圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

第28节圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系

基础知识要夯实

1.圆的定义和圆的方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

标圆心C(mb)

(x-a)2+(y~b)2=i2(r>0)

准半径为一

(D24-£2-4F>0)

方

充要条件：。2+一一4尸>。

程

x2+y2+Dx-Ey+F=0圆心坐标：(二冬一二D

般

半径r—^\lD2-^-E2—4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo,yo)与圆C：以一〃)2+(y—份2=户之间存在着下列关系：

(l)|Mq>r在圆处,即(xo-a)2+(yo—b)2>doM在圆外；

(2)|Mq=r=>M在圆上,即(X0-MP+(yg-bp=3在圆上；

(3)|MC|<r=M在圆内,即(m一a)2+(yo—b)2<00M在圆内.

3.直线与圆的位置关系

设圆C：。一〃)2+。一力)2=落直线/：Ar+By+C=0,圆心C(〃，力)到直线/的距离为

((%—a)2+(y—b)2=洛

由iAr+5y+C=0

消去)，(或x),得到关于M或')的一元二次方程，其判别式为

位置关系相离相切相交

G

图形小

方程观点J<0/三0J>0

量化

几何观点d>rd三rd<r

4.圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R，KR>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表

表7K:

位置关系外离外切相交内切内含

图形0®矛@@

R-rVdV

量的关系d=R-rd<R-r

R±r

公切线条数43210

5.常用结论

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y=/上一点P(xo,>))的圆的切线方程为xox+yoy=i2.

(2)过圆(x—4)2+(y—6)2=/上一点P(xo,”)的圆的切线方程为(犹一〃)(x-4)+(yo—Z?)(y

—b)=r2.

(3)过圆/+产=户外一点M(xo,jo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xor+yoy

=A

2.直线被圆截得的弦长的求法

⑴几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|=

⑵代数法：设直线y=Ax+机与圆f+V+Ox+Ey+尸=0相交于点N,将直线方程

代入圆的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程，求出也+刈和XMWV,则|MN|=

y/l+Fy/(XM+刈)2—4XM，XN.

基本技能要落实

1.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

【答案】f+y2-2x=0

【解析】法一设圆的方程为/+》2+以+@+尸nCKZ^+f2—4Q0),则

p=o,

{1+1+Q+E+尸=0,解得。=-2,E=0,F=0,故圆的方程为f+y2—您=0.

14+2。+/=0,

法二设0(0,0),4(1,1),B(2,0),则珈=1,kAB=~\,所以如4•履8=-1,即OA

±AB,所以是以角4为直角的直角三角形，则线段80是所求圆的直径，则圆心

为C(l,0),半径尸=引。*=1,图的方程为(%—1)2+)2=1,即W+T2—2r=0.

2.已知圆。的圆心在直线x+y=0上，圆。与直线无一y=0相切，且截直线x-y—3=0

所得的弦长为加，则圆C的方程为.

【答案】(X—1)2+。+1y=2

【解析】法一・・,所求圆的圆心在直线x+y=0上，

，可设所求圆的圆心为(〃，—a).

•所求圆与直线X—y=0相切，，半径r=患=啦间.

又所求圆截直线］—>一3=0所得的弦长为加，圆心(〃，一〃)到直线x—y—3=0的距离

,3-3|

...法+(乎/=3，即(2。7)2_|=2层,解得。=1,

，圆。的方程为1)2+。+1)2=2.

法二设所求圆的方程为a—。)2+U—6)2=户(r>0),

\Q-b-31

则圆心m，6)到直线K-y—3=0的距离d=&，

23

-

2

•・•所求圆与直线工一5=0相切，・♦・/1、产匚②

又•・•圆心在直线x+y=O上，・・.a+b=O.③

(a=},

联立①②③，解得1人=一1，

〔「=隹

故圆。的方程为(灯7)2+。+1)2=2.

3.Q021•兰州、张掖重点中学联考)设A(2,-1),8(4,1),则以线段A8为直径的圆的方

程为()

A.Q—3)2+产2B.(X-3)2+/=8

C.(x+3)2+v2=2D.(X+3)2+V=8

【答案】A

【解析】因为42,-1),5(4,1),所以由中点坐标公式可得线段A3的中点坐标为(3,

0),即圆心为(3,0),又半径—=加用=去/(2—4)2+(—1—1)2=P,所以所求圆

的方程为(X—3产+产=2,故选A.

4.(2021•郑州二模)圆(x+2)2+(y—⑵2=4关于直线”—)，+8=0对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+0?-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(X+6)2+G，+4)2=4

【答案】C

【解析】设对称圆的圆心为(加，儿)，

(n—12

I-------------=——1

〃z+2加=4,

则解哥,所以所求圆的圆心为(4,6),

n+12

故所求圆的方程为。-4)2+6，—6产=4,故选C.

考点二与圆有关的轨迹问题

【例2】已知RSA5C的斜边为且4-1,0),8(3,0),求：

⑴直角顶点C的轨迹方程；

⑵直角边BC的中点M的轨迹方程.

【解析】(1)法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以)¥0.

因为4CJ_BC,且BC,AC斜率均存在，所以匕c・依。=-1,

又kAC=工1'koc=1%■，所以±1,-y=-1，

x-r1x-3xH-1x—3

化简得f+V—2x—3=0.

因此，直角顶点。的轨迹方程为『+>2—2%—3=0。¥0).

法二设A8的中点为D,由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质知|8|=生明

=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三

点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为。-1)2+产=4()¥0).

(2)设M(x,y),C(x),yo),因为B(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得工二J1^C|■3二，

yo+0

产2

所以xo=2x—3,yo=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为。-1)2+丁=4(狎0),

将xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,

即。一2)2+'2=].

因此动点M的轨迹方程为(x—2>+y2=I。*。).

【方法技巧】

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

⑴直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

【跟踪训练】

1.设定点”(-3,4),动点N在圆/+尸=4上运动，以OM,ON为邻边作平行四边形

MONP,求点P的轨迹方程.

【解析】如图，设P(x,y),N(xo,yo),

则线段OP的中点坐标为g,

线段MN的中点坐标为

3yo+4)

(2'2/

因为平行四边形的对角线互相平分,

xo-3yyo+4

所以爹=2，2=2

xo=%+3,

整理得

.yo=y-4t

又点N(xo,yo)在圆f+Vud上,

所以(x+3)2+(y—4)2=4.

所以点尸的轨迹是以(一3,4)为圆心，2为半径的圆，

直线0M与轨迹相交于两点(一,，田和(一日，膏，不符合题意，舍去,

所以点P的轨迹为(x+3)2+。-4)2=4,除去两点V，舸福,H

考点三直线与圆的位置关系

1.若直线x—y+l=O与圆。一〃)2+)心=2有公共点，则实数。的取值范围是()

A.[-3,-1]3]

C.[—3,1]D.(—oo,-3]U[1,+oo)

【答案】C

【解析】由题意可得，圆的圆心为(m0),半径为也,

4啦，即I。+1区2，解得一33把1.

2.(2022•衡水模拟)直线/：mx—y+l—机=0与圆C：x2+3-1>=5的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

【答案】A

mx-y-\-1—m=0,

【解析】法一(代数法)由消去y,整理得(l+M)1—2机2二+加2—5

炉+(y—1)2=5,

=0,因为4=16/+20>0,所以直线/与圆相交.

\—nA

法二(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线/的距离"=<1<小,故直线/与圆

相交.

法三易得直线/过定点a,1).

把点(1,1)代入圆的方程有1+0<小，，点(1,1)在圆的内部，故直线/与圆C相交.

3.%=3”是“直线y=x+4与圆。一〃)2+8—3)2=8相切''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线y=x+4与圆(x—0)2+。-3)2=8相切，则有乜博辿=2吸，即|“+1|

=4,所以a=3或一5.

但当。=3时，直线y=x+4与圆。一。)2+。-3)2=8一定相切，故“4=3”是“直线y=x

+4与圆(工一。)2+6，-3)2=8相切”的充分不必要条件.

【方法技巧】判断直线与圆的位受关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

⑶点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

【例4】(1)(2021•济南调研)已知圆C:。一1)2I(yI1)2=1与直线区|y|1=0相交于A,

8两点，若△C43为等边三角形，则上的值为()

A士6B.±2C.±^D.±~

⑵(2020・河南名校联考)设圆/+俨一统一2)，-2=0的圆心为C,直线/过(0,3),且与

圆。交于A,5两点，若［4用=2\「，则直线/的方程为()

A.3x+4)，-12=0或4x-3y+9=0

B.3x-4y+12=0或4工+3)，+9=0

C.4x—3y+9=0或x=0

D.3x+4y—12=0或x=0

【答案】(1)A(2)D

【解析】⑴圆C：(冗一1y+。+1)2=1的圆心为C(l,-1),半径为1,故|CB|=|CA|=1,

又△CAB为等边三角形，所以点C到直线乙+)，+1=0的距离为由，即［1限=坐'

解得％=地，故选A.

x=0,

⑵当直线I的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,由，得

x2_2x_2y-2=0,

jr=0,x=0,

L或,

J=1-小”1产1+小,

・・.|AB|=2由,符合题意.

当直线/的斜率存在时，设直线I的方程为》=依+3,由已知可得圆的标准方程为。一

l)2+(y-l)2=4,其圆心为C(l,1),半径i=2,・•・圆心C(l,1)到直线履一y+3=0的

距离公暴排耨喇-.・华答=4一嗡,即修尸

33

F+1,解得攵=—不・,・直线/的方程为y=一开+3,即3x+4y—12=0.综上，满足题意

的直线/的方程为x=0或力+与-12=0,故选D.

【方法技巧】弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式/

>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

⑵几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为乙则弦长1=2712T.

【跟踪训练】

1.过圆C：。-1)2+产=1外一点P作圆。的两条切线，切点分别为4,R若为等

边三角形，则过0(2,1)的直线/被尸点轨迹所截得的最短弦长为.

【答案】26

【解析】由题意知。(1,0),连接PC,因为△以B为等边三角形，所以N4PC=30。，所

以1cpi=忑1=2,所以P点轨迹的方程为a-l)2+V=4.因为Q—1)2+12=2<4,所以

点。(2,1)在圆。-1)2+产=4的内部.连接CO,结合图形可知，当/与。。垂直时，/

被圆(x—1)2+)2=4所截得的弦长最短，最短弦长为2小一'CD/=2\J4—2=2巾.

考点五圆的切线问题

【例5】(1)(经典母题)过点尸(2,4)引圆C：(x—l)2+(y—l)2=l的切线，则切线方程为

⑵点P为射线X=2。沙)上一点，过尸作圆f+产=3的两条切线，若两条切线的夹角为

90°,则点P的坐标为()

A.(2,1)B.(2,2)

C.(2,^2)D.(2,0)

【答案】(l)x=2或4x-3y+4=0(2)C

【解析】(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2,此时，圆心到直线的距离等于

半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为丁-4=欧%—2),

即日一y+4-2%=0,,・,直线与圆相切，・••圆心到直线的距离等于半径，即d=

饮一1+4—2向|3一向

y/e+(—I)2[F+1]'

4

解得k=y

44

・••所求切线方程为gx-y+4-2xM=0,

即4x-3y+4=0.

综上，切线方程为x=2或4工一3丁+4=().

(2)如图所示.

设切点为4,B,贝U0A_L4P,0B1BP,OA=OB,AP=BP,APA.BP,

故四边形。APB为正方形，

则|0田=加，

又心=2,则尸(2,啦).

【方法技巧】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方

程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有

两条，此时注意斜率不存在的切线.

【跟踪训练】

1.(2022•马鞍山二模)在平面直角坐标系xQy中，若圆C：(工一3>+(y—〃>=4上存在两

点A,3满足NAOB=60。，则实数〃的最大值是()

A.5B.3

C.SD.2小

【答案】C

【解析】根据题意，圆。的圆心(3,〃)在直线x=3上，

分析可得，当圆心距离x轴的距离越远，NAOB越小.

如图：当〃>0时，圆心。在x轴上方，若04,OB为圆的切线且NAOB=60。，此时〃

取得最大值，此时N4OC=30。，

有[OC]=2|AC1=4,即(3—0)2+(a—0)2=16,

解得。=由，故实数。的最大值是巾，故选C.

考点六圆与圆的位置关系

【例6】已知两圆Ci：f+y2—6y—1=0和。2：f+y?—]0氏-12y+45=0.

(1)求证：圆。和圆C2相交；

⑵求圆G和圆。2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

【解析】⑴证明圆C的圆心G(l,3),半径门=迎，圆C2的圆心C2(5,6),半径

底=4,两圆圆心距d=|GC2|=5,乃+废=5+4,|八一心|=4一，11,所以血一r21cd(门

十相，所以圆G和。2相交.

⑵解圆G和圆C2的方程左、右分别相减，得4x+3y—23=0,所以两圆的公共弦所

在直线的方程为4x+3y—23=0.圆心。2(5,6)到直线4x+3y—23=0的距离d=

-3,故公共弦长为2#16—9=2币.

\16+9

【方法技巧】1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆

半径之间的关系，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,9项得到.

【跟踪训练】

L已知圆。的方程为，+产=1,圆。的方程为Cr+〃)2+y2=4.若这两个圆有且只有一

个公共点，那么。的所有取值构成的集合是()

A.{1,-1,3,-3}B.{5,-5,3,-3}

C.{1,-1}D.{3,-3}

【答案】A

【解析】圆心距d=|a|=2+l=3或d=|〃|=2-1=1,所以a=l,-1,3,-3.故选A.

(2)(2021•东北三省三校联考)圆/-4%+^=0与圆f+V+4x+3=0的公切线共有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

【答案】D

【解析】X2—4x+y2=0=>(x-2)2-Fy2=22,圆心坐标为(2,0),半径为2；f+V+M+S

=0=>(^4-2)2+/=12,圆心坐标为(-2,0),半径为1,圆心距为4,两圆半径和为3,

因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D.

达标检测要扎实

1.已知圆/+y2=/。>0)与直线丁=丘+2至少有一个公共点，贝"的取值范围为()

A.r>2B.r..lC.r..2D.0<r„41

【答案】C

【解析】圆心(0,0)到直线y=H+2的距离4=7告M2,当且仅当&=0时等号成立，故只需匚.2

即可.故选：C

2.若点尸(1,1)在圆C:x2+),2+x_y+&=o的外部，则实数人的取值范围是()

A.(-2,+oo)B.-2,-g)C.卜2,；)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】由题意得《।〃八，解得故选：C.

[1+1-4攵>02

3.两圆C1：/+(),_3)2=4与G：(x—4)2+V=9的公切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

22

【解析】由C1：/+(y—3)2=4,C2:(x-4)+y=9,

可得G(o,3),4=2；G(4,0),石=3,

22

|C(C2|=7(O-4)+(3-O)=5=4+/

故两圆相外切，共有3条公切线，故选：C.

4.圆(1-1)2+(>2)2=2关于直线/：工+y-2=。对称的圆的方程为()

A.(x-4)2+(y-l)2=2B.(x+4)2+(j+l)2=2

C.(x-4)2+(y+l)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【解析】圆（a=l）2+（yi2）2-2的圆心为（L—2）,半径设圆心（1,-2）关于直线iy2=0

对称的点的坐标为（48），

，:，即圆（x-l）2+（y+2）2=2关于直线，/+匕2=0对称的圆的圆

心为（4,1）,半径,=&,

所以对称圆的方程为"-盯+力-炉=2；故选：A

5.过圆M：（x-l）2+），2=4内一点A（2.1）作一弦交圆于8、C两点,过点8、C分别作圆的切线所、

PC,两切线交于点尸，则点尸的轨迹方程为（）

A.y-5=0x+y+5=0

C.x+y-5=0x—y—5=0

【答案】C

【解析】设尸点坐标为（%弟）,

根据圆的直径式方程知，以MP为直径的圆的方程为（x—D（x—Xo）+y（y-%）=0,

两圆方程作差可得公共弦8C的方程为（毛-l）x+»°-毛-3=0,

而A（2,l）在直线5c上，/.Xo+%-5=O,

故点尸的轨迹方程为x+y-5=0,故选：C.

6.过点尸（2,1）作圆M:1尸+V=4的最短弦，延长该弦与x轴、y轴分别交于A8两点，则“四

的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】依题意，点用（1,0），由圆的性质可知，过点P（2,l）且垂直PM的直线/截得的弦长最短.

而即”=袅=1，所以直线/的斜率为1，即方程为：y—1=-（大一2），即y=-x+3.

所以直线/与“轴、V轴分别交于A（3.0）,8（0,3）,

故AABM底边AM=2,高〃=3,即面积为gx2x3=3.故选：B.

7.己知4(-1,0),3(1,0),圆C：f+(y-4)2=R2(R〉0),若圆C上存在点M,使加e=90。，

则圆C的半径R的范围是()

A.3WR45B.3</?<4C.4</?<5D.2</?<4>/2

【答案】A

【解析】设M(七,%),则标=(—「七,—%),荻=。—与,—%),

VZAM5=90°,即凉.砺=0，

・・・/2+%2=1，即M在以原点为圆心，半径为1的圆上，

而圆C的圆心为(0,4),半径为R,

・••圆C上存在点A7,即圆C与与2+%2T有交点，

・・・庐一1归|四〈/?+1,|/?-1归447?+1,/?£[3,5].故选：A

8.P为0。:无2+丫2一2工-2》=0上一点，。为直线/：2x-2y-7=0上一点，则线段PQ长度的最小

值为()

A.乎B.乎C普D.2&

【答案】A

【解析】圆C的标准方程为(x-l)2+(y-l)2=2,圆心为C(l,l),半径r二夜，

则圆心C到直线/的距离为d=宁一]='=坐，

汇十222百4

所以圆上的点到直线，上的点。的最小距离归苧一④二不，

CP0nlm=1—r=

故选：A.

9.已知圆C/+(y-2)2=产与直线％・y=0交于A,8两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已

知圆的圆心C,则圆C的半径，•的值为()

A.1B.&C,2D.4

【答案】C

【解析】由题意，AC±BC,则。(0,2)到直线x・y=0的距离4=立八

2

则上生=”一，即r=2.故选：C

Vi2+i22

10.已知圆G：/+y2+2x+4y+4=0,圆G：f+y2_4x+2y+l=0,M,N分别为圆C和圆C?上的

动点，尸为直线/：y=x+2上的动点，则|叫+|必的最小值为()

A.2V10-3B.2710+3C.V10-3D.厢+3

【答案】A

【解析】阿G：/+V+2x+4y+4=0,即(x+l)2+(y+2/=1,圆心为(一1,一2),半径R=l，

222

^|C2:x+/-4x+2y+l=0,BP(x-2)+(y+l)=4,圆心为(2—1),半径广=2,

设点(-1,-2)关于直线/:y=x+2对称的点为(4〃)

"2:1

a=-4

则1，解得：，

b-2a-\八b=[

----=----+2

22

圆G关于直线/：y=x+2对称的圆为圆C,其圆心为(Y/)，半径R=1,则其方程为

(A+4)2+(y-l)2=1,

设圆C'上的点”与圆G上点M对称，则有|PM|=|尸"1,

原问题可以转化为尸到圆C和圆。2上的动点距离之和最小值问题,

连接。2C，与直线/交于点尸，此时点尸是满足|呐|+归”|最小的点，

此时|尸明+归”|=|。21-3=2加-3,即|网+|柳|的最小值为2>/话-3,故选：A.

11.如果复数Z满足|z+J，=2,那么|z-2+i|的最大值是（）

A.9+2B.2+后

C.屈+近D.V13+4

【答案】A

【解析】复数z满足Iz+l-i|=2,表示以C（-1,1）为圆心，2为半径的圆.

Iz-2+”表示圆上的点与点M（2,7）的距离.

•，1CA/|=V32+22=713..「-2+”的最大值是万+2.故选：A.

12.已知圆。|：/+），2+4尤一2,一4=0,C2:^+|J+^y-|J=y,则这两圆的公共弦长为（）

A.4B.2X/2C.2D.1

【答案】C

22

【解析】由题意知01：/+/+4..2丁-4=0,C2:x+y+3x-3y-l=0,将两圆的方程相减，得

x+y-3=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0.

又因为圆G的圆心为半径r=3,所以圆G的圆心到直线x+k3=0的距离

4=民誉包=2垃.所以这两圆的公共弦的弦长为2炉二产=2.（20j=2.

故选：C.

二、填空题

13.圆6：（工一加）2+（），+2）2=9与圆&:（%+1）2+（丁一旭）2=4内切，则加的值为.

【答案】-2或T

【解析】圆G的圆心为（机-2）,半径为4=3,

圆。2的圆心为（-1，用），半径为弓=2,

所以两圆的圆心距cl=J（m+l,+（m+2）2,

又因为两圆内切，有Jw+iy+（m+2）2=i,

解得相=-2或加=-1.故答案为：-2或-1.

14.已知平面直角坐标系中，若AB,C是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方

向排列，则点C的坐标是.

【答案”苧，痒;

【解析】如图，分别以点AS为圆心，八3为半径作圆，两圆在第象限的交点即为所求的点C.因

为A(TO),B(1,-D,|^|=^(-1-1)2+1=V5

所以以点A为圆心，A8为半径的圆的方程为(工+1)2+丁=5；

以点8为圆心，AB为半径的圆的方程为(XT)?+(>炉=5.

(x+l)2+y2=5Gf-1

联立方程0：2/\2，解得了=土里(负舍)，y=^--

(X-1)2+(^+1)2=522

所以点c的坐标是停故答案为：停，石-外

15.已知圆也：(彳一％0)2+()，一%)2=8,点/(—2,4),从坐标原点。向圆M作两条切线。尸，OQ,切

点分别为尸，Q,若切线0P，。。的斜率分别为&，&，k/=-l,则17Ml的取值范围为.

【答案】[25/5-4,2>/5+4]

【解析】由题意可知，直线。夕：》=幻，OQ：y=kx，

因为直线。P,。。与圆“相切，

两边同时平方整理可得后(8—X)+2K+8-^=0,

后(8-片)+2&题为+8-尤=0,

所以*心是方程公(8-x；)+25%+8-y；=O(AwO)的两个不相等的实数根,

所以攵+2=9".又女肉=一1，

8-X。

所以江四=一1，即4+尤=16.又"0|="+16=2'

8-汇

所以|TO|TS7M|S7O|M,

即2石-44|7M|42逐+4.

故答案为：[26-4,2百+4]

16.已知圆的方程为*-2)2+(>-3)2=16,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和30,

则四边形ABC。的面积为

【答案】8日

【解析】由圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,

得最长的弦为圆的直径等于2x4=8,

圆心(2,3)与点(3,5)的距离d=w3-2)2+(5-3)2=布,

根据勾股定理得最短的弦长为m=2而5=2拒，

四边形A8CO的面积S=g|人CHB£>|=gx8x2而=8而.

故答案为：8而.

三、解答题

17.已知圆M过点P(2,0),Q(-l,后,且点尸关于直线x+2y=0的对称点尸仍在圆M上.

(1)求圆”的方程；

(2)设P("V)是圆历卜任意一点4-2.-2),%-2,6),。(4.一2)求242+「*+/＞仁2的最大值和最小

值.

【解析】(1)因为P关于直线x+2y=0的对称点尸仍在圆M上，

所以直线“+2y=0经过圆心，

设圆心坐标为(-2°,°),

又•••圆M过点P(2,0),Q(—1,6),

222

(2+2ay+a=(-l+2a)+(y/3-a),

解得a=0,

•••圆心坐标为(0,0),半径为2,

圆M的方程为d+),2=4；

(2)设P点坐标为(苍田，则:

t/=E424-PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68,

•/x2+y2=4,:.JC=4-y2,:.d=12-3y2+3y2-4>'+68=80-4y,

”2邠2,.•.当y=-2,d有最大值88；当尸2,d有最小值72.

18.已知4(20),8(3,3),

(1)求点A到直线8c的距离；

(2)求AABC的外接圆的方程.

【解析】(1)限=3：[1)=:'

由y-l=；G+l)得直线BC的方程为K—2y+3=0.

所以点A到直线BC的距离d=培4=也

VI+4

(2)设外接圆的方程为炉+V+以+4+尸=0,

22+02+2D+0E+F=0[D=-2

由题意，得・32+32+3。+3七+产=0解得•七二一4

(-l)2+l2-D+£：+F=0F=°

即AABC的外接圆的方程为Y+)尸-2x-4y=0.

19.最近国际局势波云诡谪，我国在某岛(如图(1))上进行军事演练，如图(2),是三个

军事基地，C为一个军事要塞.已知tan〃O3=-2Q=20km,C到OA08的距离分别为10km,6\/5km.

图1图2

(1)求两个军事基地AB的长；

(2)若要塞C正北方向距离要塞20km处有一E城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成小时的半径

为为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以6()6km/h的速度自基地A开往基

地8,问实数。在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.

【解析】(1)以点0为坐标原点，直线Q4为“轴，建立直角坐标系如图所示.

由及%>0解得/=io,.,.c(io,io).

直线AC的方程为y=-(x-20),即x+y-20=0,

,[y=-2x,fx=-20

由onn得m即8-20,40),

[x+y-20=0[y=40

AB=，(-20-20『+4()2=4G夜,

即基地A3的长为40人.

(2)设爆炸产生的爆炸波圆E.

由题意可得E(10,30),生成1小时时，卡车在线段AB上的点尸处，则

2

4F=606，0^r<-,.-.F(20-60r,60f).

爆炸波不会波及卡车的通行即七广〉，对，€[0,g]恒成立.

EF2=(60/一IO)?+(60/—30f>r=内，即(601—10『+(60r-30)2>at

当f=0时，上式恒成立，

当，工0时即，。<7200，+拳一4800,令g(r)=7200r+竿一4800jw(0弓，

g(f)=72(H)/+-48(X)>2^7200/^^-4800=240()x/5-48(X),当且仅当7200/=呼,即,二络时等号

成立，

所以，在0<a<24006-4800时/•<£F恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行.

20.已知直线/:(m+2)x+(l-功力+务〃-2=0与圆C:/-2x+y2=o交于M,N两点.

(1)求出直线/恒过定点的坐标

(2)求直线/的斜率的取值范围

(3)若。为坐标原点，直线OMQN的斜率分别为勺,右,试问K+为是否为定值？若是，求出该定

值：若不是，请说明理由.

【解析】(1)将直线/方程整理为："—2y+4),〃+(2x+y_2)=0,

—2y+4=0fY=0

令。°八，解得：'.••直线/恒过定点(0,2)：

[2x+y-2=0[y=2

(2)设直线/斜率为A,由(1)可知：直线/方程可设为：y—2=Mx—0),即6-y+2=0；

圆C方程可整理为(x—1)2+9=],则其圆心c(l,0),半径r=1,

•・,直线/与圆C交于MN两点，.・.圆心C到直线/距离d<r,

即坨生<1,解得：2<-：,即直线/斜率的取值范围为f-oo,

我+14I4J

(3)设N(孙力)

当机=7时，/:x=0与圆C仅有一个交点，不合题意，，加工三，

22

则直线，：＞=誓41+2,.■.可设直线/方程为""+2,

由｛；21彳；=0得：(l+*)f+(4"2)x+4=0,由⑵知：%＜-：；

2—软4

T+W=77F'中2=我,

.k\+k=XI＞二y一+H*二(向+2)4+(代+2)(

X)x2X1X2XjX,

2-软

=22”2+2(3+电)=2左+“9&-=2攵+1—2攵=1,

'_J_

\+k2

：K+*2为定值1.

21.已知圆C经过(-2,3),(4,3),(1,0)三点.

(1)求圆C的方程；

(2)设点4在圆C上运动，点8(7,6),且点M满足丽=2丽，记点M的轨迹为「.

①求r的方程；

②试探窕：在直线/：y=x上是否存在定点〃异于原点。)，使得对于「上任意一