《电工电子技术》课件第2章

第2章直流暂态电路2.1暂态过程的基础知识2.2一阶RC暂态电路的响应2.3一阶RL暂态电路的响应2.4一阶线性电路暂态分析的三要素法2.5

RC电路的应用小结习题2.1暂态过程的基础知识

2.1.1换路定律

任何物理可实现电路，在电路换路的瞬间，电容的电场储能不能突变，因此，电容两端电压也不能突变，用数学表达式表示为

uC(0+)=uC(0－)(2-1)

或

q(0+)=q(0－)(2-2)同样地，在电路换路的瞬间，电感的磁场储能不能突变，因此，流过电感的电流也不能突变，用数学表达式表示为

iL(0+)=iL(0－)

(2-3)

或

Ψ(0+)=Ψ(0－)(2-4)

式(2-1)和式(2-3)是电容电压和电感电流连续性的体现。2.1.2初始值的计算

1.确定换路瞬间电路的储能状态

首先确定电路在换路时的储能状态，它完全由电容电压和电感电流决定，根据换路定律，需要确定：

uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)

换句话说，即要确定换路前瞬间电容两端的电压和流过电感的电流。下面分两种情况讨论。

1)换路前电路已经达到稳态

在直流激励情况下，电路达到稳态后，电路中所有电压、电流都为直流量，即不随时间变化，因此，直流稳态时电容元件等效为开路，而电感元件等效为短路。

在换路前电路中将电容替换为开路，将电感替换为短路，得到换路前电路的直流等效电路。这是一个直流电阻电路。在此电路中，电容位置的开路电压即uC(0－)，电感位置的短路电流即iL(0－)。

2)换路前电路尚未达到稳态

如果电路在过渡过程中出现新的换路，那么需要从该过渡过程的暂态响应来确定储能状态。首先将过渡过程中电容电压和电感电流响应的表达式写出(即本章后面所分析得到的暂态响应表达式)，然后根据发生新的换路时刻这一暂态过程已经持续的时间来计算发生新的换路时刻的电容电压和电感电流响应值，即uC(0－)和iL(0－)。

2．作换路后瞬间等效电路

换路后，电路中存在两种能源——换路后的激励电源和电容电感中的储能，它们共同维持电路的响应。换路后的瞬间电容电压和电感电流的数值是确知的，即上面得到的uC(0+)和iL(0+)，将电容元件等效为具有数值uC(0+)的电压源，将电感元件等效为具有数值iL(0+)的电流源，如图2-1所示，即得到换路后瞬间的等效电路，这是一个纯电阻电路。图2-1换路后瞬间的等效电路

3．确定换路后瞬间的电路响应——初始值

在换路后瞬间的直流等效电路中，利用第1章所介绍的方法，可以确定各响应电压和电流的初始值u(0+)和i(0+)。

电路瞬态过程初始值的计算步骤如下：

(1)根据换路前的电路求出换路前瞬间(即t=0－时)的电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。

(2)根据换路定律求出换路后瞬间(即t=0+时)的电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。

(3)画出t＝0＋时的等效电路，把uC(0+)等效为电压源，把iL(0+)等效为电流源。

(4)求电路其他电压和电流在t＝0＋时的数值。

【例2-1】在图2-2(a)所示的电路中，已知R1=4Ω，R2=6Ω，Us=10V，开关S闭合前电路已达到稳定状态，求换路后瞬间各元件上的电压和电流。

解

(1)换路前开关S尚未闭合，电阻R2没有接入，电路如图(b)所示。由换路前的电路可得

uC(0－)＝Us＝10V

(2)根据换路定律可得

uC(0+)＝uC(0－)＝10V

(3)开关S闭合后，R2电阻接入电路，画出t＝0＋时的等效电路，如图(c)所示。

(4)在图(c)所示的电路上求出各个电压、电流值，即图2-2例2-1图

2.2一阶RC暂态电路的响应

2.2.1

RC电路的零输入响应

设图2-3(a)中的开关S置于1的位置，电路处于稳定状态，电容C已充电到U0。t=0时将开关S倒向2的位置，则已充电的电容C与电源脱离并开始向电阻R放电，如图2-3(b)所示。由于此时已没有外界能量输入，只靠电容中的储能在电路中产生响应，所以这种响应为零输入响应。图2-3

RC电路的零输入响应在所选各量的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程为

－uR+uC=0

元件的电压-电流关系为

(2-5)代入KVL方程得

(2-6)

这就是决定RC电路零输入响应的方程，uC将由此方程解得。uC以及i都是时间t的函数，应记为uC(t)、i(t)，简记为uC、i。式(2-6)是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为

uC=Aept将其代入式(2-6)，得特征方程为

RCp+1=0

解得特征根为

所以

(2-7)积分常数A由电路的初始条件确定。由换路定律得

uC(0+)=uC(0－)=U0(2-8)

将其代入式(2-7)得

A=U0

最后得到电容的零输入响应电压

(2-9)

可见，换路后图2-3(b)中的电容电压以U0为初始值按指数规律衰减。将式(2-9)代入式(2-5)，则有

(2-10)

式(2-10)说明，电流i在t=0瞬间由零跃变到，随着放电过程的进行，电流也按指数规律衰减，最后趋于零。

uC、uR及i随时间变化的曲线如图2-4所示。图2-4

uC、uR及i随时间变化的曲线在式(2-9)和式(2-10)中，令

τ=RC

(2-11)

则有

(2-12)

(2-13)采用SI单位时，有

与时间单位相同，与电路的初始情况无关，所以将τ=RC称为RC电路的时间常数。

由式(2-12)还可以看出，从理论上讲，t=∞时uC才衰减为零，实际上，经历5τ的时间，uC已衰减为U0e－5=0.007U0，即为初始值的0.7％。可以认为经过5τ后，过渡过程即已结束。所以，电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢，时间常数越大，衰减越慢，放电持续时间越长。实际电路中，适当选择R或C就可改变电路的时间常数，以控制放电的快慢。图2-5给出了RC电路在三种不同τ下电压uC随时间变化的曲线。

在放电过程中电容不断放出能量，电阻则不断消耗能量，最后原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。图2-5不同τ值下的uC曲线

【例2-2】一组C=40μF的电容器从高压电路断开，断开时电容器电压U0=

=5.77kV，断开后，电容器经它本身的漏电阻放电。如果电容器的漏电阻R=100MΩ，那么断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为1kV?

解电路的时间常数为

τ=RC=100×106×40×10－6=4000s

按式(2-12)有

把uC=1kV代入得由上式解得

t=4000×ln5.77=7011s

由于C及R都较大，放电持续时间很长(t为7011s，即

1h57min)，所以电容器从电路断开后，经过约两个小时，仍有1kV的高电压。在检修具有大电容的设备时，停电后必须先将其短接放电才能工作。

【例2-3】在图2-6中，开关长期接在位置1上，如在t=0时把它接到位置2，试求电容电压uC及放电电流i的表达式。图2-6例2-3图

解换路前电容相当于开路，其电压等于电流源在2kΩ电阻上产生的电位降。根据换路定律得

uC(0+)=uC(0－)=3×10－3×2×103V=6V=U0

已知换路后电路的时间常数为

τ=RC=3×103×1×10－6=0.003s

由式(2-12)、式(2-13)得

【例2-4】电路如图2-7所示，开关S闭合前电路已处于稳态。在t=0时将开关闭合，试求t>0时电压uC和电流iC、i1及i2。图2-7例2-4图

解

在t>0时，开关左边电路被短路，对右边电路不起作

用，这时电容经电阻2Ω和3Ω两支路放电，等效电阻

故时间常数为

τ=1.2×5×10－6s=6×10－6s

由式(2-12)得由式(2-13)，又因uC与iC的参考方向一致，得2.2.2

RC电路在直流激励下的零状态响应

所谓零状态，是指电路中所有储能元件的uC(0+)、iL(0+)都为零的情况。零状态电路由外施激励引起的响应称为零状态响应。

直流电压源通过电阻对电容充电的电路如图2-8所示。设开关S闭合前电容C未充电，故为零状态。t=0时闭合开关，求换路后电路中的响应。图2-8

RC电路在直流激励下的零状态响应列换路后的电路方程，由KVL得

把代入上式，得

(2-14)

它是一阶常系数线性非齐次常微分方程。式(2-14)的解由两部分组成:

其中，uC′为方程的一个特解，与外施激励有关，所以称为强制分量。当激励为直流量时，强制分量称为稳态分量。在本例中，有uC″为与式(2-14)对应的齐次方程

的通解，形式与零输入响应相同。uC″的变动规律与外施激励无关，所以称为自由分量。自由分量最终趋于零，因此又称为瞬态分量，其解为

式中，τ=RC，为时间常数；A为待定积分常数。这样，电容电压uC的解为代入初始条件uC(0+)=uC(0－)=0，得

0=Us+A

A=－Us

最后解得

(2-15)并得

(2-16)

(2-17)

uC和i的波形如图2-9所示。uR的波形与i相似，故图中未画出。电压uC的两个分量uC′和uC″也示于图中。充电过程中，电容电压由初始值随时间逐渐增大，其增大率按指数规律衰减，最后电容电压趋于直流电压源的电压Us。充电电流方向与电容电压方向一致，充电开始时其值最大，为Us/R，以后逐渐按指数规律衰减到零。

t=τ时，电容电压增长为

t=5τ时，uC=0.993Us，可以认为充电已经结束。时间常数越大，自由分量衰减越慢，充电持续时间越长。图2-9

uC和i随时间变化的曲线由于电路中有电阻，因此充电时，电源供给的能量一部分转换成电场能量存储在电容中，另一部分则被电阻消耗掉。在充电过程中，电阻吸收(消耗)的电能为

可见，不论电阻、电容量值如何，电源供给的能量只有一半转换成电场能量储存在电容中，充电效率为50％。

【例2-5】在图2-10(a)所示的电路中，t=0时将开关S闭合，试求t≥0时的电压uC。

解对换路后的电路求电容C两端的戴维宁等效电路，如图2-10(b)所示。等效电源的电压和内电阻分别为图2-10例2-5图电路的时间常数为2.2.3

RC电路的全响应

电路中的非零初始状态及外施激励在电路中共同产生的响应称为全响应。

以图2-11所示电路为例，设uC(0－)=U0，电压源电压为Us，换路后uC的方程仍为

其解仍为图2-11

RC电路的全响应代入初始条件uC(0+)=uC(0－)=0，得

故得电容电压的全响应为

(2-18)并得电阻电压、电流的全响应分别为

(2-19)

(2-20)

图2-12中作出了U0<Us时的各全响应波形。其中，uC以U0为初始值逐渐上升，最终达到Us。图2-12

uC、uR、i随时间变化的曲线下面以uC为例，介绍对任何线性一阶电路的全响应都适用的两种分解方法。

(1)式(2-18)中，uC仍然由两个分量所组成，即

(2-21)

即RC串联电路的全响应为：全响应=稳态分量+瞬态分量。图2-13(a)画出了uC及其稳态(uC′)、瞬态(uC″)两个分量的曲线。

(2)式(2-18)也可以写成

(2-22)

即

RC串联电路的全响应也可表示为：全响应=零输入响应+零状态响应。这体现了线性电路的叠加性。图2-13(b)画出全响应及其零输入响应、零状态响应两个分量。图2-13全响应的两种分解

【例2-6】在图2-11中，Us=10V，t=0时开关S闭合，uC(0－)=－4V，R=10kΩ，C=0.1μF。求换路后的uC并画出其波形。

解电路的微分方程及时间常数分别为

得由换路定律可求出积分常数A，即

所以

最后得出

电压uC、uC′及uC″绘于图2-14(a)中。图2-14例2-6图若分别求零输入响应及零状态响应，则也可得出全响应。由式(2-9)可得电容电压零输入响应为

由式(2-15)可得电容电压的零状态响应为

全响应为

电容电压的零输入响应及零状态响应绘于图2-14(b)中。

2.3一阶RL暂态电路的响应

2.3.1

RL电路的零输入响应

另一种典型的一阶电路是RL电路。设在t<0时，电路如图2-15(a)所示，开关S与1端相接。这时电感L由电流源供电。设在t=0时，S迅速合至2端，这样电感L便与电阻相连接。这时电感虽然与电流源脱离，但仍具有初始电流I0，这个电流将在RL回路中放电而逐渐下降，最后为零。在这一过程中，存储在电感中的磁场能逐渐转换成电阻上的热能消耗掉。其零输入响应可由数学分析求得。图2-15

RL电路的零输入响应由于换路前i(0－)=I0

，故得换路后初始电流i(0+)=i(0－)=I0。在t≥0时，电路如图2-15(b)所示，可得这也是一个一阶齐次线性常微分方程。其特征方程为

LS+R=0

其特征根为

故零输入响应的通解i为

(2-23)代入初始条件i(0+)=I0

，求得A=I0。因此

(2-24)

电感电压和电阻电压分别为

(2-25)

(2-26)

电流i和电压uL、uR的变化曲线如图2-16所示。图2-16

RL电路的零输入响应可见，电路中的电压和电流也都是按同一指数规律衰减的。同样地，如RC串联电路一样，也具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数，并用τ表示。当R以欧姆(Ω)为单位，L以享利(H)为单位，τ以秒(s)为单位，这时式(2-24)、式(2-25)、式(2-26)分别表示成

显然，RL电路的零输入响应衰减得快慢同样可用时间常数τ反映。τ与电路中的L成正比，而与R成反比。

【例2-7】在图2-17所示的电路中，一个继电器线圈的电阻R=250Ω，电感L=2.5H，电源电压U=24V,R1=230Ω，已知此继电器释放电流为0.004A，试问开关S闭合后，经过多长时间继电器才能释放?图2-17例2-7图

解

S闭合后，继电器被短路，继电器线圈电路的时间常数为

继电器线圈的电流初始值为所以S闭合后继电器线圈电流为

将i=0.004A代入，解得

即S闭合后经过0.025s，继电器释放。2.3.2

RL电路在直流激励下的零状态响应

在图2-18中，t=0时开关S闭合，开关闭合前电感L无电流，为零状态。下面分析换路后电路中电压及电流的变化规律。

列换路后的电路方程，由KVL及uR=Ri，uL=，得

(2-27)

其解仍由两部分组成，即

i=i′+i″图2-18

RL电路在直流激励下的零状态响应其中，稳态分量:

其瞬态分量形式为

式中，，为时间常数。所以代入初始条件i(0+)=i(0－)=0，得，故

(2-28)

并得

(2-29)

(2-30)各响应的波形如图2-19(a)、(b)所示。电感电流由初始值随时间逐渐增长，最后趋近于稳态值Us/R。电感的电压方向与电流方向一致，开始接通时其值最大，为Us，以后逐渐按指数规律衰减到零。达到新的稳态时，电感的磁场储能为

图2-19

i、uR、uL随时间变化的曲线

【例2-8】在图2-20(a)所示的电路中，已知Us=150V，R1=R2=R3=100Ω，L=0.1H，设开关在t=0时接通，电感电流初值为零，求各支路电流。图2-20例2-8图

解换路后电流由两部分组成，其稳态分量为

瞬态分量形式为为确定τ，需用戴维宁定理将L和R2以外的电路看做一个二端网络，如图(b)所示，它的输入电阻为

得等效电路如图(c)所示。因此，时间常数为

所以代入初始条件i(0+)=i(0－)=0，得

A=－0.5

故2.3.3

RL电路在直流激励下的全响应

【例2-9】在图2-21所示的电路中，L=1mH，R=2Ω，us=10sin(1000t+86.56°)V，开关S于t=0时闭合。若开关闭合，分别求以下情况下的电流全响应:

(1)i(0+)=0；

(2)i(0+)=I0。图2-21例2-9图

解闭合后电位的稳态分量为

瞬态分量为

故电流全响应表达式为

i=i′+i″=［4.47sin(1000t+60°)+Ae－2000t］A

(1)将i(0+)=0代入电流全响应表达式:

0=4.47sin60°+A

得

A=－4.47sin60°=－3.87

所以

i=［4.47sin(1000t+60°)－3.87e－2000t］A

它全部为零状态响应，零输入响应为零。

(2)将i(0+)=I0

代入电流全响应表达式:

I0=4.47sin60°+A

得

A=I0－4.47sin60°

所以

它包含零输入响应和零状态响应两部分。

2.4一阶线性电路暂态分析的三要素法

三要素法是对一阶电路的求解法及其响应形式进行归纳后得出的一个有用的通用法则。由该法则能够比较迅速地获得一阶电路的全响应。

(1)在同一个一阶电路中的各响应(不限于电容电压或电感电流)的时间常数都是相同的。对只有一个电容元件的电路，τ=RiC；对只有一个电感元件的电路，τ=L/Ri，Ri为换路后该电容元件或电感元件所接二端电阻性网络除源后的等效电阻。

(2)在直流激励下的一阶电路，其全响应是稳态分量(可能为零值)和瞬态分量之和。稳态分量用符号f(∞)代表，它可从换路后的稳态电路求得(将电容代之以开路，或将电感代之以短路，按电阻性网络计算)，瞬态分量为，所以一阶电路的全响应为

(2-31)

若响应f(t)的初始值为f(0+)，将其代入上式以确定A，有A=f(0+)－f(∞)，从而得

(2-32)

【例2-10】在图2-22中，设电路已达稳定，在t=0时断开开关S，求断开开关后的电流i。

解由换路定律求电流i的初始值i(0+):

换路后电流i的稳态分量:图2-22例2-10图换路后电路的时间常数:

代入式(2-32)，得全响应:

【例2-11】电路如图2-23所示，t<0时开关断开已久，在t=0时开关闭合，求u(t)。

解由换路定律求电压u(t)的初始值u(0+):

换路后电压u(t)的稳态分量:图2-23例2-11图换路后电路的时间常数τ=RiC，Ri为电容元件所接二端网络除源后的等效电阻，它等于2Ω和1Ω电阻并联，所以

代入式(2-32)，得

2.5

RC电路的应用

1．微分电路和积分电路

1)微分电路

在如图2-24所示的RC电路中，输入电压ui为周期性矩形脉冲，如图2-25(a)所示。矩形脉冲的幅值为Um，脉冲宽度为tw，脉冲周期为T，且电路的时间常数τ很小，即τ<<tw。

首先分析uC的波形。在t=0瞬间，RC电路输入矩形波电压。由于τ很小，因此电容迅速被充电至Um值。当tw<t<T时，ui=0，相当于RC电路的输入端短接，电容器开始放电。同样地，由于τ很小，因此放电过程很快结束，uC下降至零。接着在t=T瞬间，电容又被迅速充电。如此反复循环，得到如图2-25(b)所示的波形。图2-24

RC微分电路图2-25微分波形根据KVL，有ui=uR+uC=uo+uC

，由于τ=RC很小，使得输入信号ui几乎全部降落在电容上，即ui=uo+uC≈uC，因而输出电压为

(2-33)

式(2-33)表明，电路的输出电压uo近似与输入电压ui的导数成正比，因而称该电路为微分电路。利用微分电路可以改变信号的波形。由于时间常数τ与脉冲宽度tw的关系变化，因此输出电压uo也将发生变化。

2)积分电路

在如图2-26所示的电路中，输入电压ui仍为周期性矩形脉冲，如图2-27(a)所示，且电路的时间常数τ>>tw，输出电压uo取自电容两端，即uo=uC，则此RC

电路称为积分电路。

在t=0瞬间，RC电路输入矩形波电压。由于τ>>tw，因此电容充电很慢，到t=tw时，uC仅由零微升至UC1值。当tw<t<T时，ui=0，电容C开始经电阻R放电。由于τ>>tw，因此放电同样进行得很慢，uC从UC1缓慢下降，到t=T时，uC尚未下降至零，而下一个脉冲已经到来，电容C又开始进入充电过程。如此反复循环，得到图2-27(b)所示的波形。图2-26

RC积分电路图2-27

RC积分波形在积分电路中，由于τ>>tw，电容的充、放电过程进展很缓慢，电容电压uo变化也很缓慢，输入信号ui几乎全部降落在电阻R的两端，uR的波形如图2-27(c)所示，因此

ui=uo+uR≈uR

所以

(2-34)

式(2-34)说明，电路的输出电压uo近似与输入电压ui成积分关系，因此，称这种电路为积分电路。

2.避雷器的测试电路

1)避雷器的作用

避雷器是与电器设备并接的一种过电压保护设备，当电压(一般指大气过电压)过大，危及电器设备的绝缘时，它就放电，将雷电流泄入大地，从而保护其绝缘免受损伤或击穿。

2)避雷器的电路组成

避雷器使用前要进行测试，检验其各种性能指标。图

2-28是测量避雷器电导电流的接线图。其中，T为高压试验变压器；V为高压整流硅堆；R为保护电阻；C为稳压电容；VC为静电电压表；FA为避雷器；微安表串联在FA下端，用于测量其电导电流。图2-28避雷器电导电流测量电路

3)工作原理

避雷器本身的电容很小，对整流电压的平波作用甚微。因此，在测量电导电流时，应并联不小于0.1μF的稳压电容C。变压器T的高压侧经整流硅堆输出的电压是半波整流电压，其正半周时，经电阻R对电容C充电，负半周时电容C经R放电，但由于C较大，因此电荷逸出很少，下一个正半周时，C又通过R充电，使两端的电压维持原来的数值，这样就保证了避雷器两端的电压波动很小。如果没有稳压电容C，则由于避雷器本身电容很小，因此加在其两端的电压将是脉动电压，这对于避雷器是绝对不允许的。小结

一、基本要求

1.深刻理解换路定律，牢固掌握初始值的计算。

2．牢固掌握一阶电路微分方程的建立和解法，深刻理解稳态和瞬态以及时间常数的概念，并牢固掌握一阶电路时间常数的计算。

3．掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的分析方法，理解强制分量和自由分量的概念。

4．牢固掌握分析直流激励的一阶电路的三要素法并能熟练运用。

二、内容提要

1.换路定律：在换路瞬间，电容元件的电流值有限时，其电压不能跃变，在电感元件的电压值有限时，其电流不能跃变，即

uC(0+)=uC(0－)

iL(0+)=iL(0－)

初始值的计算：独立初始值uC(0+)和iL(0+)按换路定律确定；其他相关初始值可以由换路后的等效电路确定。

2．一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路，例如只含一个储能元件的电路。

零输入响应：仅由储能元件初始储能引起的响应。

零状态响应：仅由外施激励引起的响应。

一阶电路的全响应：初始储能及外施激励共同产生的响应。以直流激励RC电路方程为例，电路方程为

其解(全响应)为

式中，uC′为稳态分量(强制分量)，uC″为瞬态分量(自由分量)。瞬态分量存在的时期为电路的过渡过程，瞬态过程消失，电路进入新的稳态。全响应也可写成:

式中，uC1为零输入响应，uC2为零状态响应。

时间常数τ是决定响应衰减快慢的物理量。动态元件为C时，τ=RC；动态元件为L时，。R为C或L所接网络除源后的等效电阻。

3.分析一阶电路全响应的三要素法：

直流激励时的全响应:

式中，f(∞)为稳态分量，f(0+)为初始值，τ为时间常数，合称为三要素。

4.RC电路的应用有：

(1)微分电路和积分电路；

(2)避雷器的测试电路。习题

2-1图1(a)、(b)所示电路中开关S在t=0时动作，试求电路在t=0+时刻电压、电流的初始值。图1习题2-1图

2-2图2所示电路中电容C原先没有充电，试求开关S闭合后的一瞬间，电路中各元件的电压和电流的初始值。图2习题2-2图

2-3图3所示各电路中开关S在t=0时动作，试求各电路在t=0+时刻的电压、电流。已知图(d)中e(t)=100sin

uC(0－)=20V。图3习题2-3图

2-4求图4所示电路的时间常数。图4习题2-4图

2-5已知C=2μF，R2=2kΩ，R3=6kΩ，uC(t)的波形如图5(b)所示。求R1及电容电压的初始值U0。图5习题2-5图

2-6图6所示电路为一标准高压电容器的电路模型，

电容C=2μF，漏电阻R=10MΩ，FU为快速熔断器，

us=23000sin(314t+90°)V，t=0时熔断器烧断(瞬间断开)。假设安全电压为50V，从熔断器断开之时起，经历多少时间后人手触及电容器两端