安徽省高一联考数学试卷

安徽省高一联考数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+2$，则$f'(1)$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x^2}$的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.无穷大

3.已知向量$\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf{b}=(3,-4)$，则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$的值为（）

A.5

B.10

C.13

D.15

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为1，3，5，则第10项$a_{10}$的值为（）

A.21

B.23

C.25

D.27

5.已知等比数列$\{b_n\}$的前三项分别为2，4，8，则第6项$b_6$的值为（）

A.16

B.32

C.64

D.128

6.已知函数$y=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定义域为（）

A.$\{x|x\neq2\}$

B.$\{x|x\geq2\}$

C.$\{x|x<2\}$

D.$\{x|x\neq0\}$

7.已知直线$y=2x-1$与$y=-\frac{1}{2}x+3$的交点坐标为（）

A.$(2,3)$

B.$(1,1)$

C.$(3,2)$

D.$(1,2)$

8.已知圆$x^2+y^2=4$的圆心坐标为（）

A.$(0,0)$

B.$(1,1)$

C.$(-1,-1)$

D.$(2,2)$

9.已知函数$y=\sinx$在区间$[0,\pi]$上的最大值为（）

A.0

B.1

C.$\sqrt{2}$

D.$\frac{\pi}{2}$

10.已知函数$y=x^2-4x+4$的图像开口方向为（）

A.向上

B.向下

C.向左

D.向右

二、判断题

1.若两个函数在某一点可导，则这两个函数在该点必定连续。（）

2.矩阵的行列式值为零，则该矩阵必定不可逆。（）

3.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。（）

4.对称轴为$x=0$的抛物线开口方向一定向上。（）

5.函数$y=\sqrt{x}$在定义域内的值域为$[0,+\infty)$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的图像在点$(1,4)$处的切线斜率为$k$，则$k=$_______。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$2$，$5$，$8$，则该数列的公差$d=$_______。

3.向量$\mathbf{a}=(3,-4)$与向量$\mathbf{b}=(2,1)$的点积为$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=$_______。

4.函数$y=2x^2-8x+12$的顶点坐标为_______。

5.圆$(x-2)^2+(y-1)^2=9$的圆心坐标为_______。

四、简答题

1.简述函数的奇偶性的定义，并举例说明一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。

2.如何求一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标？

3.给定两个向量$\mathbf{a}=(a_1,a_2)$和$\mathbf{b}=(b_1,b_2)$，请解释向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积和叉积的意义，并给出计算公式。

4.简述等差数列和等比数列的求和公式，并说明它们在数学中的应用。

5.举例说明如何通过图像判断一个函数的增减性和凹凸性，并解释为什么这种方法是有效的。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}

\]

2.求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+2$的导数$f'(x)$，并求$f'(2)$的值。

3.已知向量$\mathbf{a}=(3,4)$和$\mathbf{b}=(-1,2)$，求向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的叉积$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。

4.求解方程组：

\[

\begin{cases}

2x-3y=5\\

4x+5y=11

\end{cases}

\]

5.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$2$，$5$，$8$，求该数列的前$n$项和$S_n$的表达式。

六、案例分析题

1.案例分析：某公司为了推广新产品，决定在社交媒体上投放广告。公司选择了两种广告形式：视频广告和图片广告。已知视频广告的观看时长平均为30秒，图片广告的观看时长平均为10秒。视频广告的点击率为0.5%，图片广告的点击率为1%。如果公司希望至少有1000人点击广告，那么公司至少需要投放多少次视频广告和图片广告？

要求：

-根据题意，建立数学模型。

-计算出视频广告和图片广告的点击人数。

-利用不等式求解投放次数的最小值。

2.案例分析：某班级有40名学生，为了提高学生的学习成绩，班主任决定对学生的成绩进行统计分析。已知该班级的成绩分布如下：90分以上的有5人，80-89分的有10人，70-79分的有15人，60-69分的有8人，60分以下的有2人。请问该班级的平均成绩是多少分？

要求：

-计算出该班级的总分。

-计算出该班级的平均成绩。

-分析成绩分布，提出一些建议来提高学生的整体成绩。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知每台机器每小时可以生产10个产品，每个产品需要经过两道工序：组装和检验。组装工序每台机器每小时可以组装20个产品，检验工序每台机器每小时可以检验30个产品。如果工厂希望每小时至少生产100个产品，并且组装和检验的效率尽可能平衡，那么至少需要多少台机器同时工作？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，体积为$V$。已知长方体的表面积$S$为$2(xy+yz+zx)$，体积$V$为$xyz$。如果长方体的体积是表面积的一半，即$V=\frac{1}{2}S$，求长方体的长、宽、高的比例关系。

3.应用题：一家书店正在促销，购买书籍时，前10本每本打8折，之后每本再打9折。假设顾客购买了20本相同的书籍，每本书的原价为100元，计算顾客最终需要支付的总金额。

4.应用题：某市计划修建一条长100公里的高速公路，计划在3年内完成。已知第一年完成了40公里，第二年完成了60公里，第三年完成了剩下的公路。如果每年完成的公里数是前一年的1.5倍，求第三年完成了多少公里。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.B

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案：

1.$k=1$

2.$d=3$

3.$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-5$

4.顶点坐标为$(2,4)$

5.圆心坐标为$(2,1)$

四、简答题答案：

1.函数的奇偶性定义：如果对于函数$f(x)$，当$x$取相反数时，$f(x)$的值也取相反数，那么函数$f(x)$是奇函数；如果对于函数$f(x)$，当$x$取相反数时，$f(x)$的值不变，那么函数$f(x)$是偶函数。举例：$f(x)=x^3$是奇函数，$f(x)=x^2$是偶函数。

2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

3.向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2$，表示两个向量的夹角余弦值的乘积与它们的模长的乘积；向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的叉积$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=a_1b_2-a_2b_1$，表示两个向量的模长乘以它们的夹角的正弦值。

4.等差数列的求和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$（其中$r\neq1$）。应用：在物理、工程、金融等领域中，等差数列和等比数列的求和公式经常用于计算等差数列和等比数列的和。

5.通过图像判断函数的增减性和凹凸性：函数图像上升的部分表示函数是增函数，下降的部分表示函数是减函数；函数图像的凹凸性可以通过图像的曲率来判断，凹向上表示函数是凹函数，凹向下表示函数是凸函数。

五、计算题答案：

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\frac{1}{6}$

2.$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f'(2)=4$

3.$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-14$

4.$x=2,y=2,z=1$，比例关系为$x:y:z=2:2:1$

5.视频广告点击人数为$1000\times0.005=5$，图片广告点击人数为$1000\times0.01=10$，至少需要投放视频广告$2000$次，图片广告$1000$次。

六、案例分析题答案：

1.视频广告的点击人数为$1000\times0.005=5$，图片广告的点击人数为$1000\times0.01=10$，至少需要投放视频广告$2000$次，图片广告$1000$次。

2.总分$=(90\times5)+(80\times10)+(70\times15)+(60\times8)+(60\times2)=4100$，平均成绩$=\frac{4100}{40}=102.5$分。建议：加强对60分以下学生的辅导，提高整体成绩。

题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念的理解和判断能力。示例：判断函数的奇偶性。

2.判断题：考察学生对基本概念的记忆和判断能力。示例：判