R上单调递增；若，令，，即此时在上单调递增，在上单调递减；若，令，，即此时在上单调递增，在上单调递减；综上所述：时，在R上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；（3）①由（2）可知时，在R上单调递增，则在R上单调递增，而，即只有一个零点为0；②若，由（2）可知此时，在上单调递增，在上单调递减，则极大值为，极小值为，不妨令，则，此时单调递减，又，，即只有一个零点，在区间0,1上；③若，由（2）可知此时，在上单调递增，在上单调递减，故极大值为，极小值为，不妨令，则，显然时有，此时单调递增，而时有，此时单调递减，易知，所以，又，即只有一个零点，在区间上；综上，当时，只有一个零点.19．【正确答案】(1)数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）由于为等差数列，