《电路基础》课件第6章

6.1非正弦周期量

6.2非正弦周期信号的谐波分析

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率

6.4滤波器

6.5本章实训非正弦周期电流电路的研究第6章非正弦周期电流电路常见的非正弦周期波主要有:全波整流电路输出的电压波形(如图6.1所示)，半波整流电路输出的电压波形(如图6.2所示)，脉冲数字电路中尖脉冲波形(如图6.3所示)，矩形脉冲波形(如图6.4所示)，电子示波器中常用的锯齿波扫描波形(如图6.5所示)。6.1非正弦周期量图6.1全波整流电压波形图6.2半波整流电压波形图6.3尖脉冲波形图6.4矩形脉冲波形图6.5锯齿波形6.2.1非正弦波的合成

在正弦交流电路中，几个同频率的正弦量之和还是一个同频率的正弦量。对于几个不同频率的正弦量相加，其结果如何？

设有三个正弦电压

u1=U1msinωt

6.2非正弦周期信号的谐波分析把两个正弦电压u1、u3的瞬时值相加，可得到另一个电压

其波形如图6.6所示，比较接近于方波。图6.6正弦波u1、u3合成非正弦波u若加上第三个正弦电压

则

其波形如图6.7所示，非常接近方波波形。图6.7正弦波u1、u3、u5合成非正弦波u6.2.2非正弦波的分解

几个不同频率的正弦量之和是周期性非正弦量，反过来，任何一个周期性非正弦量也可以分解为一系列不同频率的正弦量。

由高等数学知识可知，凡满足狄利赫里条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。在电工技术中所遇到的周期性非正弦量，一般情况下都能满足狄利赫里条件，因此都可以分解为傅里叶级数。

设f(t)为一周期函数f(t)=f(t+kT)，其中周期为T，角频率ω=2π／T，则f(t)的傅里叶级数可表示为

(6-1)

其中:a0／2为常数项，

akcoskωt为余弦项，bksinkωt为正弦项；a0、ak和bk称为傅里叶级数的系数，分别为

若把式(6.1)中的同频率正弦项和余弦项合并，则有

(6-2)

其中:，,

,而

ak=Aksinψk,bk=Akcosψk

例6-1

如图6.8所示锯齿波，其解析式为

(0＜t＜T)

求其傅里叶级数展开式。图6.8例6-1图

解因为

所以，i(t)的傅里叶级数展开式为

图6.9例6-2图

例6-2

求如图6.9所示方形脉冲波的傅里叶级数展开式

解因为当k=2n,其中n=0，1，2，3…时，bk=0；

当k=2n+1,其中n=0，1，2，3…时，

；所以

以上介绍了非正弦周期函数的傅里叶级数求解方法，但在实际应用中，工程上常采用查表的方法获得非正弦周期函数的傅里叶级数展开式。常用几种典型非正弦周期函数的傅里叶级数展开式如表6.1所示。表6.1几种典型非正弦周期函数的傅里叶级数展开式6.3.1非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根据其热效应来确定的。

如果非正弦周期电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等，则直流电流I的数值称为非正弦周期电流i的有效值，用公式表示为

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率同理，非正弦周期电压的有效值定义可表示为

由于非正弦周期量可分解为傅里叶级数，因此可根据其各次谐波的有效值来计算其有效值。

下面以非正弦周期电流为例,设

其有效值为

同理，非正弦周期电压的有效值为

例6-3

试求非正弦周期电压

的有效值。

解u(t)的有效值为6.3.2非正弦周期量的平均值

一个非正弦周期量的平均值就是它的直流分量。

非正弦周期电压u(t)的平均值为

对于傅里叶级数展开式中直流分量为零的非正弦周期量，在一个周期内的平均值为零。为了便于对非正弦周期量进行分析和测量(如分析整流效果)，一般定义非正弦周期量的平均值为其绝对值在一个周期内的平均值，又称为整流平均值。非正弦周期电流平均值为

例如，半波整流电流波

其平均值为

I=1.57Iav

即非正弦周期量半波整流电流波的有效值是其平均值的1.57倍。

非正弦周期电压平均值为

非正弦周期量有效值与平均值的比值称为波形因数，用Kf表示:

非正弦周期量振幅值与有效值的比值称为波峰因数，用Kc表示:

例6-4

分别用磁电系电压表和电磁系电压表测量一个全波整流电压，已知其振幅值为311V，求各电压表的读数。

解经计算或查表，全波整流电压波的平均值、有效值分别为

所以，磁电系电压表读数为198.1V，电磁系电压表的读数为220V。6.3.3非正弦周期量的平均功率

非正弦周期性电流电路中的瞬时功率等于电压和电流瞬时值的乘积，即p=ui，其在一个周期中的平均功率是指一个周期内消耗在电路中的电能与消耗这些电能所用时间的比值，即

若非正弦周期电压u和非正弦周期电流i的瞬时值分别为

其中ψuk、ψik分别为电压和电流k次谐波分量的初相位。则有

经过计算可得

其中,Uk和Ik分别为电压、电流k次谐波分量的有效值，φk=ψuk－ψik为k次谐波电压超前k次谐波电流的相位角。非正弦周期电流电路的无功功率定义为各次谐波无功功率之和，即

非正弦周期电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即

平均功率和视在功率的比值定义为非正弦周期电流电路的功率因数:

式中,φ为一个假想的角。该功率因数无实际意义，并不表示非正弦电压与电流之间存在相位差。

例6-5

已知某二端网络的端口电压、端口电流分别为

求该二端网络的平均功率、无功功率和视在功率。

解平均功率为

P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+U3I3cosφ3

=20×10+20×10cos60°

=200+100=300W

无功功率为

视在功率为

例6-6

如图6.10所示RL串联电路，已知R=3Ω，L=12.7mH，外加电压。试求：

(1)电路中电流i；

(2)电流i的有效值I；

(3)电路中消耗的平均功率P。

解在直流分量U0=60V单独作用下，电感L相当于短路，有

图6.10例6-6图

在单独作用下，有

电流为

电流i的有效值为

电路中消耗的平均功率为

P=P0+P1=1200+108=1308W按照滤波器的功能，一般情况下，滤波器可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型。它们的电路结构可以设计成Γ型、Τ型和Π型等,如图6.11所示。6.4滤波器图6.11滤波器的基本电路形式6.4.1低通滤波器

在电路中，使低频分量的信号顺利通过，而高频分量的信号受到抑制的电路称为低通滤波器，其典型电路如图6.12所示。

低通滤波器的作用是让直流分量及低于某一频率的谐波分量通过，这一频率称为滤波器的截止频率，即滤波器的通频带和止频带的交界处。

以图6.13Π型低通滤波器为例，电路中串联臂为电感元件，并联臂为电容元件。从输入端输入电流i1，其中的高频分量大部分经左边电容C1分流而返回。流经电感L的高频分量，幅度受到抑制后，经过右边电容C2再次分流，从而使输出端电流i2所含高频分量很小。从电压来讲，输入端电压u1中的高频分量主要分布在电感L上，输出端电压u2中含有的高频分量也很小，这样输出的高频分量被大大削弱，得到的主要是低频分量。图6.12低通滤波器图6.13Π型低通滤波器6.4.2高通滤波器

使高频分量顺利通过，而低频分量受到阻止的滤波电路称为高通滤波器，其典型电路如图6.14所示。

图6.14中，串联电容抑制低频分量通过，并联电感则对低频分量起旁路作用。高通滤波器的作用与低通滤波器相反，其目的是让高于截止频率的谐波分量通过，把低于截止频率的谐波分量和直流分量滤掉。图6.14高通滤波器6.4.3带通滤波器

使某一频率范围内的谐波分量顺利通过而其他频率的谐波分量受到抑制的滤波电路称为带通滤波器。带通滤波器的工作原理是应用了串联谐振电路和并联谐振电路的特点，LC串联电路在谐振时其电路阻抗值最小，且为阻性；LC并联电路在谐振时，其电路阻抗值最大，且为阻性。其通频带在电路的固有频率f0附近，通过调节参数L、C就可以调节通频带的频率范围。其典型电路如图6.15所示。

电路中串联臂为L1C1串联电路，并联臂为L2C2并联电路，适当选择参数L1、C1、L2、C2使两臂的谐振频率相同，均为

图6.15带通滤波器6.4.4带阻滤波器

使某一频率范围内的谐波分量受到抑制，而其他频率的谐波分量顺利通过的滤波电路称为带阻滤波器，其典型电路如图6.16所示。

带阻滤波器的作用与带通滤波器的作用相反，串联臂为L1C1并联电路，并联臂为L2C2

串联电路，两臂的谐振频率相等,均为

图6.16带阻滤波器

1.实训目的

(1)了解非正弦周期电流电路响应的规律。

(2)了解非正弦周期量的测量方法。

(3)加深对非正弦周期电流电路及谐波概念的理解。

(4)了解滤波器的概念。6.5本章实训非正弦周期电流电路的研究

2.实训设备

(1)信号发生器。

(2)双踪示波器。

(3)交流毫伏表。

(4)10mH电感、10μF电容、1kΩ电阻等元器件。

3.实训原理

1)傅里叶级数

任何一个非正弦周期量，只要满足狄利赫里条件，都可以分解成傅里叶级数。

设周期函数f(t)=f(t+kT),k=0，1，2…,其周期为T，角频率ω=2π／T，则有

式中：

f(t)傅里叶级数还有另一种形式:

其中，

2)非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根据其热效应定义的。

非正弦周期电压u(t)的有效值用公式表示为

又可以表示为

4.实训步骤

(1)按图6.17连接实验电路。

(2)信号发生器为电路提供幅度为3V的锯齿波信号，用示波器分别观察输入电压ui和输出电压uo的波形，并分别测出其振幅值Uim、Uom。

(3)用交流毫伏表测出输入电压ui和输出电压uo的有效值。

(4)将信号源换为3V的矩形波重复步骤(2)、(3)。