2023-2024学年福建省福州市福建师大附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={a}，B={1,3a−1}，若A⊆B，则a=(

)A.1 B.12 C.12或1 2.据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布N(2000,1002)，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为(

)

附：X～N(μ,σ2)，P(μ−σ<x<μ+σ)=0.6827，A.0.4987 B.0.8413 C.0.9773 D.0.99873.设a∈R，则“2<a<3”是“(a+1)(a−6)<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)=x2−2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对∀x1∈[−1,2]，∃x2A.(0,12] B.[12,3)5.已知变量x，y的部分数据如下表，由表中数据得x，y之间的经验回归方程为y=0.8x+a，现有一测量数据为(35,n)，若该数据的残差为1.2，则x21232527y15181920A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.46.已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n,p)且E(X)=2，D(X)=q，则1p+1qA.2 B.3+222 C.97.已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(3−x)=0，且当x∈[0,32]时，f(x)=x2A.−54 B.−1 C.1 8.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A=“甲参加跳高比赛”，事件B=“乙参加跳高比赛”，事件C=“乙参加跳远比赛”，则(

)A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件

C.P(C|A)=512 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于回归分析的说法中正确的是(

)A.回归直线一定过样本中心(x−,y−)

B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

C.甲、乙两个模型的R2分别约为10.一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有(

)A.经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为340

B.若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为12

C.经过6次试验后试验停止的概率为320

D.经过811.已知f(x)，g(x)的定义域为R，若f(1−x)+g(x)=3，g(−2)=2，且f(x+2)为奇函数，g(x+1)为偶函数，则(

)A.f(x)为偶函数 B.g(x)为奇函数

C.f(−1)=−1 D.g(x)关于x=1对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设随机变量X服从正态分布，即X～N(1,σ2)，若P(X>2a−1)=P(X<a)，则a=13.函数y=x4,14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，⋯，12，从盒中任取3个球，记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的期望为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax2+bx+cx2+4是定义在[−2,2]上的奇函数，且f(1)=15．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并用定义法证明f(x)在[−2,2]16.(本小题15分)

游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表：有购买意愿没有购买意愿合计男40女60合计50(1)完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？

(2)某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的数学期望．

附：χ2=n(ad−bc)P(0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.82817.(本小题15分)

某小微企业对其产品研发的年投入金额x(单位：万元)与其年销售量y(单位：万件)的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表：x15789y236811z=lny0.71.11.82.12.4(1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种模型作为年销售量y关于年投入金额x的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程；

(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量．

参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，其回归直线y​=b​x+a18.(本小题17分)

某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有23的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率．

(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列；

(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为45，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，如此往复．

(i)求甲第二天选择“单车自由行”的概率；

(ii)求甲第n(n=1,2,…,16)天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在19.(本小题17分)

如果三个互不相同的函数y=f(x)，y=g(x)，y=ℎ(x)在区间D上恒有f(x)≤ℎ(x)≤g(x)或g(x)≤ℎ(x)≤f(x)，则称y=ℎ(x)为y=f(x)与y=g(x)在区间D上的“分割函数”．

(1)证明：函数f1(x)=x为函数y=ln(x+1)与y=ex−1在(−1,+∞)上的分割函数；

(2)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)为函数y=2x2+2与y=4x在(−∞,+∞)上的“分割函数”，求实数a的取值范围；

(3)若[m,n]⊆[−2,2]，且存在实数k，d，使得函数y=kx+d参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.1

13.[0,169]14.545515.解：(1)由题意可得ax2+bx+cx2+4=−a(−x)2+b(−x)+c(−x)2+4，

即ax2+bx+c=−ax2+bx−c，即ax2+c=0，故a=0，c=0，

又f(1)=a+b+c1+4=b5=15，故b=1，即f(x)=xx2+4；

(2)f(x)在[−2,2]上单调递增，证明如下：

设−2≤x1<x2≤2，

则f(x1)−f(x16.解：(1)由题可得2×2列联表如下：有购买意愿没有购买意愿合计男9040130女601070合计15050200提出假设H0：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得

χ2=200(90×10−60×40)2150×50×130×70=60091≈6.5934<6.635，

因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关．

(2)一次游戏中取出2个红球的概率P=13×0+117.解：(1)由题知，x−=1+5+7+8+95=6，y−=2+3+6+8+115=6，

z−=0.7+1.1+1.8+2.1+2.45=1.62，

所以i=15(xi−x−)2=(1−6)2+(5−6)2+(7−6)2+(8−6)2+(9−6)2=40，

所以b̂=i=15(xi−x−)(yi−y−)i=1518.解：(1)由题意，每位游客得(1分)的概率为23，得(2分)的概率为13，

随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，

P(X=3)=(23)3=827，P(X=4)=CX

3

4

5

6

P

8

4

21(2)第一天选择“单车自由行”的概率为45，则第一天选择“观光电车行”的概率为15，

若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，

若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，

则后一天选择“单车自由行”的概率为23，

(i)甲第二天选择“单车自由行”的概率P=45×14+15×23=13．

(ii)甲第n(n=1,2,…,16)天选择“单车自由行”的概率Pn，有P1=45，

Pn=14Pn−1+23(1−Pn−1)=−512Pn−1+23(n=2,3,…,16)，Pn−817=−512(Pn−1−817)，

又P1−817=2885≠0，

19.解：(1)证明：设F(x)=ln(x+1)−x，

则F′(x)=1x+1−1，当−1<x<0时，F′(x)>0，F(x)在(−1,0)上单调递增，

当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0,+∞)单调递减，

则F(x)在x=0处取得极大值，即为最大值，

即F(x)≤F(0)=0，则当x∈(−1,+∞)时，x≥ln(x+1)；

设H(x)=ex−1−x，则H′(x)=ex−1−1，

当−1<x<1时，H′(x)<0，H(x)在(−1,1)上单调递咸，

当x>1时，H′(x)>0，H(x)在(1,+∞)上单调递增，

则H(x)在x=1处取得极小值，即为最小值，

即H(x)≥H(1)=0，则当x∈(−1,+∞)时，x≤ex−1，

于是当x∈(−1,+∞)时，ln(x+1)≤x≤ex−1，

∴函数f1(x)=x为函数y=ln(x+1)与y=ex−1在(−1,+∞)上的“分割函数”．

(2)∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)为函数y=2x2+2与y=4x在(−∞,+∞)上的“分割函数”，

∴对∀x∈R，4x≤ax2+bx+c≤2x2+2恒成立，

而(2x2+2)′=4x，于是函数y=2x2+2在x=1处的切线方程为y=4x，

∴函数y=ax2+bx+c的图象在x=1处的切线方程也为y=4x，又y′=2ax+b，

则2a+b=4a+b+c=4，解得a=cb=4−2a，