2025年人教版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教版高二数学下册阶段测试试卷531考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知随机变量X服从正态分布N(3．1)，且=0．6826，则p（X>4）=（）A.0．1588B.0．1587C.0．1586D.0．15852、【题文】要得到函数的图象，可由函数的图像（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位3、当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤04、在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形5、函数在上取最大值时，x的值为（）A.0B.C.D.6、设若则的最大值为（）A.3B.C.4D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________8、【题文】给定区域令点集是在上取得最大值或最小值的点则中的点共确定______条不同的直线.9、【题文】已知程序框图如右，则输出的=____．10、【题文】数列的通项其前项和为则为____.11、【题文】直线l1和l2是圆的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的交角的正切值。

等于____.12、【题文】若角的终边过点(3sin30°,-3cos30°)，则sin

等于____________13、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=____．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)21、（本小题满分8分）在长方体中，底面是边长为2的正方形，．（Ⅰ）指出二面角的平面角，并求出它的正切值；（Ⅱ）求与所成的角．22、某几何体的一条棱长为在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a+b的最大值．

23、【题文】已知：向量O为坐标原点，动点M满足：

(1)求动点M的轨迹C的方程；

（2）已知直线都过点且与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出这样的直线共有几组____；若不存在，请说明理由.24、【题文】（本小题满分13分）

已知其中若函数且的对称中心到对称轴的最近距离不小于（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且当取最大值时，求的面积.评卷人得分五、计算题(共2题，共10分)25、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.26、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为故选B．考点：正态分布【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】由函数的图像向左平移个长度单位得到的图象.【解析】【答案】C3、D【分析】【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根；则m≤0．

故选：D．

【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．4、D【分析】【解答】解：已知：acosA=bcosB

利用正弦定理：

解得：sinAcosA=sinBcosB

sin2A=sin2B

所以：2A=2B或2A=180°﹣2B

解得：A=B或A+B=90°

所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形。

故选：D

【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．5、B【分析】【分析】本题考查的是利用导数在闭区间上求最值得问题．在解答时，要现将函数求导，通过到函数的正负情况分析单调区间，进而判断出区间[0，]上的单调性；获得问题的解答．

【解答】由题意可知：

y’=1-2sinx；

当y,＞0时，解得0＜x＜

当y’＜0时，解得＜x＜

所以当x=时，函数y=x+2cosx在[0，]上取最大值．

故选B．6、C【分析】【解答】因为所以所以因为所以

【分析】运用基本不等式求最值时，要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【解析】试题分析：抛物线的焦点为所以圆心为又因为圆过坐标原点，所以半径为所以圆的方程为考点：本小题主要考查抛物线的焦点的求法和圆的标准方程的求解，考查学生的运算能力.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为取得最大值时的整点为及共个整点.故可确定条不同的直线.

【考点定位】线性规划与直线方程【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据已知中的流程图；我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体,S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体,S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体,S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体,此时i=9.故答案为：9

考点：程序框图。

点评：本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题【解析】【答案】910、略

【分析】【解析】

试题分析：即随n的取值1,2,3，，依次为－－1，－－1，，重复出现；

所以S30=12•cos+22cos+32cos2π++302cos20π

=-×1-×22+32-×42-×52+62+-×282-×292+302

=-[1+22-2×32）+（42+52-62×2）++（282+292-302×2）]

=-[（12-33）+（42-62）++（282-302）+（22-32）+（52-62）++（292-302）]

=-[-2（4+10+16+58）-（5+11+17++59）]

=-[-2××10-×10]=470。

考点：本题主要考查二倍角的余弦公式；等差数列的求和。

点评：中档题，本题解的思路比较明确，关键是发现余弦值呈现的周期性。求和过程中，灵活运用平方差公式，是进一步解题的又一关键步骤。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：已知圆的圆心O（0，0）,半径则A（1,3）与O（0,0）的距离为AO=设点为P，则PA=2在Rt△PAO中，tan∠PAO=设两切线的夹角为则=2∠PAO，所以tan=tan2∠PAO=

【考点】圆的切线的性质、二倍角公式.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、0.3【分析】【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）；P（﹣2≤ξ≤2）=0.4；

∴P（ξ＞2）=[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]=0.3；

故答案为：0.3．

【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），利用P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，答案易得．三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共24分)21、略

【分析】【解析】

（Ⅰ）连接BD，交AC于O，∠D1OD为二面角D1-AC-D的平面角，在中，．（Ⅱ）长方体中，DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC．又正方形ABCD中，DB⊥AC，∴AC⊥面BDD1．∴AC⊥BD1，即与所成的角为．【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）与所成的角为．22、略

【分析】

如图，把已知几何体长为的棱看做某一个长方体的对角线，设长方体的对角线A1C=则它的正视图的投影长为侧视图的投影长为B1C=a，俯视图投影长为A1C=b

则即a2+b2=8．

∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴=2，当且仅当“a=b=2”时取等号．

∴a+b≤4，即a+b的最大值为4．

【解析】【答案】如图，把已知几何体长为的棱看做某一个长方体的对角线，设长方体的对角线A1C=则它的正视图的投影长为侧视图的投影长为B1C=a，俯视图投影长为A1C=b，由长方体的对角线与三条面对角线的关系，即可得到a、b满足的关系式；进而利用基本不等式的性质即可求出答案．

23、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】设点则1分。

∵

∴2分。

∴点M的轨迹C是以为焦点；长轴长为4的椭圆4分。

∴∴

∴动点M的轨迹C的方程为6分。

(2)由（1）知，轨迹C是椭圆点是它的上顶点；

设满足条件的直线存在，直线的方程为①

则直线的方程为②7分。

将①代入椭圆方程并整理得：可得则

将②代入椭圆方程并整理得：可得则

由△BDE是等腰直角三角形得

11分。

∴或④12分。

∵方程④或

∴即满足条件的直线存在，共有3组．24、略

【分析】【解析】（Ⅰ）

(3分)

函数的周期由题意知即

又故的取值范围是(6分)

（Ⅱ）由（I）知的最大值为1，

而．（9分）

由余弦定理可知：又

联立解得：或

【解析】【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)五、计算题(共2题，共10分)25、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）26、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共4题，共36分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；