《电路分析基础》课件1第10章

10.1二端网络的功率

10.2无源二端网络及元件的功率

10.3元件的储能及电路的功率守恒

10.4正弦稳态最大功率传输定理

10.5正弦稳态功率的叠加第10章正弦稳态电路的功率

1.瞬时功率

任意二端网络如图10-1所示，设端电压、电流为关联参考方向，且

u(t)=Umcos(ωt+φu)V

i(t)=Imcos(ωt+φi)A10.1二端网络的功率图10-1任意二端网络则网络吸收的瞬时功率为

p(t)=u(t)i(t)=UmImcos(ωt+φu)cos(ωt+φi)

根据三角公式，有

(10-1)可见，二端网络的瞬时功率p(t)由恒定分量UIcos(φu－φi)和正弦分量UIcos(2ωt+φu+φi)两部分组成，是以2ω为角频率变化的周期量，波形如图10-2所示(图中假设UIcos(φu－φi)是大于零的)。图中，在p(t)>0处，表明网络吸收功率；在p(t)<0处，表明网络释放功率。在一个周期内，网络吸收和释放的功率是不对等的。这表明网络与外电路之间不仅有能量交换，而且有能量的消耗(或产生)。图10-2网络瞬时功率波形

2．有功功率

工程上，为定量描述网络消耗功率的大小，引入有功功率。所谓有功功率，也就是网络的平均功率，即瞬时功率在一个周期内的平均值，用来表示。即

(10-2)

将网络瞬时功率表达式(10-1)代入上式，得网络的有功功率为

(10-3)

3．无功功率

由网络瞬时功率表达式(10-1)有

p(t)=UIcos(2ωt+φu+φi)+UIcos(φu－φi)

=UIcos［(2ωt+2φi)+(φu－φi)］+UIcos(φu－φi)

(10-4)

根据三角公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ，

将式(10-4)的正弦分量展开，得

p(t)=UIcos(2ωt+2φi)cos(φu－φi)

－UIsin(2ωt+2φi)sin(φu－φi)+UIcos(φu－φi)

=UIcos(φu－φi)［1+cos(2ωt+2φi)］

－UIsin(φu－φi)sin(2ωt+2φi)

=p1(t)+p2(t)

(10-5)其中，p1(t)=UIcos(φu－φi)［1+cos(2ωt+2φi)］

p2(t)=－UIsin(φu－φi)sin(2ωt+2φi)

画出的p1(t)和p2(t)的波形分别如图10-3(a)、(b)所示。注意，此处假设UIcos(φu－φi)>0；若UIcos(φu－φi)<0，则p1(t)的波形应在ωt轴的下方。图10-3瞬时功率的分解显然，求式(10-5)的p(t)平均功率，即等于p1(t)的平均功率。换言之，p2(t)对平均功率无贡献。在p2(t)>0处，表明网络对外吸收功率；p2(t)<0处，表明网络释放功率。在一个周期内，释放的功率与吸收的功率相等。也就是说，p2(t)体现的是网络与外电路功率交换的瞬时状态。工程上，为衡量这种能量交换的规模大小，引入无功功率用以描述。无功功率以Q表示，单位为乏(var)，其大小为瞬时交换功率的极值，且定义为

Q=UIsin(φu－φi)

(10-6)

【例10-1】电路如图10-4(a)所示，已知is(t)=20cos100tmA，求电阻、受控源及独立电源的有功功率。

解画相量模型，如图10-4(b)所示，有

解以上方程得

故

电阻消耗功率：

由于电流源电压，电流，且为非关联。故

电流源吸收的功率为

受控源电压，电流

，且为非关联。故受控源吸收的功率为

图10-4例10-1图

4.视在功率

在电工技术中，以U、I的乘积来评定电力设备供电能力的大小，即设备容量，称此为视在功率，以S表示，单位为伏安(VA)，即

S=UI

(10-7)

显然，一般情况下，有功功率小于视在功率。实际上，视在功率S是有功功率的最大值。当网络与外界不存在能量交换时，即Q=0时，由式(10-6)可知φu－φi=0，此时，有功功率。这时网络功率容量S的利用率最高，全部用于电路消耗。工程上定义功率因数作为衡量网络容量S的利用率大小的参量，以λ表示：

(10-8)显然，

λ=cos(φu－φi)

(10-9)

功率有关，而且还要视负载的功率因数λ而定。为充分利用设备能源，应当尽量提高功率因数。

由式(10-3)、(10-6)和(10-7)易得有功功率、无功功率Q和视在功率S的关系为

(10-10)

三者的关系可用如图10-5所示的功率三角形来描述。图10-5功率三角形

5.复功率

工程上为方便功率计算，引入另一功率参量——复功率。如图10-6所示的二端网络，设网络端口电压、电流相量分别为，，则网络(吸收)的复功率定义为

(10-11)图10-6二端网络复功率图示将、代入式(10-11)得

即

(10-12)

上式表明：复功率是一个复数，其实部即网络的有功功率，虚部为无功功率。显然，复功率的模为

(10-13)复功率的辐角为

(10-14)

即

(10-15)

复功率的模等于视在功率S，辐角则为网络端口电压超前于电流的角度。

【例10-2】电路如图10-7所示，已知=10∠0°A，分别求三条支路的有功功率和无功功率。

解设网孔电流、如图10-7所示。列网孔方程得

辅助方程为

图10-7例10-2图解得

故

所以

1.有功功率

设对应上节中二端网络是无源的，如图10-8所示，且端电压、电流为，，则二端网络的等效阻抗为

10.2无源二端网络及元件的功率图10-8无源二端网络图示设Z＝R+jX=|Z|∠φZ，则有

(10-16)

Re［Z］=R=|Z|cosφZ，Im［Z］=X=|Z|sinφZ

(10-17)根据上节结论及式(10-16)、(10-17)，得无源二端网络的有功功率为

(10-18)

同理，若无源网络的等效导纳为Y，则有

(10-19)式(10-18)、(10-19)表明无源二端网络所消耗的功率(有功功率)，就是网络等效阻抗的电阻分量(或等效导纳的电导分量)所消耗的功率。显然，无源网络的功率因数为

λ＝cos(φu－φi)=cosφZ

(10-20)

功率因数角为φZ，通常，－90°<φZ<90°。若φZ>0，则说明二端网络端口电流滞后于电压(呈感性)，λ称为滞后功率因数；若φZ<0，则电流超前于电压(呈容性)，λ称为超前功率因数。特别地，若无源二端网络为电阻元件，则φZ＝0。可得

(10-21)

2.无功功率

同理，根据10.1节的结论及式(10-16)、(10-17)，得无源二端网络的无功功率为

Q=UIsin(φu－φi)=UIsinφZ＝I2|Z|sinφZ=I2X

＝I2|Z|sinφZ=I2Im［Z］=I2X

(10-22)若无源网络的等效导纳为Y，则有

Q=－U2Im［Y］=－U2B

(10-23)

若网络为电阻(φZ＝0)，得Q=0。电阻不与外界交换能量。

若为电容(φZ＝－90°)，得

(10-24)若为电感(φZ＝90°)，得

(10-25)

(10-26)

【例10-3】电路如图10-9(a)所示，已知

，求电源us提供的有功功率。

解画相量模型，如图10-9(b)所示。由于电路中无其他电源及受控源，故电源提供的功率即无源二端网络消耗的功率(网络等效阻抗电阻分量消耗的功率)，也是网络内各电阻元件消耗的功率。下面分别从三个方面加以讨论。由图10-9(b)有

Z=3+j4∥(4－j4)=7+j4=8.06∠29.7°Ω

方法一:从电源us角度考虑，us为有源网络，其吸收功率为

=－UsI1cos(φu－φi)

=－10×1.24cos(0°－(－29.7°))

=－10.8W(即产生10.8W)

方法二:从二端网络角度考虑，二端网络为无源网络，其消耗功率为

或者，考虑二端网络等效阻抗的电阻分量，有

方法三:从网络中各电阻消耗功率角度考虑，有

图10-9例10-3用图

1.元件的储能

1)电容的平均储能

设正弦稳态电路的电容电压为

u(t)=Umcos(ωt+φu)V10.3元件的储能及电路的功率守恒则电容的瞬时储能为

应用三角公式，得

故平均储能为

(10-27)

将电容无功功率QC=－ωCU2与上式比较，得

(10-28)

2)电感的平均储能

与上述电容元件的讨论类似，可得

电感平均储能为

(10-29)

QL与的关系为

(10-30)

2.功率守恒定律

在一个电路中，有消耗能量的元件，就必然有产生能量的元件，其产生和消耗的能量相等。同样，在同一时刻，若一部分元件在吸收能量，就必定有另一部分元件在释放能量，能量的交换也是守恒的。即

或

设电路如图10-10所示，N为含源网络，ZL为其负载。下面来讨论当含源网络N恒定时，负载ZL从网络N获得最大功率的条件。

由于ZL=RL+jXL=|Z|∠φZ，在RL、XL、|Z|和φZ中任意固定一个参数，改变其他参数，都会形成一种情况。因此，根据工程中负载ZL的不同要求，会得到最大功率传输的不同条件。在此只就其中两种常见情形进行讨论。10.4正弦稳态最大功率传输定理图10-10求最大功率传输示意

1．负载的电阻RL及电抗XL均可独立改变

将含源二端网络N等效为戴维南电路，如图10-11所示，其中Z0=R0+jX0。这样就使问题的求解得到简化。

由图10-11可得

有效值为

图10-11图10-10的戴维南等效电路负载获得的功率为

首先考虑，若固定RL、改变XL，则XL为何值时，上式的

最大？显然，对任意的RL而言，当XL＝－X0时，最大。此时

再考虑RL为何值时，上式的最大。为此将上式对RL求导，并令，则有

解得

RL=R0

因此得出结论：在负载ZL的电阻RL及电抗XL均独立可变的情况下，其获得最大功率的条件为

(10-31)

即当负载阻抗ZL与含源网络N等效内阻抗Z0互为共轭时，即ZL=Z0*=R0－jX0时，负载可获最大功率。这一条件称为共轭匹配，也是最佳匹配或最大功率匹配。此时负载所获得的最大功率为

(10-32)若将二端网络等效为诺顿电路，其等效导纳为Y0=G0+jB0。则有

(10-33)

2.负载为纯电阻

在许多情况下，所用电器(负载)往往是电阻性设备。在此种情况下，由于ZL=RL，由图10-11可得

有效值为

负载获得的功率为

令，则有

即

(R0+RL)2+X20－2RL(R0+RL)=0

由此解得

(10-34)

【例10-4】电路如图10-12(a)所示，已知

。若ZL=RL+jXL任意可变，则ZL为何值时可获最大功率且最大功率PLmax为多少？

解将电路中负载ZL断开，画含源网络的相量模型并求其戴维南等效参数。

(1)求。电路如图10-12(b)所示，得网孔方程为图10-12例10-4图辅助方程为

解得

故

(2)求Z0。采用开路短路法，求短路电流的相量模型如图10-12(c)所示，有

辅助方程为

解得

故

故当ZL=2.377+j0.679Ω时获得最大功率，且

设电路如图10-13所示，激励us1的角频率为ω1，其单独作用产生的电流i1(t)=I1mcos(ω1t+θ1)；激励us2的角频率为ω2，其单独作用产生的电流i2(t)=I2mcos(ω2t+θ2)，则由叠加定理有

i(t)=i1(t)+i2(t)10.5正弦稳态功率的叠加图10-13多个激励的电路所以电阻R的瞬时功率为

p(t)=R(i1+i2)2

=Ri21+Ri22+2Ri1i2

(10-35)

=p1+p2+2Ri1i2

设ω2/ω1为有理数，则必然存在一个T，使得T=mT1=nT2，其中m、n为正整数，T1、T2分别为激励源的周期。因此p为周期函数，平均功率可由下式求得

(10-36)此时式(10-36)的第三项中，

(10-37)所以当m≠n时，由式(10-36)及式(10-37)有

(10-38)

可见，此时叠加定理适用于平均功率的计算。

当m≠n时，由式(10-36)及式(10-37)有

(10-39)对于电阻元件来说，若流过它的周期电流为

i(t)=I0+I1mcos(ω1t+θ1)+I2mcos(ω2t+θ2)+…

+INmcos(ωNt+θN)

其中I0表示直流电流，ω1≠ω2≠…≠ωN，且其比值为有理数，则电阻消耗的平均功率为

(10-40)由有效值的定义，设一直流电流I流过电阻R时的平均功率与周期电流i(t)流过电阻R时的平均功率相等，则I即该周期电流的有效值。因此令

I2R=I20R+I21R+I22R+…+I2NR

得

(10-41)同理，对周期电压u(t)亦有

(10-42)

式中，U0为直流电压，U1，U2，…，UN为各种不同频率的有效值。

式(10-41)与式(10-42)表明：在满足叠加条件时，多个激励源作用下，电路中电流(或电压)有效值的平方等于各个电源单独作用下电流(或电压)的有效值的平方和。

【例10-5】图10-14所示电路中，已知R=100Ω，若

(1)us1(t)=100cos(t+60°)V，us1(t)=50costV；

(2)us1(t)=400+600cos(ω0t－90°)V，

us2(t)=200cos(2ω0t－135°)V图10-14例10-5图

解(1)由于us1和us2为同频率的正弦电压，求平均功率时不能用叠加定理，但可用叠加定理计算电流，然后再计算平均功率。

由于，，所以

故

(2)

us1和us2频率不同，但频率之比为有理数，可用叠加定理计算平均功率。当us1单独作用时，其直流成分平均功率为

交流成分平均功率为

当us1单独作用时,平均功率为

所以

也可利用有效值来计算功率，此时

电阻的平均功率为

实例功率测量(功率计、瓦特计)

1.功率表的结构及工作原理

虽然用于测量功率的仪表种类很多，但它们都同属于电动系仪表。这种仪表有两个线圈：一为固定线圈(定圈或静圈)，另一为可动线圈(动圈)，如图10-15所示。其定圈分为两个部分平行排列，这使得定圈两部分之间的磁场比较均匀。动圈与转轴连接，一起放置在定圈的两部分之间。仪表工作时，定圈和动圈中都通以电流，假设它们的电流分别为I1、I2，则静圈电流I1产生的磁场会对动圈产生一个电磁力F，使得动圈联动转轴获得转动力矩M而偏转,其电磁力F的方向可由左手定则确定。如果I1、I2同时改变方向，用左手定则判断可知，电磁力的方向不变，即转动力矩M的方向不变。所以电动系仪表既能测量直流电路又可测量交流电路。

图10-15功率表结构图当电动系仪表用于直流电路的测量时，由电工基础可知，转动力矩M与电流I1、I2的乘积成正比，即

M∝I1·I2

(10-43)

当用于交流电路的测量时，有

M∝I1·I2cosφ

(10-44)动圈联动转轴带动表头指针偏转，其游丝产生的反作用力矩与M相等时，达到平衡，指针停止，其偏转角度α与力矩成正比，因此有

直流时

α∝I1·I2

(10-45)

交流时

α∝I1·I2cosφ

(10-46)

当用于直流电路的功率测量时，通过定圈的电流I1与被测电路电流相等，即I=I1，而动圈中的电流为

上式中，R1为动圈支路(电压支路)总电阻，它包括动圈电阻和附加电阻R，对于一个已制成的功率表来说，R1是一常数，一般而言，附加电阻R较大，即有R1≈R。

U为定圈与负载串联支路(电流支路)总电压，由于定圈两端的电压远小于负载两端的电压，故可认为该电压即负载电压。

因此，由式α∝I1·I2可得

α∝IU=P

同理，当用于交流电路的功率测量时，亦有。且