《电路分析基础》课件5第1章

1.1电路和电路模型

1.2电路变量

1.3电路中的基本元件

1.4基尔霍夫定律

1.5理想电源

习题1第1章电路模型和电路定律

1.1电路和电路模型

电路在日常生活、生产和科学研究工作中得到了广泛应用。在收录机、电视机、录像机、音响设备、计算机、通信系统和电力系统中都可以看到各种各样的电路。这些电路的特性和作用各不相同。人们在工作和生活中会遇到很多实际电路。实际电路是为完成某种预期目的而设计、安装、运行，由电路部件和电路器件相互连接而成的电流通路装置。简单地说，电路是电流的通路，它是为了满足某种需要而由某些电工设备或元件按一定方式组合起来的。1.1.1实际电路的组成与功能

电路的结构形式和所能完成的任务是多种多样的。电路的一种作用是实现电能的传输和转换。例如，电力网络将电能从发电厂输送到各个工厂、广大农村和城市的千家万户，供各种电器与设备使用。电路的另外一种作用是实现电信号的传输、处理和存储。

例如，电视接收天线将接收到的含有声音和图像信息的高频电视信号，通过高频传输线送到电视机中，这些信号经过选择、滤波、变频、放大和检波等处理，恢复出原来的声音和图像信息，在扬声器中发出声音并在显像管屏幕上呈现图像。电力系统电路示意图如图1.1-1(a)所示。它的功能是实现电能的传输和转换。图1.1-1(a)包括电源、负载和中间环节三个组成部分。发电机是电源，是供应电能的设备，在发电厂内可把热能、水的势能或核能转换为电能。除发电机外，电池也是常用的电源。

电动机、电灯、电炉等都是负载，是取用电能的设备，它们分别把电能转换为机械能、光能及热能等。

变压器和输电线是中间环节，是连接电源和负载的部分，起传输和分配电能的作用。

图1.1-1(b)所示为常见的扩音器电路。话筒把语言或音乐(通常称为信息)转换为相应的电压和电流，它们就是电信号；而后通过电路传递到扬声器，把电信号还原为语言或音乐。由于由话筒输出的电信号比较微弱，不足以推动扬声器发音，因此中间还要用放大器来放大。信号的这种转换和放大称为信号的处理。在图1.1-1(b)中，话筒是输出信号的设备，称为信号源，相当于电源，但与上述的发电机、电池不同，信号源输出的电信号(电压和电流)的变化规律取决于所加的信息。扬声器是接收和转换信号的设备，也就是负载。

不论电能的传输和转换，还是信号的传递和处理，其中电源或信号源的电压或电流均称为激励，它推动电路工作。由激励在电路各部分产生的电压和电流称为响应。所谓电路分析，就是在已知电路的结构和元件参数的条件下，讨论电路的激励与响应之间的关系。图1.1-1电路示意图1.1.2电路模型

实际电路都是由一些按需要起不同作用的实际电路元件或器件组成的。发电机、变压器、电动机、电池、晶体管等都是物理实体，在电源频率不高的情况下，不仅具有一定的磁场，而且能释放出热能；在频率较高时，还存在一定的电场。在分析电路时，要把实际电路元件的所有电磁性质都加以考虑，是非常困难的，而且也没有必要。为了便于对实际电路进行分析和用数学方法描述，将实际电路元件理想化，即在一定条件下突出其主要的电磁性质，忽略次要因素，把它近似地看做理想电路元件或理想电路元件的组合。例如，一个白炽灯除具有消耗电能的性质(电阻性)外，当通有电流时还会产生磁场，即具有电感性。但电感微小，可忽略不计，于是通常认为白炽灯是一电阻元件。

由一些理想电路元件所组成的电路就是实际电路的电路模型，它是对实际电路电磁性质的科学抽象和概括。

理想电路元件(以下简称电路元件)分为两大类：有源元件和无源元件。有源元件分为电压源和电流源，它们反映了电路的能源形式和对电路的作用；无源元件分为电阻元件、电感元件和电容元件，分别反映将电能转换成其他某种形式能量的性能。电路元件分别由相应的符号和参数来表征，如图1.1-2所示。图1.1-2理想电路元件的符号和参数常用的手电筒是最简单的电路，其实际电路元件有干电池、电灯泡、开关和筒体，电路模型如图1.1-3所示。电灯泡是电阻元件，其参数为电阻R；干电池是电源，由一个电压源Us和电阻Rs的组合表征；筒体是连接干电池和电灯泡的中间环节(包括开关)，其电阻忽略不计，认为是一无电阻的理想导体。今后所分析的都是电路模型，简称电路。在电路图中，各种电路元件用图1.1-2规定的图形符号表示。图1.1-3手电筒电路模型

1.2电路变量

1.2.1电流

在电路中，一个十分重要的物理现象是电荷的运动，而电荷有规则地移动便形成了电流。我们把单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流强度，简称电流，用符号i表示，于是

(1.2-1)

其中，q表示电荷量，t表示时间。电荷量在国际单位制(SI)中的基本单位为库［仑］，单位符号为C；时间的基本单位为秒，单位符号为s；电流的基本单位为安［培］，单位符号为A。通常我们规定正电荷移动的方向或负电荷移动的相反方向为电流的方向(实际方向)。电流的方向是客观存在的。电流通过导线或元件的方向只有两种可能，选定其中一个方向作电流的方向，即为电流的“参考方向”。在参考方向下，电流的正、负可反映电流的实际流向。若i>0,表明电流实际方向与参考方向相同；若i<0,表明电流实际方向与参考方向相反。电流的参考方向可任意指定，不一定就是电流的实际方向，在电路中用箭头表示，也可用双下标表示，如iAB，如图1.2-1所示图1.2-1电流的参考方向

【例1.2-1】从某元件A端流向B端的电荷

q=5tsin(4πt)mC

求t=0.5s时电流iAB的值。

【解】

t=0.5s时:

iAB=5sin(2π)+10πcos(2π)mA≈31.42mA

【例1.2-2】某元件在t=1~2s期间的电流i=(3t2－t)A，求在此期间流过该元件的电荷q。

【解】

1.2.2电压

电路中电流的存在伴随着能量的转换，电压(电压降的简称)或电位差就是用来描述电路这一特性的物理量。电路中任意两点A、B间的电压被定义为：单位正电荷从A点移动到B点时所失去的能量，用符号u表示:

(1.2-2)

其中，E表示能量，单位为焦［耳］，单位符号为J；q表示电荷量，单位为库［仑］，单位符号为C；电压的基本单位为伏［特］，单位符号为V。当u>0时，就认定A点为高电位点(正极性点)并标以“＋”号，B点为低电位点(负极性点)并标以“－”号。电压(降)的方向规定为从“＋”极性点指向“－”极性点。如同讨论电流的方向一样，此处也引用参考极性或参考方向的概念。电压和电动势都是标量，但为了便于分析电路，与电流一样，我们也说它们具有方向。电压的方向规定为由高电位(“+”极性)端指向低电位(“－”极性)端，即电位降低的方向。电源电动势的方向规定为在电源内部由低电位(“－”极性)端指向高电位(“+”极性)端，即电位升高的方向。两点间的电压实际方向亦有两种可能，可选任一种方向为电压的参考方向。在参考方向下，电压的正、负可反映其电压的实际方向。若u>0,表明电压的实际方向与参考方向相同；若u<0,表明电压的实际方向与参考方向相反，如图1.2-2所示。图1.2-2电压的参考方向

【例1.2-3】如图1.2-3所示的元件，i=2A,在Δt=10s时间内元件耗能ΔE=2.3kJ，求电压u。

【解】流过元件的电荷量为

当电压的参考方向指定后，指定电流从标以电压参考方向的“+”端流入，并从“－”端流出，即电流的参考方向与电压的参考方向一致，也称电流和电压为关联参考方向,反之,为非关联参考方向,如图1.2-3所示。

在分析和计算电路时，一般在电路图中先标出电压或电流的参考方向。若已知实际方向，则选参考方向与实际方向一致。该方向一旦选定，在以后的电路分析和计算过程中不能中途更改。图1.2-3例1.2-3图在国际单位制中，电流的单位是安［培］(A)。当1s(秒)内通过导体横截面的电荷［量］为1C(库［仑］)时，电流为1A。计量微小的电流时，以毫安(mA)或微安(μA)为单位。电流单位的换算关系如下：

1A=103mA=106μA

在国际单位制中，电压的单位是伏［特］(V)。当电场力把1C的电荷［量］从一点移到另一点所作的功为1J(焦［耳］)时，这两点间的电压为1V。计量微小的电压时，以毫伏(mV)或微伏(μA)为单位；计量高电压时，则以千伏(kV)为单位。电压单位的换算关系如下：

1V=103mV=106μV=10－3kV1.2.3电功率

在设定的参考方向下，电压和电流可以用函数式表示。譬如，随时间按正弦规律变化的电流可以表示成

上述电流还可以表示成图1.2-4所示的曲线，称为波形图。

大小和方向不随时间变化的电流和电压称为恒定电流和恒定电压，亦称为直流电流和直流电压，用I和U表示。大小和方向随时间变化的电流和电压称为时变电流和时变电压，任意时刻t的电流和电压用i(t)和u(t)表示，往往也可简写为i和u。(1.2-3)

图1.2-4波形图

现在讨论电路中能量转换的速率(即功率)的计算。功率用符号P表示，其计算公式为

式中,E(t)表示能量或功。

(1.2-4)在图1.2-5中，方框泛指元件。当电压、电流为关联参考方向时，正电荷从电压的“+”极流经元件到“－”极，电荷失去能量而元件获得能量。因为电压u表示单位正电荷从“＋”极流向“－”极失去能量，电流i表示单位时间内流经元件的正电荷量，所以二者的乘积就代表元件吸收的功率，即

P(t)=u(t)i(t)

(1.2-5)

在国际单位制中，功率的单位是瓦(特)，单位符号为W。图1.2-5功率在式(1.2-5)中，当P＞0时，元件吸收(或消耗)功率；当P＜0时，元件实际上产生(或提供)功率。图1.2-5(a)中，P的箭头指向元件，表示元件吸收功率。

如果电压、电流的参考方向相反，如图1.2-5(b)所示，意味着正电荷从电压“－”极经过元件流向“+”极，这时电荷从元件获得能量，于是，式(1.2-5)中的P就代表元件产生的功率。当P＞0时，元件产生功率；当P＜0时，元件吸收功率。图1.2-5(a)中，P的箭头指向元件，表示元件产生功率。可见，电路中任一元件的功率等于该元件电压、电流的乘积。元件实际上是吸收功率或是产生功率，可由电压、电流的参考方向是否关联和功率值的正或负来确定。对于图1.2-5(a)所示的参考方向，在t0－t的时间内，该元件所吸收的能量为

以上关于一个元件的功率和能量的讨论，适用于任何一个电路。(1.2-6)

【例1.2-4】(1)在图1.2-5(a)中，u=5V，分别求出电流为2A和－1A时元件的功率；(2)在图1.2-5(b)中,已知u=4V，元件吸收的功率为8W，求电流。

【解】(1)图中已设定的电压、电流的参考方向一致，故

i=2A时,P=ui=10W(吸收)

i=－1A时,P=ui=－5W(产生)

(2)图中已设定的电压、电流的参考方向相反，元件吸收8W的功率相当产生－8W的功率，因P=ui,即－8W=

4V×i,故i=－2A。

负号表明电流的实际方向与参考方向相反。

在讨论电流、电压和功率的过程中，引入参考方向在电路分析中起着重要作用。

1.3电路中的基本元件

电路理论中有一个重要的假设:若构成电路的器件及电路本身的尺寸远小于电路工作时电磁波的波长，或者电磁波通过电路的时间可认为是瞬时的，则电磁场理论和实践均证明在任意时刻流入各器件任一端子的电流和任两个端子间的电压都将是单值的量。在这种近似条件下，可用足以反映其电磁性质的一些理想电路元件或它们的组合来模拟实际电路中的器件。这种理想电路元件称为集总元件或集总参数元件。由集总元件构成的电路称为集总电路，或称为具有集总参数的电路。本书只考虑集总电路。电路元件通过端子与外电路相连接。根据与外电路相连接的端子数目，电路元件可分为二端元件、三端元件、四端元件等；电路元件还可以分为线性元件和非线性元件、时不变元件和时变元件、有源元件和无源元件等。不向外电路提供净能量的元件称为无源元件，否则称为有源元件。

集总电路元件端子间的电压与通过它的电流都有确定的关系，这个关系称为元件的伏安关系(VAR,Volt-AmpereRelationship)。该关系由元件性质所决定，元件不同，其VAR则不同。这种由元件性质给元件中的电压、电流施加的约束称为元件约束。元件约束是分析和计算电路的另一类基本依据。

构成电路的基本电路元件有电阻元件、电容元件、电感元件和电源元件。以下着重讨论电路元件以及它们的VAR。1.3.1电阻元件

电阻元件是一种集总电路元件，它是由实际电阻器件抽象出来的模型。像绕线电阻、碳膜电阻、照明器具、电阻炉、电烙铁等实际电阻器件，当忽略其电感等作用时，可将它们抽象为只消耗电能的电阻元件。有些电子器件只要其端子间的VAR满足电阻元件的定义，就可以将电阻元件作为它的模型，而不论其内部结构和物理过程如何。

1.电阻元件的定义

如果一个二端元件，在任意时刻t，它的端电压u和电流i之间为代数关系，即这一关系可由u-i平面上的一条曲线所确定，并且与电压或电流的波形无关，则此二端元件称为电阻元件，这条表示元件电压与电流关系的曲线称为VAR曲线。图1.3-1(a)、(b)是两种不同类型的电阻元件的VAR曲线，其u、i采用一致的参考方向。在图1.3-1(a)中，电阻元件的VAR曲线是通过坐标原点的一条直线，其u与i成正比，故称该元件为线性电阻元件，它在电路图中的符号如图

1.3-2所示。图1.3-1电阻元件的VAR曲线图1.3-2线性电阻元件的符号在图1.3-1(b)中，电阻元件的VAR曲线不是通过坐标原点的一条直线，则称该元件为非线性电阻元件。例如，电子电路中的二极管模型是非线性电阻元件。

VAR曲线不随时间而变化的电阻元件称为时不变电阻元件，否则称为时变电阻元件。例如，电阻式传声器在有语音信号时就是时变电阻。图1.3-3为线性时变电阻元件的VAR曲线。

本书着重介绍线性时不变电阻元件，因为在通常的应用条件下，工程实际中遇到的大部分电阻器件都可以用它作为其模型。关于非线性电阻元件将在第8章中介绍。图1.3-3线性时变电阻元件的VAR曲线

2.电阻元件的VAR

由图1.3-1(a)可知，线性时不变电阻元件的VAR为

u=Ri(1.3-1)式(1.3-1)便是著名的欧姆定律。它表明线性电阻元件的端电压与流过它的电流成正比，比例常数R称为电阻，它亦是图1.3-1(a)中直线的斜率，是表明电阻元件的参数。当u的单位为伏(V)，i的单位为安(A)时，电阻R的单位为欧姆(Ω)，较大的单位有千欧(kΩ)、兆欧(MΩ)，1MΩ=106Ω。习惯上常把电阻元件简称为电阻。所以，电阻这个名词及其相应符号R既表示电路元件，也表示元件的参数。除非特别指明，电阻均指线性时不变电阻元件。式(1.3-1)是在u、i的参考方向一致的情况下得出的，若u、i的参考方向不一致，则应表示为

u=－Ri

线性电阻元件的VAR还可以用式(1.3-2)表示：

i=Gu

或i=－Gu(1.3-2)

式中，称为电导，单位为西门子(S)。比较式(1.3-1)和式(1.3-2)可见，它们很相似，将式(1.3-1)中的u与i互换，再将G代替R,则得到式(1.3-2)；用类似的方法，也可将式(1.3-2)变换为式(1.3-1)。这种性质称为“对偶性”，其中u与i、R与G称为对偶量。在电路分析中，诸如变量、元件、定律、定理以及公式间等，都存在着某种对偶关系，利用对偶关系进行电路分析将收到事半功倍的效果，这在后面的电路分析中会经常提到。

线性电阻有两种特殊情况：开路和短路。一个电阻元件无论其端电压如何，其电流恒为零，则此时R=∞或G=0，称为开路，如图1.3-4(a)所示，开路的VAR曲线如图1.3-4(b)所示。

类似地，一个电阻元件无论其电流如何，其端电压恒为零，则此时R=0或G=∞，称为短路，如图1.3-5(a)所示，短路的VAR曲线如图1.3-5(b)所示。

任何一个二端元件(或电路)开路时，均相当于R=∞；任何一个二端元件(或电路)短路时，均相当于R=0。图1.3-4开路特性图1.3-5短路特性

3.电阻元件的功率和能量

在采用u、i一致的参考方向时，电阻元件的功率计算式为

当采用u、i不一致的参考方向时，其计算结果相同。

电阻元件的能量计算式为

(1.3-3)

(1.3-4)对于实际电阻器的模型，通常R＞0，P为正值，根据式(1.3-3)的判定原则，这类电阻元件是吸收功率(消耗功率)的，称为耗能元件，它将吸收的全部电能转化为热能，因此这类电阻元件是无源元件。大多数电阻元件都属于这种情况。利用电子电路可实现负电阻，即R＜0。某些电子器件也表现出负电阻特性，如图1.3-6所示的隧道二极管的VAR曲线的AB段。由于R＜0，因此由式(1.3-3)可得P＜0,说明该元件是发出功率的。这类电阻元件属于有源元件，它们对外电路提供的能量来自工作时的电源。负阻器在电子电路中是很重要的，它们可用于晶闸管和计算机等电路中。图1.3-6隧道二极管的VAR曲线工程上常利用电阻器件来实现限流、分压和分流等。常用的电阻器有碳膜电阻、金属膜电阻及绕线电阻等。工程上还常利用电阻器消耗电能转化为热能的效应做成各种电热器，如电烙铁、电炉等。在实际使用电器设备和器件时，为了使其安全、可靠、经济地工作，制造厂家都对每个电器设备和器件规定了工作时允许的最大电流、最大电压和最大功率，这些数值统称为额定值，如额定电流、额定电压和额定功率，分别用IN、UN和PN表示。在选用电器设备和器件时，应使其工作时的电流、电压和功率不超过额定值。由于电流、电压和功率之间存在一定的关系，因此IN、UN和PN也不需要全部标出。例如，白炽灯只给出UN和PN(如220V，100W)，电阻器只标出R和PN(如1k,2W)。

【例1.3-1】一电阻元件值为1kΩ,额定功率为0.5W，则它在使用中能承受的最大电压及允许通过的最大电流各是多少？

【解】由，有

又由P=I2R得

计算表明，该电阻元件允许加上的最大电压为22.36V，允许通过的最大电流为22.36mA。1.3.2电容元件

电容元件也是一种集总电路元件，它是由实际电容器抽象出来的模型。实际电容器通常由两块金属极板中间充满介质(如云母、绝缘纸等)构成。在电容器加上电压后，极板上聚集着等量异号电荷，于是在两块极板间形成一个电场，并储存能量。当忽略电容器的漏电阻和介质损耗时，可将其抽象为只具有储存电场能量特性的电容元件。

1.电容元件的定义

如果一个二端元件在任一时刻t,其电荷q同端电压u之间为代数关系，即这一关系可由q-u平面上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件，这条曲线称为电容元件的特性曲线。如果q-u平面上的特性曲线是通过原点的一条直线，且不随时间而变化，则此电容元件称为线性时不变电容元件，如图1.3-7(a)所示；反之，如果不是通过原点的一条直线，则此电容元件称为非线性电容元件,如图1.3-7(b)所示。变容二极管就是一种非线性电容。本书只介绍线性时不变电容元件。图1.3-7所示的特性曲线的q、u采用一致的参考方向，即假定正电位的极板上的电荷也为正。

线性时不变电容元件在电路图中的符号如图1.3-8所示。图1.3-7电容元件的特性曲线图1.3-8线性时不变电容元件的符号

2.电容元件的VAR

电容元件虽然是根据q-u关系定义的，但电路元件的VAR是电路分析的基本依据之一，故电容元件的VAR是人们感兴趣的问题。

由图1.3-7(a)可知，线性时不变电容元件q与u的关系式为

q=Cu(1.3-5)

式中，比例常数C称为电容，它就是图1.3-7(a)中直线的斜率，是表征电容元件的参数。当q的单位为库(C)，u的单位为伏(V)时，电容

C的单位为法［拉］(F)。实际电容器的电容量通常很小，故常以较小的微法(μF)或皮法(pF)为单位，1F=106μF，1μF=106pF。习惯上也常把电容元件简称为电容，因此，电容这个名词及其相应符号C既表示电路元件，也表示元件的参数。除非特别指明，电容均指非时变线性电容元件。当电容的端电压u发生变化时，极板上的电荷q相应地发生变化，因而在导线上形成电流。当u、

i为一致的参考方向(如图1.3-8所示)时，有，将式(1.3-5)代入该式得

这就是电容元件的VAR。(1.3-6(a))电容元件的VAR与电阻元件的VAR不同，是导数关系，而不是代数关系，因此，电容元件称为动态元件。当电容中u、

i的参考方向不一致时，电容元件的VAR为

式(1.3-6)表明，i与u的变化率成正比，只有当电容元件的端电压随时间变化时，电容中才有电流通过。如果电压不变化(直流电压)，即,则虽有电压，电流却为零，这时电容相当于开路,所以电容元件有隔断直流的作用。(1.3-6(b))由式(1.3-6)还可以看到，对于有限电流值来说，电容电压不能跃变，即电容电压变化需要时间，否则电容电流为无穷大。电容电压不能跃变的特性是第9章中分析动态电路的一个重要依据。但是在某些理想情况下，电容电压却是可以跃变的。式(1.3-6)也可以写成积分形式，即(1.3-7)式(1.3-7)说明,在某一时刻t,电容电压不仅和［t0，t］时间间隔内的电流有关，还和电容的初始电压u(t0)有关，即和电流作用的全部历史有关。因此，电容元件具有“记忆”电流的作用，电容元件是一种“记忆元件”。电阻元件却没有这种记忆作用，因为电阻元件的电压完全由同一时刻的电流来决定。

3.电容元件的电场能量

当u、i为一致的参考方向时，电容元件的瞬时功率计算式为

在时间间隔［t0，t］内，电容电压由u(t0)变化到u(t)，则电容元件吸收的能量为

此能量全部储存在电容两极板的电场中。(1.3-8)(1.3-9)

如果初始时刻u(t0)=0(即初始时刻电容未充电),则

式(1.3-10)表明，电容在某一时刻储存的电场能量与该时刻端电压的平方成正比。当电压增加时，电容从电源吸收能量，储存在电场中的能量增加，这个过程称为电容的充电过程。当电压减小时，电容向外电路释放电场能量，这个过程称为电容的放电过程。电容元件在充、放电过程中并不消耗能量，因此，电容元件与电阻元件不同，它是一种储能元件。同时，由于电容元件不产生能量，因此它也属于无源元件。(1.3-10)

电容元件除了作为实际电容器的模型外，也是电路中电容效应的模型。电容效应在许多场合存在，例如在二极管和晶体管的电极之间，在电子仪器中的导线和金属外壳之间，甚至在一个线圈的匝与匝之间等都存在着电容。虽然它们的数值都较小，但在工作频率很高时，一般不应忽略它们的作用。电容器在工程中，特别是在电子电路中有着广泛的应用。在选用电容器时，除了选择合适的电容量外，还需注意实际工作电压与电容器的额定电压是否相等。如果实际工作电压过高，那么介质就会被击穿，电容器就会损坏。电容器上所标明的额定电压通常指的是直流电压。如果电容器工作在交流电路中，则应使交流电压的最大值不超过它的额定电压。

【例1.3-2】若电容C的端电压uC的波形如图1.3-9(a)所示，设电容的u和i为一致参考方向，已知C=1F，求电容C中的电流iC，并画出它的波形。

【解】先写出uC的函数式如下：根据,求得iC(t)的表达式如下：

其波形图如图1.3-9(b)所示。图1.3-9波形图1.3.3电感元件

电感元件也是一种集总电路元件，是从实际电感器抽象出来的模型。实际电感器通常由导线绕成的线圈而制成(见图1.3-10)，故电感器又称为电感线圈，如电子电路中的扼流线圈等。在电感线圈中通电流后，将产生磁通Φ，在其内部和周围建立磁场，并储存能量。当忽略导线电阻及线圈匝与匝之间的电容时，可将其抽象为只具有储存磁场能量特性的电感元件。

若线圈有N匝，则电流产生的总磁通为NΦ，称为磁链Ψ,即Ψ=NΦ，单位与磁通一样。图1.3-10电感线圈

1.电感元件的定义

如果一个二端元件在任一时刻t,其磁链Ψ和电流i之间存在代数关系，即这一关系可由Ψ－i平画上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件，这条曲线称为电感元件的特性曲线。如果Ψ－i平画上的特性曲线是通过原点的一条直线，且不随时间而变化，则此电感元件称为线性时不变电感元件，如图1.3-11(a)所示；反之，如果不是通过原点的一条直线，则此电感元件称为非线性电感元件,如图1.3-11(b)所示。空心电感线圈可用线性电感元件来表征，具有铁心的电感元件一般要用非线性元件来表征，这是因为铁心的导磁性能是非线性的。本书只介绍线性时不变电感元件。图1.3-11所示的特性曲线的Ψ、i的参考方向符合右手螺旋定则。

线性时不变电感元件在电路图中的符号如图1.3-12所示。图1.3-11电感元件的特性曲线图1.3-12线性时不变电感元件的符号

2.电感元件的VAR

与电容元件一样，电感元件的VAR也是人们感兴趣的问题。由图1.3-11(a)可知，线性时不变电感元件的Ψ与i的关系式为

Ψ=Li(1.3-11)

式中，比例常数L称为电感或自感，它就是图1.3-11(a)中直线的斜率，是表征电感元件的参数。当Ψ的单位为韦(Wb)、

i的单位为安(A)时，电感L的单位为亨利，简称亨(H)。较小的单位为毫亨(mH)、微亨(μH),1H=103mH,1mH=103μH。习惯上，人们也常把电感元件简称为电感。因此，电感这个名词及其相应的符号L既表示电路元件，又表示元件的参数。除非特别指明，电感均指非时变线性电感元件。当电感中的电流i发生变化时，它的磁链Ψ也相应地发生变化，由电磁感应定律可知，电感元件的两端将产生感应电压u。若选定感应电压u的参考方向与磁链Ψ的参考方向也满足右手螺旋定则，则有

将式(1.3-11)代入式(1.3-12)，得

(1.3-12)(1.3-13(a))这就是电感元件的VAR。式中的感应电压u称为自感电压。电感元件的VAR是导数关系，因此，称电感元件为动态元件。

由于Ψ和i的参考方向符合右手螺旋定则，u和Ψ的参考方向也符合右手螺旋定则，因此图1.3-11(a)中的u、i为一致参考方向，如图1.3-12所示。若u、i的参考方向不一致，则电感元件的VAR为

(1.3-13(b))式(1.3-13(b))表明，u与i的变化率成正比，只有当电感元件中的电流随时间变化时，才有感应电压，电流变化越大，则电压越大。如果电流不变化(直流电流)，即di/dt=0,则虽有电流，电压却为零，这时电感相当于短路。

式(1.3-13(b))写成积分形式为

(1.3-14)

3.电感与电容的对偶性

比较电容元件和电感元件的VAR不难发现，将式(1.3-6)和式(1.3-7)中的i换以u，u换以i,C换以L,则得到式(1.3-13)和式(1.3-14)，用类似的方法也可将后式变换为前式。因此，电容和电感是对偶元件，利用它们的对偶关系可以得到电感元件和电容元件相类似的几个性质：

(1)对于有限电压值来说，电感电流不能跃变。这是第9章中分析动态电路的一个重要依据。

(2)电感元件是一种“记忆元件”，具有“记忆”电压的作用。

(3)电感元件是储能元件，它在某时刻储存的磁场能量为

(4)电感元件是无源元件。

在选用电感器时，除了选择合适的电感量外，还需注意实际的工作电流不能超过电感器的额定电流，否则由于电流过大，将导致线圈发热而被烧毁。(1.3-15)

【例1.3-3】已知通过电感L的电压u的波形如图1.3-13(a)所示。设电感的u和i为一致参考方向，且L=1H，i(0)=0,求电感中电流i，并画出它的波形。

【解】写出u的函数式如下:由式(1.3-14)求得i的表达式如下：

在0≤t≤1s期间，因i(0)=0，得

则i(1)=2A

在1s≤t≤2s期间，因i(1)=2A，得

则i(2)=0在2s≤t≤3s期间，因i(2)=0，得

电流i的波形如图1.3-13(b)所示。图1.3-13例1.3-3图

1.4基尔霍夫定律

基尔霍夫定律与欧姆定律都是分析与计算电路的基本定律。基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律。

电路中每一个分支称为支路，一条支路上所有两端元件流过同一个电流，称为支路电流。例如图1.4-1中，共有六条支路。

电路中三条或三条以上的支路相交的点称为节点。在图1.4-1中共有四个节点：a、b、c、d。由一条或多条支路构成的闭合路径称为回路。图1.4-1中共有七个回路：aecba、abda、bcdb、aecda、aecbda、abdcea、abcda。图1.4-1介绍电路术语使用的电路

1.4.1基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律(KCL,Kirhhoff’sCurrentLaw)用于确定连接于同一节点的各支路电流的关系。由于电流的连续性，电荷不能在电路中的某一点(包括节点)上堆积，因此，基尔霍夫电流定律指出：在任一时刻，流向某一节点的电流之和应该等于从该节点流出的电流之和。图1.4-1中，对节点a有：

I1=I3+I4或将上式改写成：

I1－I3－I4=0

即

∑I=0

(1.4-1)

则基尔霍夫电流定律重述如下：任一时刻，流过某一节点的电流代数和恒等于零。若取流向节点的电流为正，则背离节点的电流为负。根据分析和计算电路的结果会发现，有些支路的电流可能为负，这说明我们所选定的电流的参考方向可能与实际方向相反。

基尔霍夫电流定律不仅适用于节点，也适用于包含几个节点的任一假设闭合面。如图1.4-2所示，闭合面包含的是一个三角形，它有三个节点，应用KCL有：

IA=IAB－ICA

IB=IBC－IAB

IC=ICA－IBC

图1.4-2KCL的推广应用

上列三式相加得：

IA+IB+IC=0或∑I=0

可见，在任一时刻，通过任一闭合面的电流代数和也恒等于零。若取流向该闭合面的电流为正，则背离该闭合面的为负。图1.4-2中电流IA、IB、IC的参考方向均取为流向闭合面，所以三者之和为零。要注意到，IA、IB、IC的实际方向应有一个或两个与参考方向相反。

【例1.4-1】如图1.4-1所示的电路中，已知I1=3A，I2=4A，I3=－2A，求电流I4、I5、I6。

【解】应用KCL，对节点a有：I1－I3－I4=0,代入已知参数得

I4=5A；

对节点c有：I2+I3－I5=0，代入已知参数得I5=2A；

对节点b有：I4+I5－I6=0，代入已知参数得I6=7A。1.4.2基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律(KVL,Kirhhoff’sVoltageLaw)是对回路中各段电压关系的约束。基尔霍夫电压定律指出，从电路中任一回路的某一点出发，沿回路循行一周，则在这个方向上的电位降之和应该等于电位升之和。

在图1.4-1中，对回路abda，应用KVL有：

U4+U6+U1=Us1(1.4-2)

将上式改写为

U4+U6+U1－Us1=0

即

∑U=0(1.4-3)

因此基尔霍夫电压定律又可以表述如下：在任一时刻，对某一回路，沿任一循行方向(顺时针方向或逆时针方向)，该回路中各段电压的代数和恒等于零。若将参考方向与回路绕行方向一致的电压取正，则相反的取负。基尔霍夫电压定律不仅可应用于闭合回路，也可将其推广应用于开口电路。在图1.4-3中应用KVL有：

UAB+UB－UA=0

UBC+UC－UB=0

UCA+UA－UC=0图1.4-3KVL的推广应用移项得：

UAB=UA－UB

UBC=UB－UC

UCA=UC－UA

在分析和计算电路时，经常用基尔霍夫电压定律列写电压等式。若电路中的元件是电阻元件，则可以将电阻两端的电压用电流和电阻的乘积(欧姆定律)表示。例如图1.4-1中将U1、U4、U6分别用下列各式表示：

U1=I1R1,U4=I4R4，U6=I6R6

代入式(1.4-2)可得

I4R4+I6R6+I1R1=Us1

【例1.4-2】图1.4-4所示的电路中，已知R1=10Ω，R2=2Ω，R3=1Ω，Us1=3V，Us2=1V。求各电阻端电压及各支路电流。

【解】各支路电流及各电阻端电压参考方向如图1.4-4所示。对节点b应用KCL有：

I1=I2+I3

对左回路应用KVL有：

U1+U3=Us1

图1.4-4例1.4-2图

对右回路应用KVL有：

U3－U2=Us2

将U1=I1R1,U2=I2R2,U3=I3R3代入回路电压等式，并联立求解得

I1=0.25A,I2=－0.25A,I3=0.5A

U1=2.5V,U2=－0.5V,U3=0.5V

1.5理想电源

实际电源有电池、发电机、信号源等。表示电源的电路模型有两种形式：电压源和电流源。本节将介绍这两种电源的理想模型。

1.5.1理想电压源

任何一个实际电压源都可以用一个理想的电压源和一个电阻串联的形式表示，该串联电阻称为电源的内阻,如图1.5-1(a)所示。

图中,U是电压源输出电压，I是电压源输出电流。由电路可得

U=Us－IR0

(1.5-1)

由式(1.5-1)可作出电压源的伏安特性曲线如图1.5-1(b)所示。当R0=0时，输出电压U恒等于Us，是一定值，这样的电源称为理想电压源。流过理想电压源的电流是任意的，由电压源所带的负载电阻所决定。其外特性曲线如图1.5-1(b)所示。通常当电压源内阻远远小于负载电阻时，可以认为是理想电压源。

图1.5-1电压源的电路模型及其伏安特性曲线1.5.2理想电流源

实际电流源还可以用一个理想电流源和一个电阻并联的组合来表示，该并联的内阻称为电流源的内阻,如图1.5-2(a)所示。图中，U为电流源输出电压，I为电流源输出电流。

对图1.5-2(a)应用KCL得

当Rs→∞时，输出电流I恒等于电流源的电流Is，这样的电源称为理想电流源，其端电压则取决于负载电阻的大小。其外特性曲线如图1.5-2(b)所示。电压源与电流源之间的变换将在第2章阐述。(1.5-2)图1.5-2电流源电路模型及其伏安特性曲线

习题1

1-1判断与选择题。

(1)电流的参考方向是电路中电流的真实流向。()

(2)电压、电流的参考方向可以任意指定，即使与实际电压、电流不符也不会影响分析的结果。()

(3)伏安特性曲线是一条直线的电阻元件称为线性电阻。()

(4)如未标定参考方向，欧姆定律应为()。

A.U＝RI

B.U＝－RI

C.|U|=R|I|

D.以上都不对

(5)欧姆定律与KCL、KVL一样是电路普遍适用的定律。()

(6)若元件伏安特性曲线的斜率为负值，则在该工作电压下电阻为负电阻。()

(7)基尔霍夫电压定律和电流定律适用于非时变电路，对时变电路并不适用。()

(8)基尔霍夫电