《电路分析基础》课件5第8章

8.1非线性元件

8.2非线性电路的分析

8.3小信号分析法

8.4分段线性化方法

习题8第8章非线性电路

8.1非线性元件

元件参数值随其上的电流、电压(或电荷、磁链)变化的元件称为非线性元件。含有非线性元件的电路称为非线性电路。若电阻电路中含有非线性电阻，则构成了非线性电阻电路。8.1.1非线性电阻

线性电阻的伏安特性曲线是通过u-i平面原点的一条直线。非线性电阻的电压与电流是非线性函数关系。非线性电阻的电阻值随着电压或电流的大小甚至方向而改变，不是常数。根据非线性电阻的电压、电流的非线性函数关系，非线性电阻可分为压控、流控及单调型三种。

若电阻两端的电压是其电流的单值函数，则称为电流控制型电阻。其电压-电流特性表达式为

u=f(i)(8.1-1)

一种典型的流控非线性电阻的伏安特性如图8.1-1(a)所示。由特性曲线可以看到,对于每一个电流值，有且仅有一个电压值与之相对应；对于同一电压值，可能有多个电流值与之对应，如电压u0有i1、i2、i33个不同的电流值与之对应。某些充气二极管就具有如图8.1-1(a)所示的伏安特性。如果通过电阻的电流是其两端电压的单值函数，则称为电压控制型电阻。其电压-电流特性表达式为

i=f(u)(8.1-2)一种典型的压控非线性电阻的伏安特性如图8.1-1(b)所示。由特性曲线可以看到,对于每一个电压值，有且仅有一个电流值与之对应；对于同一个电流值，可能有多个电压值与之对应，如电流i0有u1、u2、u33个不同的电压值与之对应。隧道二极管就具有如图8.1-1(b)所示的伏安特性。图8.1-1非线性电阻的伏安特性若非线性电阻的伏安特性是单调增长或单调下降的，则称为单调型非线性电阻。它既是电压控制型，又是电流控制型非线性电阻。普通二极管属于单调型非线性电阻元件，其伏安特性如图8.1-1(c)所示。从特性曲线可以看到,一个电压值仅对应一个电流值，一个电流值仅对应一个电压值，电压、电流值一一对应。普通二极管的伏安特性为

(8.1-3)式中，IS称为反向饱和电流;UT是与温度有关的常数，在室温下UT≈26mV。由式(8.1-3)可见，电流i是电压u的单值函数。由式(8.1-3)可求得

显然，电压u亦是电流i的单值函数。(8.1-4)按电压-电流特性曲线是否对称于u-i

平面坐标原点，非线性电阻分为双向性电阻和单向性电阻。线性电阻及某些非线性电阻的VCR特性曲线对称于u-i

平面坐标原点，是双向性电阻。多数非线性电阻的VCR特性曲线不对称于u-i平面坐标原点，属于单向性电阻。隧道二极管、普通二极管等都是单向的非线性电阻。

由于非线性电阻的电阻值随着电压或电流的大小甚至方向而改变，所以不能像线性电阻那样用常数表示其电阻值，于是引入静态电阻R和动态电阻Rd的概念。非线性电阻元件在某一工作状况下(如图8.1-2中Q点)的静态电阻R等于该点的电压值u与电流值i之比，即

Q点的静态电阻R正比于tanα。

非线性电阻元件在某一工作状况下(如图8.1-2中Q点)的动态电阻Rd为该点的电压对电流的导数，即

(8.1-5)(8.1-6)

图8.1-2二极管的伏安特性

Q点的动态电阻Rd正比于tanβ。

从数学几何意义来看，Rd是VCR曲线在静态工作点(Q点)切线斜率的倒数。由此可见，动态电阻Rd与Q点密切相关，工作点Q改变，一般Rd也随之改变。

【例8.1-1】设有一非线性电阻，其伏安特性为u=10i+i2。

(1)试求出i1=2A时对应的电压u1的值；

(2)若i2=ki1,求对应的电压u2，试问u2=ku1吗？

(3)若i3=i1+i2,求对应的电压u3,试问u3=u1+u2吗？

【解】(1)i1=2A时:

(2)i2=ki1时:

由上式可知，当k≠1时，u2≠ku1。

(3)i3=i1+i2时:

由上式可得出，u3≠u1+u2。

由上述结果可知，对于非线性电阻，齐次性、叠加性均不成立，即它不具有线性性质。8.1.2非线性电容和非线性电感

电容是一个二端储能元件，它两端的电压与其电荷的关系是用函数或库伏特性表示的。如果一个电容元件的库伏特性是一条通过原点的直线，则此电容为线性电容，否则为非线性电容。

非线性电容的电荷-电压关系可用式(8.1-7)表示：

q=f(u)(8.1-7)为了计算上的方便，引用静态电容C和动态电容Cd，分别为

电感也是一个二端储能元件，其特征是用磁链与电流之间的函数关系或韦安特性表示的。如果电感元件的韦安特性不是一条通过原点的直线，那么这种电感元件就是非线性电感元件。

非线性电感的电流与磁链的一般关系式可表示为

Ψ=f(i)(8.1-8)

同样，为了计算上的方便，引用静态电感L和动态电感Ld，分别为

8.2非线性电路的分析

由于基尔霍夫定律对于线性电路和非线性电路都适用，所以分析非线性电阻电路的根本依然是KCL、KVL以及VCR。线性电路方程与非线性电路方程仅由于元件特性的差别而有所区别。非线性电阻电路的方程是一组非线性代数方程，而非线性储能元件的电路方程是一组非线性微分方程。对于大多数非线性电阻，往往给出的是它们的VCR特性曲线。在已知非线性电阻的VCR特性曲线及相关元件参数的情况下，利用作图的方法对非线性电阻电路进行分析，即为图解法。

图8.2-1(a)是包含有非线性电阻R的电路，图中Us为直流电压源，Rs为线性电阻，若非线性电阻R为电压控制型，则其VCR特性表示为i=f(u)，如图8.2-1(b)中的曲线(2)所示。图8.2-1非线性电阻电路的图解分析由图中虚线框部分可写出u、i关系为

u=Us－Rsi(8.2-1)

非线性电阻R上的u-i关系如图8.2-1(b)中曲线(2)所示，即

i=f(u)(8.2-2)

在表明i=f(u)的同一u-i平面上，绘出式(8.2-1)所确定的直线，如图8.2-1(b)中直线(1)所示。图8.2-1(a)所示非线性电路中的电压u、电流i应既满足式(8.2-1),又满足式(8.2-2)。显然，直线(1)与曲线(2)的交点Q(UQ,IQ)所对应的电压UQ、电流IQ值便是所求的解答,即

u=UQ,i=IQ(8.2-3)

交点Q(UQ,IQ)通常称为非线性电阻的工作点。图8.2-1(b)中的直线习惯上称为负载线，因为从非线性电阻的角度来看，线性部分是它的负载。

8.3小信号分析法

小信号分析法是电子线路中常用的一种分析方法。一些实际的电子元器件，如晶体二极管、三极管等，它们的VCR特性大都是非线性的。若输入信号的变化幅度很小，则对于非线性电路，我们可以围绕任何工作点建立一个局部线性模型。这种在小信号作用下把非线性电路近似为线性电路，运用线性电路的分析方法来进行研究的方法，就是非线性电路的小信号分析法。图8.3-1(a)是包含有非线性电阻R的电路。图中,U0为直流电压源(常称为偏置电源);us(t)为小信号时变电压源(一般为正弦交流信号源)，其幅度通常远小于直流电压源U0；R0为线性电阻。设非线性电阻R为电压控制型，其VCR特性表示为i=g(u)，曲线如图8.3-1(b)所示。图8.3-1小信号分析对图8.3-1(a)所示的电路，设电压u、电流i的参考方向如图中所示，根据KVL写电路方程有

R0i(t)+u(t)=U0+us(t)(8.3-1)

先设输入信号为零，即us(t)=0，则式(8.3-1)改写为

R0i(t)+u(t)=U0(8.3-2)根据式(8.3-2)在图8.3-1(b)中画负载线(1)，与i=g(u)曲线相交于Q(UQ，IQ)点，通常称Q点为静态工作点。当us(t)≠0时，对任意时刻t，因us(t)的幅度远小于直流电压源U0，故电路的解i(t)、u(t)必在工作点Q附近，即

u(t)=UQ+Δu(t)(8.3-3)

i(t)=IQ+Δi(t)

(8.3-4)式中,UQ、IQ

分别是静态工作点Q对应的电压和电流，即分别是u(t)和i(t)的直流分量；Δu(t)、Δi(t)分别是在小信号us(t)的作用下所引起的电压增量与电流增量。将式(8.3-3)和式(8.3-4)代入式i=g(u)，得

IQ+Δi(t)=g［UQ+Δu(t)］(8.3-5)

将式(8.3-5)等号右端在Q点附近用泰勒级数展开，由于Δu(t)很小，可只取其前面的两项，得

(8.3-6)又因IQ=g(UQ)，由式(8.3-6)可得

式中,是非线性电阻VCR特性曲线在静态工作点Q处的斜率，如图8.3-1(b)所示。(8.3-7)令

式中，Gd是非线性电阻在工作点Q处的动态电导(或动态电阻Rd之倒数),于是式(8.3-7)可写为

Δi(t)=GdΔu(t)(8.3-8)

或

Δu(t)=RdΔi(t)(8.3-9)

由于在工作点Q处是常数，所以式(8.3-8)和式(8.3-9)表明：由小信号电压us(t)引起的电压增量Δu(t)与电流增量Δi(t)之间是线性关系。将式(8.3-3)、式(8.3-4)代入式(8.3-1)得

R0［IQ+Δi(t)］+［UQ+Δu(t)］=U0+us(t)(8.3-10)

当us(t)=0时，有R0IQ+UQ=U0，故得

R0Δi(t)+Δu(t)=us(t)(8.3-11)

又因为在工作点Q处有Δu(t)=RdΔi(t)，整理式(8.3-11)有

R0Δi(t)+RdΔi(t)=us(t)(8.3-12)

式(8.3-12)是一个线性方程，由此可以作出非线性电阻在静态工作点Q处的小信号等效电路,如图8.3-2所示，于是解得

(8.3-13)(8.3-14)图8.3-2小信号等效电路

故可求得

小信号分析法实质上是将静态工作点Q处的非线性电阻特性局部线性化。具体来说，就是除去电路中的直流电源，只考虑小信号的作用，非线性电阻用静态工作点Q处的动态电阻Rd近似替代，构成小信号等效电路，进而求解该等效电路。(8.3-15)

8.4分段线性化方法

非线性电阻的VCR特性比较麻烦，为了分析和计算方便，我们常用分段线性化方法。分段线性化方法又称折线近似法，是在特定的条件下将非线性电阻的VCR特性曲线进行分段线性化处理，对应各直线段可用线性电路的计算方法进行分析，这样就使得非线性电阻电路的分析求解过程得以简化。例如，实际的二极管的VCR特性如图8.4-1(a)所示。若二极管的正向压降远小于和它串联的电压源电压，则应用分段线性化法可把二极管视为理想的，其VCR特性可近似为图8.4-1(b)。从图8.4-1(b)中可以看出，对于理想二极管，电压反向时，二极管截止，电流为零,电阻值为∞；电压为正向时，完全导通，电阻值为0。

分析理想二极管电路时，关键在于确定二极管是正向偏置还是反向偏置。正向偏置时认为二极管短路，反之认为二极管开路。这样在两种情况下均可得到线性电阻电路图8.4-1二极管VCR特性分段线性化

如果允许存在的工程误差较小，则实际二极管可看成是由理想二极管与其他元件组成的。图8.4-1(c)为采用理想二极管与线性电阻串联来近似表示实际二极管的伏安特性，图8.4-1(d)为采用线性电阻、电压源和理想二极管串联来近似表示实际二极管的伏安特性。显然，图(d)比图(c)更接近于实际二极管的伏安特性曲线。

【例8.4-1】图8.4-2(a)是理想二极管VD与线性电阻R相串联的电路，试画出此串联电路的伏安特性。

图8.4-2例8.4-1图

【解】理想二极管的VCR特性如图8.4-2(b)中曲线(1)所示，线性电阻R的VCR特性如图(b)中过原点的曲线(2)所示。因电路串联，故有

u=uD+uR

当u>0时，i>0，uD=0,这时理想二极管相当于短路，u=uD+uR=0+uR=uR；当u<0时，二极管截止，相当于开路，i恒等于零。

根据以上分析可画得电路的伏安特性如图8.4-2(c)所示，当u>0时等效电阻为R，当u<0时等效电阻为∞。

【例8.4-2】由线性电阻R、电压源和理想二极管VD串联的电路如图8.4-3(a)所示，试画出此串联电路的伏安特性。【解】理想二极管、线性电阻R和电压源的伏安特性如图8.4-3(b)中曲线(1)、(2)和(3)所示，因电路是串联连接，故有

u=uD+uR+Us

图8.4-3例8.4-2图当u>Us时，i>0，uD=0，理想二极管相当于短路，u=uD+uR+Us=0+