《电路分析基础》课件5第9章

9.1动态电路

9.2一阶电路的零输入响应

9.3一阶电路的零状态响应

9.4一阶电路的全响应

9.5一阶电路的阶跃响应

9.6正弦激励下的一阶电路响应

习题９第9章动态电路的时域分析

9.1动态电路

在前面的章节中我们学习的电路大多是由电源、电阻组成的，一般认为电阻的阻值不变，所以我们把诸如此类的电路称为静态电路。当电路中含电容、电感等参数可变的元件时称为动态电路，参数可变的元件称为动态元件。本章所涉及的动态元件主要是电感、电容等储能元件，主要介绍时域下含有储能元件的电路分析。静态电路(电阻电路)可用代数方程来描述。当电路包含电容、电感这些储能元件时，由于电容、电感这些元件的VCR是微分、积分关系，因此可用微分方程来描述。若微分方程是n阶的，则称该动态电路为n阶的。如果动态电路是线性非时变的,则电路方程是线性常系数微分方程。如果电路响应的参数固定不变，则称电路工作在稳定状态(简称稳态)；如果电路处于从一个稳态变化到另一个稳态的中间状态，则称电路工作在过渡状态(简称暂态、瞬态或动态)。动态电路从一个稳态过渡到另一个稳态需要一定的时间，在这个过渡时间内发生的现象称为过渡现象，过渡时间内经历的过程称为暂态过程(也称过渡过程、动态过程或瞬态过程)。

稳态和暂态对应于电路两种不同的工作状态，但两者之间也有联系，如稳态是暂态的最终状态，多数暂态是从稳态开始的。9.1.1换路与动态电路方程

电路结构或参数变化所导致的电路变化称为换路。发生换路现象的时刻称为换路瞬间。因为换路前的电路和换路后的电路结构或参数不尽相同，所以换路前的电路和换路后的电路是不一样的。如果把换路瞬间记为t0，那么t0－为换路前电路的终了瞬间，t0+为换路后电路的初始瞬间。换路现象可以发生在任意时刻，但为了分析方便，通常令换路瞬间发生在0时刻，即换路前电路的终了瞬间为0－，换路后电路的初始瞬间为0+。当电路中含有电感元件或电容元件时，电路方程是微分方程或积分方程，通常用微分方程来表示，称为动态方程。如果电路发生换路现象，那么从原有工作状态到另一个稳定状态就需要经历一个暂态过程。在时间域内对动态电路进行分析首先要对动态电路建立微分方程，再对微分方程求解，通常把这种分析方法称为经典法。

下面通过例题来说明含储能元件电路的微分方程的建立过程。

【例9.1-1】电路如图9.1-1所示，t＝0时开关S闭合，试对换路后的电路建立关于电容电压uC的微分方程。图9.1-1

RC串联电路

【解】t＝0时刻开关闭合，将改变电路结构，所以t＝0时刻是一个换路瞬间，要研究换路后电容两端的电压变化情况，首先要根据换路后的电路和电容元件的VCR建立微分方程。

对回路列写KVL方程有

uR(t)+uC(t)=us(t)由于，，代入上式，经整理可得关于uC的微分方程:

图9.1-1所示的电路仅含一个储能元件——电容，通常称这类电路为RC电路。(9.1-1)

【例9.1-2】电路如图9.1-2所示，试建立关于电感电流iL的微分方程。

图9.1-2

RL并联电路

【解】根据KCL方程有

iR(t)+iL(t)=is(t)

由于，，代入上式整理可得关于电感电流iL的微分方程:

图9.1-2所示的电路仅含一个储能元件——电感，通常称这类电路为RL电路。(9.1-2)

式(9.1-1)和式(9.1-2)均为一阶线性常系数微分方程，故图9.1-1和图9.1-2所示的RC和RL电路均称为一阶电路。一般一阶电路中只含有一个独立储能元件。如果要分析暂态过程中电路响应的具体情况，则还需要对微分方程进行求解。

实际上在时间域内对动态电路进行研究时，如果阶次过高，则方程的求解过程将会变得较为复杂，所以在时间域内的分析阶次不宜过高。本章重点介绍一阶电路的分析。9.1.2初始值的计算

对动态电路进行分析，首先要建立相应的微分方程，在对微分方程求解时需要确定积分常数，通常积分常数是根据电路的初始条件来确定的。

1.换路定则

假设在t=－∞时储能元件未储存能量，在t=0时刻电感元件储存的磁场能，电容元件储存的电场能，若电路在t=0时刻换路，则t=0－对应换路前电路的终了瞬间，t=0+对应换路后电路的初始瞬间。换路时在电容电压和电感电流为有限值的情况下，电感元件和电容元件所储存的能量不能发生突变，即因为

所以在换路现象发生时，电容电压和电感电流具有连续性，即

(9.1-3)式(9.1-3)常称为换路定则。换路定则指出，在换路瞬间电容电压uC和电感电流iL为有限值时，具有连续性，不能突变。可以根据它们来确定换路时电路中电感元件的电流或电容元件两端的电压，即暂态过程的初始值。需要特别指出的是，除了电容电压和电感电流不能突变外，电容电流和电感电压等其他变量是可以发生跃变的。

在某些理想情况下，电容电流和电感电压为无限大，这时电容电压和电感电流将发生“强迫跃变”，电容电压和电感电流的连续性不再适用，所以换路定则也将不再适用于此类理想情况的分析与计算(在发生强迫跃变的情况下，可根据电荷守恒和磁通链守恒原理来确定各独立初始值，相关内容请参阅其他书籍)。

2.初始值的求解步骤

设换路发生在t=0时刻，t=0－对应于换路发生前的电路，t=0+对应于换路后的电路。由换路前的电路状态和换路定则可以求出微分方程变量初始值，步骤如下：

(1)画出t=0－时刻的等效电路，也就是换路前的电路。如果换路前的电路已经处于稳态，则当激励是直流电源时，电容相当于开路，电感相当于短路，求出uC(0－)和iL(0－)。(2)根据换路定则，确定电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。

(3)如果要求电路中其他变量的初始值，则还需要画出t=0+时刻的等效电路，也就是换路后的电路。电容以uC(0+)的电压源代替,电感以iL(0+)的电流源代替，独立电源取t=0+时的值。这样就得到一个不含电容、电感的电路，应用电阻电路分析方法可求得其他变量在t=0+时刻的初始值。

【例9.1-3】如图9.1-3(a)所示的电路，已知Us=10V，L=1H,R1=R2=4Ω,t=0时，开关S断开。开关断开前，电路已处于稳态。求初始值iC(0+)、uL(0+)和

。

【解】

(1)求出开关断开前的电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。当t<0时，电路处于稳态，电感相当于短路，电容相当于开路。画出t=0－时的等效电路，如图9.1-3(b)所示。由图可得:

(2)根据换路定则，确定电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+):

uC(0+)=uC(0－)=10V

iL(0+)=iL(0－)=5A

(3)画出t=0+时的等效电路，求出t=0+时各电流、电源的初始值。

根据替代原理，在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替；电感元件可用电流等于iL(0+)的电流源代替。画出t=0+的初始值等效电路，如图9.1-3(c)所示。由初始值等效电路可求得：

图9.1-3例9.1-3图【例9.1-4】电路如图9.1-4(a)所示，t＝0时开关S由位置1切换到位置2，在t=0－时电路已经处于稳定状态。求初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。图9.1-4例9.1-4图

【解】

(1)画出t=0－时的等效电路，如图9.1-4(b)所示，求iL(0－)。

(2)根据换路定律，有

iL(0+)=iL(0－)=3A

(3)画出t=0+时的等效电路，如图9.1-4(c)所示，求出t=0+时各变量的初始值。

9.2一阶电路的零输入响应

如果储能元件在换路前已经具有初始储能，那么换路后即使没有独立源激励，电路在初始储能的作用下也会产生响应，这种响应称做零输入响应。

若电路是一个储能元件和一个有源二端电阻网络的组合，如图9.2-1(a)、(b)所示，则根据戴维南等效或诺顿等效，电路可以简化成如图9.2-1(c)和(d)所示的电路，即常见的RC电路和RL电路。图9.2-1一阶电路的一般形式9.2.1一阶RC电路的零输入响应

如图9.2-2(a)所示的一阶RC电路，当t＝0时，开关S由位置A切换到位置B。假定t<0时，有足够长的时间使电容两端的电压处于稳定状态，即uC(0－)=U0。图9.2-2一阶RC电路的零输入响应根据换路后(t>0)的电路和KVL定律可知:

uR=uC

将uR=－RiC，代入上式，经整理可得关于电容电压uC的微分方程:

式(9.2-1)是一阶线性齐次微分方程。它的通解可以写成如下形式:

uC(t)=Aept

其中,A为积分常数;p是特征方程的特征根。(9.2-1)特征方程为

RCp+1=0

所以方程的特征根为

根据换路定则可知，电容元件初始电压uC(0+)=uC(0－)

=U0，将初始条件代入通解:

可求得积分常数为

A=U0

所以，满足初始条件的微分方程的解为

如果要求换路后电流iC的响应，则可以借助电容元件的VCR求出，即

(9.2-2)(9.2-3)式(9.2-2)和式(9.2-3)就是RC电路的零输入响应，uC(t)和iC(t)的波形图如图9.2-2(b)所示。由波形图可知,uC和iC都是按相同的指数规律衰减的。这是因为换路时电容已经储存电能，换路后电容储存的能量将通过耗能元件电阻R释放出来，由于电路没有外部激励源对电容充电，所以随着放电过程的进行，电容的初始储能会逐渐被电阻消耗，电容电压将逐渐下降，放电电流也会逐渐减小，响应从初始值开始逐渐衰减至零。从式(9.2-2)、式(9.2-3)可以看出,电容电压uC和电流iC衰减得快慢取决于或RC的大小。为了研究衰减的快慢，令τ＝RC，由于电阻R的单位为欧姆(Ω)，电容的单位为法拉(F)，可以推出τ的单位为(秒)，因此被称为电路的时间常数。引入τ以后，式(9.2-2)和式(9.2-3)可以表示为

(9.2-4)(9.2-5)RC电路的零输入响应实际上是RC电路的放电过程。在电容初始电压为定值的情况下，电容量C越大，电容中存储的电荷越多，放电时间就越长；电阻R越大，放电电流越小，放电时间也越长。τ值愈大，电路零输入响应衰减愈慢，暂态过程进展愈慢，τ值反映了电容电压uC和电流iC的衰减速度。由式(9.2-4)和式(9.2-5)可以计算出电容电压uC和电流iC在不同时间下的响应，如表9.2-1所示。由表9.2-1可以看出,尽管在理论上需要经过无限长时间，电容电压uC和电流iC才能衰减为零，但实际上在经过(3～5)τ的时间后，响应已经衰减为初始值的5％以下，从工程角度可以忽略不计，即可以认为电容电压uC和电流iC已衰减为零。因此认为在经历(3～5)τ时间后放电过程已经结束，电路达到新的稳定状态。由于RC电路在t=0－时电路已经处于稳定状态(稳态)，换路后电路在经历(3～5)τ的时间后，电路将达到新的稳定状态，因此RC电路的零输入响应是从一个稳态到达另一个稳态的过程，也是一个暂态过程。表9.2-1时间常数τ的物理意义9.2.2一阶RL电路的零输入响应

如图9.2-3(a)所示的一阶RL电路，t<0时，开关S处于闭合状态，t=0时开关S断开，若在换路前电路已经达到稳态状态，则换路前的终了瞬间流过电感的电流为。图9.2-3一阶RL电路的零输入响应根据换路后(t>0)的电路和KVL定律可知:

uR+uL=0

将uR=RiL，代入上式，经整理可得关于电感电流iL的微分方程:

(9.2-6)这也是一阶齐次微分方程，可求得特征根为，根据换路定则可知其初始条件为，将其代入通解iL(t)=Aept，可求出电感电流iL的响应为

(9.2-7)电感两端电压uL和电阻两端电压uR的响应可以由元件的VCR推出:

其中,称为RL电路的时间常数，它同样具有时间量纲(

)，是表征电路暂态过程进展速度的参数，由电路结构和元件参数决定。图9.2-3(b)所示为RL电路的电感电流iL、电感电压uL和电阻电压uR的零输入响应波形图。

与一阶RC电路的零输入响应一样，一阶RL电路的零输入响应也是由电路的初始储能引起的，随着时间t的增长，从初始值开始按指数规律衰减至零。在一阶电路的零输入响应中,电容或电感在初始状态时具有初始储能，电路中的电阻元件会逐步消耗储能元件的能量，因此响应会按指数规律衰减至零。

通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析，由式(9.2-4)与式(9.2-7)可知，其电容电压或电感电流均是按指数规律下降的，通常一阶电路的电容电压或电感电流的零输入响应表达式可以表示为

式中，y(t)表示电容电压或电感电流的零输入响应，y(0+)是电容电压或电感电流的零输入响应的初始值，τ为时间常数。(9.2-8)

【例9.2-1】电路如图9.2-4(a)所示，当t<0时，电路已经到达稳定状态，当t＝0时，开关S由位置A切换到位置B。试求t>0时的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。

图9.2-4例9.2-1图

【解】由题意可知，该题是求电路的零输入响应。当t<0时，电路已经处于稳定状态，电感元件可以视为短路，开关切换瞬间，电感电流不能跃变，故根据换路定则有

iL(0+)=iL(0－)=0.1A

画出t＝0+时刻的等效电路，如图9.2-4(b)所示，将连接到电感的单口电阻网络等效为一个电阻R(200Ω)，故电路的时间常数τ为根据式(9.2-7)，电感电流和电感电压的响应为

9.3一阶电路的零状态响应

若储能元件在换路前初始储能为零，则电路响应只由独立电源的激励所引起，这种响应称做零状态响应。本节研究一阶电路在直流电源激励下的零状态响应。9.3.1一阶RC电路的零状态响应

如图9.3-1(a)所示的一阶RC电路，t<0时开关一直闭合于A端，电路已处于稳态。t=0时开关S由位置A切换到位置B，换路后电路响应为零状态响应，换路前终了瞬间的电容电压为uC(0－)=0。

根据换路后的电路和KVL定律可知:

uR+uC=Us图9.3-1一阶RC电路的零状态响应将uR=RiC，代入上式，整理可得关于电容电压uC的微分方程:

式(9.3-1)是一阶非齐次微分方程。它的通解可以记为

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

(9.3-2)

其中,uCh(t)为相应齐次微分方程的通解，uCp(t)是非齐次微分方程的一个特解。(9.3-1)首先来求齐次方程的通解，式(9.3-1)相应的齐次方程为

其特征根为

故齐次方程的通解为

其中,A为积分常数。(9.3-3)

接下来求非齐次方程的特解。微分方程的特解具有与激励相同的函数形式，电路中常见的激励函数及相应的特解yp(t)的函数形式列于表9.3-1中。当激励为直流电压源时，其特解uCp为常数。令uCp＝K代入式(9.3-1)，得

故特解为

uCp＝K＝Us

所以微分方程(9.3-1)的通解为

积分常数A可由电容电压的初始值确定。由换路定则可知uC(0+)=uC(0－)=0，代入上式得

uC(0+)=A+Us=0

所以积分常数

A=－Us令τ=RC，则电容电压uC的零状态响应为

关于其他零状态响应(如电容电流、电阻电压等)，可利用基尔霍夫定律与元件的电压-电流关系得到，如电流iC(t)的零状态响应为

电容电压uC(t)和电流iC(t)的波形图如图9.3-1(b)所示。表9.3-1不同激励时方程的特解注：表中K0、K1、…、Kn均为特定常数。直流激励下，一阶RC电路的零状态响应其物理过程实质是换路后电路中电容元件的储能从无到有逐渐建立的过程。t>0时电压源Us通过RC串联电路对电容充电，随着时间t的增加，电容电压从零开始按指数规律上升至稳态值uC(∞)，因此在一阶零状态RC电路中，电容电压的一般表示式可以写成

(9.3-4)由图9.3-1(b)可见，电容电压以指数规律从零上升到uC(∞)=Us，电流从其初始值以指数规律衰减到i(∞)=0。在工程上认为经过(3～5)τ后充电过程已经结束，电路到达新的稳态。

【例9.3-1】电路如图9.3-2(a)所示，t=0时开关断开，已知uC(0－)=0。求t>0时电容电压uC(t)、电容电流iC(t)以及电阻电流i1(t)。

图9.3-2例9.3-1图

【解】由换路定则可知电容电压不能跃变，即

uC(0+)=uC(0－)=0

将换路后的电路用戴维南定理等效为图9.3-2(b)所示的电路，其中

R0=300Ω

Uoc=120V

则电路的时间常数为

τ=R0C=300Ω×10－6F=3×10－4s当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路，即

UC(∞)=Uoc=120V

由式(9.3-4)可得:

由基尔霍夫定律与元件的电压-电流关系可得:

9.3.2一阶RL电路的零状态响应

如图9.3-3(a)所示的一阶RL电路，Us为直流电压源，t<0时开关S断开，电感中没有电流，即iL(0－)=0，t＝0时开关S闭合，换路后电路的响应为零状态响应。

根据换路后的电路和KVL定律可知:

uR+uL=Us

图9.3-3

RL电路的零状态响应将uR=RiL,代入上式，经整理可得关于电感电流iL的微分方程:

这是一个一阶线性非齐次微分方程，其特征根为

令，相应齐次方程的通解可以记为，A为积分常数。由于激励为恒压源，因此特解iLp为常数，令iLp=K，代入式(9.3-5)，解得。(9.3-5)非齐次微分方程的通解由相应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，即

根据换路定则，方程的初始条件为iL(0+)=iL(0－)=0，代入上式求得积分常数。所以方程的完全解为

(9.3-6)解得电感电流iL后，利用基尔霍夫定律与元件的电压-电流关系，可进一步求得电感电压与电阻电压:

iL(t)和uL(t)的波形图如图9.3-3(b)所示。经过(3～5)τ的时间后认为电路已经到达新的稳态。(9.3-7)(9.3-8)直流激励下一阶RL电路的零状态响应其本质仍是电路中储能元件储能从无到有的建立过程，相应电感电流由零开始按指数规律上升至稳态值。结合式(9.3-6)可知，电感电流的一般表示式为

求解一阶RL电路的零状态响应，通常的方法是先按式(9.3-9)求出电感电流iL，然后用基尔霍夫定律或元件的VCR计算其他电流或电压的零状态响应。(9.3-9)通过对RC和RL一阶电路零状态响应分析，由式(9.3-4)和式(9.3-9)可知，其电容电压或电感电流均是按指数规律上升的。通常一阶电路中电容电压或电感电流的零状态响应的表达式可以记为

其中,y(t)表示电容电压或电感电流的零状态响应;y(∞)是电容电压或电感电流响应的稳态值;是响应中暂时存在的、按指数规律趋于零的分量，称为暂态响应;时间常数τ反映了响应从初始值到新的稳态值的变化速度。(9.3-10)

9.4一阶电路的全响应

一阶电路在储能元件初始储能和外加激励共同作用下产生的响应，称为全响应。本节将介绍一阶电路在直流电源激励下的全响应，并给出一阶电路全响应的工程分析方法——三要素法。9.4.1全响应及其分解

如图9.4-1(a)所示的一阶RC电路，t=0时刻开关S闭合，换路前电容已经储能且电容电压uC(0－)=U0。

根据换路后的电路和KVL定律可知:

(9.4-1)图9.4-1一阶电路的全响应

这个方程和一阶RC电路零状态响应的微分方程具有相同的形式，所以它们的解也具有相同的形式，和零状态响应不同的只是电容电压uC的初始条件不同。由9.3节的分析可以知道方程的解为

由换路定则可知uC(0+)=uC(0－)=U0,代入上式可得

U0=Us+A

A=U0－Us因此电容电压在t>0时的全响应为

图9.4-1(b)分别画出了Us、U0均大于零时，在Us>U0、Us=U0、Us<U0三种情况下uC的波形。(9.4-2)由式(9.4-2)可以看出,uC的解由两项组成，其中第一项Us是随时间t增长稳定存在的分量，是t趋于无穷大时的输出状态，我们把它称为稳态响应，在直流激励下，稳态响应为常数，是换路后电路的稳态解；第二项是暂时存在的、随时间t的增长最终将衰减为零的分量，我们把它称为暂态响应，它反映了电路暂态过程的演变情况。因此全响应可表示为

全响应＝稳态响应＋暂态响应式(9.4-2)可处理成如下形式:

式(9.4-3)的第一项和第二项分别是我们前面所讨论的电路零输入响应和零状态响应。这是因为除独立电源外，如果视储能元件的初始储能为电路的另一种激励，那么根据线性电路的叠加性质，全响应是两种激励各自作用时响应的叠加。因此全响应又可表示为

(9.4-3)

全响应＝零输入响应+零状态响应

图9.4-2(a)所示的是U0>Us时全响应分解为稳态响应、暂态响应的波形，图9.4-2(b)所示的是全响应分解为零输入响应、零状态响应的波形。

采用经典法求一阶RL电路的全响应，其微分方程和零状态响应的方程也是相同的，与一阶RC电路一样，不同之处在于求积分常数时所对应的初始条件不同。一阶RL电路的全响应同样可以分解成“稳态响应+暂态响应”或“零输入响应+零状态响应”，这里不再阐述。时间常数τ都反映响应从一个稳态到另一个稳态的变化速度。图9.4-2全响应的分解9.4.2三要素法

通过前面的分析可知，采用经典法来确定给定激励下的响应包括三个步骤：

(1)建立描述动态电路的数学方程；

(2)解微分方程，并根据初始条件确定积分常数；

(3)利用基尔霍夫定律、元件的VCR求出电路中的其他响应。

对于直流激励的一阶电路而言，实际上还有一种工程分析的简便方法，即不对电路列写方程，仅确定三个量就可以直接写出响应的表达式，这种方法称为三要素法。如果用y(t)表示响应，则由前面的分析可知,全响应＝零输入响应+零状态响应,由式(9.2-8)和式(9.3-10)可得：

在直流激励下，对于任何一阶正τ电路,如果能求出初始值y(0+)、稳态值y(∞)和时间常数τ这三个要素，那么就可以通过式(9.4-4)得到电路的响应。需要指出的是，虽然在前面的分析中我们都是根据电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应变量推导得到的，但三要素法也可用来求电路中电阻电压或电阻电流的响应。

下面说明三个要素的求解方法。(9.4-4)

1.初始值y(0+)

(1)在直流激励下，若换路前电路已经处于稳态，则电路中的电容相当于开路，电感相当于短路，可求出uC(0－)和iL(0－)。

(2)由换路定则可知，uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)。

(3)如果是求其他变量的初始值，则可取换路后的电路，将电路中的电感用数值为iL(0+)的理想电流源代替，电容用数值为uC(0+)的理想电压源代替，这样就得到一个直流纯电阻电路，对其进行计算可得其初始值y(0+)。

2.稳态值y(∞)

由于换路后的电路在t→∞时已进入稳态，在直流激励下电路各电流、电压不再变化，因此电容相当于开路，电感相当于短路，对电路进行计算可得响应的稳态值y(∞)。

3.时间常数τ

对于一阶RC电路，时间常数τ=R0C；对于一阶RL电路，其时间常数τ=L/R0。这里R0是指与储能元件相串联的等效电阻，即换路后从储能元件向电路看过去用戴维南或诺顿等效的电源内阻。

【例9.4-1】电路如图9.4-3所示，t=0－时电路已经处于稳定状态，t=0时开关闭合。试求开关闭合后电路中电容两端电压uC(t)和支路电流i(t)的响应，并绘出其波形图。

图9.4-3例9.4-1图1

【解】电容电压的初始值uC(0+)可由换路定则求出。换路前电路如图9.4-4(a)所示，易知

uC(0－)=20×1－10=10V

uC(0+)=uC(0－)=10V

要求支路电流i(t)的初始值为i(0+)，可将电容用数值为uC(0+)的理想电压源来代替，得如图9.4-4(b)所示的纯电阻电路，易知

图9.4-4例9.4-1图2

(2)换路后的电路在t→∞时，电容相当于开路，等效电路如图9.4-5(a)所示，易知

图9.4-5例9.4-1图3

(3)对于一阶RC电路，时间常数τ=R0C。从储能元件向电路看去是一个线性有源电阻二端网络，R0是其相应无源二端网络的等效电阻，如图9.4-5(b)所示。

由uC(t)和i(t)的表示式可以画出响应uC(t)和i(t)的波形图，如图9.4-6所示。图9.4-6例9.4-1图4

9.5一阶电路的阶跃响应

在动态电路的分析中，我们常引入阶跃函数来描述电路的激励和响应。引入阶跃函数可以更好地建立电路的数学模型，有利于电路的分析和设计。9.5.1阶跃函数

单位阶跃函数通常以符号ε(t)表示，波形图如图9.5-1所示。

在跳变点t=0处，函数值未定义(也可以规定该处函数值为1/2)，在t=0瞬间完成从0到1的跃变。(9.5-1)

图9.5-1单位阶跃函数

如果在t=0时跃变量是K个单位，则可以用Kε(t)来表示，Kε(t)称为阶跃函数，波形图如图9.5-2(a)所示。

(9.5-2)

图9.5-2阶跃函数如果跃变时间推迟到t=t0时刻，则可以用延迟阶跃函数Kε(t－t0)来表示，波形如图9.5-2(b)所示。

阶跃函数表现出鲜明的单边特性。利用这一性质，单位阶跃函数可以用来描述开关动作，作为开关的数学模型，因此单位阶跃函数又称为开关函数。例如,图9.5-3所示的波形可以表示为函数f(t)=Umsin(ωt)·ε(t)，相当于一个正弦电压信号Umsin(ωt)在t=0时刻被接入电路。(9.5-3)阶跃函数的另一个重要应用是描述一些矩形脉冲信号。例如,图9.5-4所示的方波电压信号可以表示为G(t)=U0(t－

t1)－U0(t－t2)。对于线性电路来说，这种表示方法的好处在于可以借助叠加定理来分析电路。图9.5-3阶跃函数描述开关动作图9.5-4矩形脉冲信号的阶跃函数表示此外，还可用ε(t)设定函数的作用区间。设给定信号f(t)，波形如图9.5-5(a)所示，如果f(t)在t=0时开始作用，如图9.5-5(b)所示，则信号的数学模型可以记为f(t)ε(t)；若f(t)在时域(t1,t2)内作用，如图9.5-5(c)所示，则数学模型可以记为f(t)［ε(t－t1)－ε(t－t2)］。图9.5-5用阶跃函数设定信号作用区间9.5.2阶跃响应

电路在单位阶跃函数ε(t)激励下产生的零状态响应称为阶跃响应，用g(t)表示。单位阶跃函数ε(t)作用于电路相当于在t=0时刻接入单位直流电源，因此对于一阶电路，电路的阶跃响应可用三要素法求解。如果电路结构和元件参数均不随时间变化，则称该电路为线性时不变电路。对于线性电路，由叠加原理可知当激励为u1(t)、u2(t)时，电路的响应为y1(t)、y2(t)；当激励为C1u1(t)+C2u2(t)时，响应为C1y1(t)+C2y2(t)。由于时不变电路的元件参数不随时间变化，因此在同样的起始状态下，电路的响应与激励施加的时间无关，即当激励为u(t)时响应为y(t)，当激励为u(t－t0)时，响应为y(t－t0)。

【例9.5-1】如图9.5-6(a)所示的电路，激励us(t)的波形如图9.5-6(b)所示，试求电容电压的零状态响应uC(t)。

图9.5-6例9.5-1图

【解】由式(9.3-4)易知，在单位阶跃信号ε(t)的作用下，电容电压的阶跃响应为

图9.5-6(b)所示的分段信号可以分解成多个延迟阶跃信号的叠加，即

us(t)=ε(t)+2ε(t－t1)－4ε(t－t2)+3ε(t－t3)－2ε(t－t4)根据线性时不变性质，电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为

uC(t)=g(t)+2g(t－t1)－4g(t－t2)+3g(t－t3)－2g(t－t4)

其中:

9.6正弦激励下的一阶电路响应

正弦电源是实际电路中的一种常用电源，因此分析正弦电源激励下的动态电路响应具有实际意义。本节将以一阶电路为例，讨论它在正弦电源激励下的响应。下面结合图9.6-1所示的一阶RC电路讨论正弦电源激励下的电路的分析方法。当t=0时,开关闭合，若电容电压的初始值uC(0+)=U0，则电压源为正弦交流电压us(t)=Usmcos(ωt+ψs)。如果要讨论t>0时的电容电压uC(t)的响应，则首先要使用KVL定律和元件的VCR建立换路后电路的动态方程:

因为全响应uC(t)等于零状态响应uC1(t)与零输入响应uC2(t)的代数和，所以求全响应的问题可以分解为求零状态响应与求零输入响应。(9.6-1)图9.6-1

RC电路的正弦激励响应9.6.1正弦激励电路的零状态响应

由换路定则和零状态响应的定义可知,uC(0+)=uC(0－)=0。从9.3节关于零状态响应的讨论中可知，零状态响应可以表示为

uC1(t)=u1S(t)+u1T(t)

其中，u1S(t)为零状态响应的稳态分量;u1T(t)为零状态响应的暂态分量。u1T(t)可以表示为

式中,A为积分常数；τ为时间常数，对于RC电路，τ=RC，对于RL电路，。(9.6-2)

正弦激励电路的稳态响应可用相量法来求解。按照相量法，激励用相量表示为(也可用有效值向量表示为，元件的参数用复阻抗表示。根据欧姆定律，电容C上的电压实际上是阻抗R与阻抗对激励分压得到的,即令，代入上式得

式中，为零状态的稳态响应的相量形式。零状态的稳态响应的三角形式可以表示为

u1S(t)=UCmcos(ωt+ψC)(9.6-3)

其中，,ψC=ψs－arctan(ωCR)。令θ=arctan(ωCR)，则ψC=ψs－θ。

由式(9.6-2)、式(9.6-3)可知,零状态响应可以表示为

将初始条件uC(0+)=0代入上式，可以解得

A=－UCmcosψC

故零状态响应为

其中，。

(9.6-4)

9.6.2正弦激励电路的零输入响应

图9.6-1所示电路的零输入响应是在没有外加激励，仅由电容元件的初始储能所引起的响应。电容电压的初始值为uC(0+)=U0，按式(9.2-8)或三要素法可知其零输入响应为

(9.6-5)9.6.3正弦激励电路的全响应

由式(9.6-4)、式(9.6-5)可知,图9.6-1所示电路的全响应为

经整理，上式可写为

其中，ψC=ψs－θ;

;τ=RC,为电路的时间常数。(9.6-6)考察式(9.6-6)我们可以看出，第一项UCmcos(ωt+ψC)是零状态情况下的稳态响应，它也是全响应的稳态响应，可以用相量法来求解；第二项为暂态响应，又因为零输入响应和零状态情况下的暂态响应都是暂时存在的按指数规律趋向于零的项，所以它们的代数和是全响应的暂态响应，可以令其为，A为积分常数。因此正弦激励一阶电路的全响应计算可按下列步骤进行：

(1)利用相量法求解电路的稳态响应；

(2)代入初始条件求电路的全响应。

【例9.6-1】电路如图9.6-2所示，开关在t=0时刻由位置A切换到位置B，已知u1s=1V，u2s=2costV，R=1Ω，L=1H，设t<0时电路有足够的时间使电路处于稳态，求t>0时电感电流i(t)的响应。

图9.6-2例9.6-1图

【解】由相量法可知，电路换路后到达稳态时电感电流为

三角形式的电感电流的稳态响应为

令电感电流的暂态响应为

时间常数，则电感电流的响应可以表示为

换路前的电路到达稳态时，电感对直流相当于短路，即

代入i(t)的表达式，求得A=0，则电感电流的响应为

电路只有稳态响应，没有暂态响应，换路后电路能立即进入稳态。

习题9

9-1如图9-1所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，在换路前电路已处于稳态，试对换路后的电路写出关于电感电流iL的微分方程，并求换路后iL的初始值。

9-2如图9-2所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，换路前电路已处于稳态，试求uC、i、iC的初始值。图9-1习题9-1图图9-2习题9-2图

9-3如图9-3所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，换路前电路已处于稳态，试求换路后uC、iL的初始值。图9-3习题9-3图

9-4如图9-4所示的电路，t=0时刻开关S闭合，换路前电路已处于稳态，试求换路后uC的响应。图9-4习题9-4图

9-5如图9-5所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，换路前电路已处于稳态，试求换路后uC、i的响应。图9-5习题9-5图

9-6如图9-6所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，换路前电路已处于稳态，试求换路后iL、uL的响应。图9-6习题9-6图

9-7如图9-7所示的电路，t=0时刻开关S由位置1切换到位置2，换路前电路已处于稳态，试求换路后iL、uL的响应。图9-7习题9-7图

9-8如图9-8所示的电路，t=0时刻开关S闭合，且uC(0－)=0V，试求换路后uC的响应。图9-8习题9-8图

9-9如图9-9所示的电路，t=0时刻开关S断开，且u