《电路分析基础》课件3第6章

6.1电感元件和电容元件6.2动态电路和换路定律6.3无源一阶电路6.4直流电源激励的一阶电路6.5全响应的分解特性

6.6一阶电路的阶跃响应*6.7计算机仿真

本章小结思考题习题6

6.1.1电感元件

电感元件是一种抵抗电流变化的电子元件。它由环绕在磁性或非磁性材料上的线圈组成。

电感元件的特性基于磁场现象。给线圈通过电流，若电流随时间变化，则磁场也随时间变化。

磁场的变化就会在线圈两端产生感应电压。电感是用来表示电感元件的电路参数，用L表示，单位为H(享利)，图形符号如图6-1所示。电感L的定义为

6.1电感元件和电容元件图6-1电感元件的符号

其中，Ψ为线圈的磁链；iL是通过线圈的电流。当L为

常数时，称为线性电感。

设电感元件端电压和电流为关联参考方向，则有

(6-1)上式表示了电感元件的伏安关系，电感电压是与电流的变化率成比例的。其中两点要特别注意：

•

如果电流是直流，则电感元件两端的电压为零。因此，对于直流电流，电感元件表现为短路。

•

电感元件中的电流不能跃变。若电流有跃变，则电感元件两端的电压为无穷大，显然这是不可能的。也就是说，电感电流必须是连续的。式(6-1)还可以写为积分的形式

(6-2)其中,iL是相对于t的电流；而iL(t0)指的是开始积分时刻，即t0时刻电感的电流值。在许多实际应用中，t0=0，式(6-2)变为

(6-3)

其中，体现了t=0之前电压对电流的贡献，称为电感元件的初态电流。值得注意的是，电感元件的伏安关系的两种形式(6-1)和(6-3)是在关联参考方向下得出来的。若是采用非关联参考方向，则在公式前应加上负号。

【例6-1】

电路如图6-2(a)所示，电流源的波形如图6-2(b)所示，求电感电压uL的波形。图6-2例6-1的电路

解电流源波形可以分段表示为

电感元件两端的电压为

uL的波形如图6-2(c)所示。也可以不写出iS的表达式，直接对波形求导。因为求导就是求斜率。iS的正斜率对应着uL的正值，iS的负斜率对应着uL的负值。iS的常数对应uL的零值。对于分段直线的波形求导，其导数波形完全可以用这个方法求出。电感元件中功率和能量的关系可以直接由电流和电压的关系推导出来。如果采用关联参考方向，功率表示为

p=uLiL

(6-4)

功率的单位是W，电压的单位是V，电流的单位是A。功率还可以表示为

(6-5)从-∞到t期间，所吸收的能量为

因iL(-∞)=0，于是

(6-6)上式表明，电感元件储存的能量取决于该时刻的电流。只要电流不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存在电感中。电感元件是一种储能元件和无源元件。6.1.2电容元件

电容元件是一种电子元件。它是由绝缘体或电介质材料隔离的两个导体组成。电容元件的特性基于电场现象。给电容元件加电压，若电压随时间变化，则电场也随时间变化。时变的电场在该空间产生位移电流。电容是用来表示电容元件的电路参数，用C表示，单位为F(法拉)，图形符号如

图6-3所示。电容C定义为

图6-3电容元件的符号即电容量的大小是电容极板上的电荷与所加电压之比。

其中,q为电荷，当C为常数时，称为线性电容。

设电容元件端电压和电流为关联参考方向，则有

(6-7)

上式表示电容元件的伏安关系，电容电流是与其电压的变化率成比例的。其中两点要特别注意:

•

如果电压是直流，则电容元件中的电流为零。因此，对于直流电压，电容元件表现为开路。

•

电容元件两端的电压不能跃变。若电压有跃变，则电容元件中的电流为无穷大，显然这是不可能的。也就是说，电容电压必须是连续的。

式(6-7)还可以写为积分的形式

(6-8)在许多实际应用中，t0=0，式(6-8)变为

(6-9)

其中，体现了t=0之前电流对电压的贡献，称为电容元件的初态电压。

值得注意的是，电容元件的伏安关系的两种形式(6-7)和(6-9)是在关联参考方向下得出来的。若是采用非关联参考方向，则在公式前应加上负号。

【例6-2】

已知电容C=5μF，通过电容元件的电流波形如图6-4(a)所示，求电容电压uC的波形。

解根据电容元件的伏安关系，即

采用分段积分，当t≤0时，uC=0。图6-4例6-2的波形当0≤t≤2ms时，有

当t=2ms时，

u

(2ms)=4000×2×10-3=8V

当t≥2ms时，由于iC=0，有

uC的波形如图6-4(b)所示。

电容元件中功率和能量的关系可以直接由电流和电压的关系推导出来。如果采用关联参考方向，功率表示为

p=uCiC

(6-10)

功率的单位是W，电压的单位是V，电流的单位是A。功率还可以表示为

(6-11)

从-∞到t期间，所吸收的能量为

因uC(-∞)=0，于是

(6-12)上式表明，电容元件储存的能量取决于该时刻的电压。只要电压不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存在电容中。电容元件是一种储能元件和无源元件。

【例6-3】

一个电容元件如图6-5所示。电容C=4μF，已知t=0时，uC(0)=0，iC=2A，求t=20ms时电容的储能。图6-5例6-3的电路

解电容电压为

电容的储能为

【例6-4】

如图6-6(a)所示为一线性元件，其电压、电流的波形如图6-6(b)、图6-6(c)所示。判断该元件是什么元件？它的电路参数是多少？

解由于采用非关联参考方向，再观察图6-6(b)、图(c)可知，对电压u求导的负值就是i的波形。根据电容元件的伏安关系，有

图6-6例6-4的用图可见，该元件为电容元件。在0≤t≤2s，对图6-6(b)有=1，对图6-6(c)，有

故电容参数C=1μF。

6.1.3电感和电容的串并联

电阻的串并联可以简化为单个等效电阻，电感或电容的串并联也可以简化为单个电感或电容。如图6-7(a)所示是电感元件的串联，流过的电流相同，每个电感的电压是

串联的总电压为

显然，电感串联的等效电感为

Leq=L1+L2+L3

(6-13)如果原电感带有初始电流i(0)，则等效电感带有相同的初始电流i(0)。串联电感的等效电路如图6-7(b)所示。图6-7电感元件串联并联电感有相同的电压，每个电感元件的电流为

总电流为

显然，并联电感的等效电感和等效初始电流为

(6-15)

三个电感并联的等效电路如图6-8(b)所示。(6-14)图6-8电感元件并联由于电路的对偶性，因此根据对偶原理，只要将上述电感元件串联和并联的等效电路，用对应的对偶元素替换，就可得出电容并联和串联的等效电路。即有并联电容的等效电容为

Ceq=C1+C2+…+Cn

(6-16)

等效初始电压与原电容相同。串联电容的等效电容为

(6-17)

等效初始电压为

u(0)=u1(0)+u2(0)+…+un(0)

(6-18)

自测题6-1电路中的储能元件是指

。

(Ａ)电阻元件(Ｂ)电感元件(Ｃ)电容元件

(Ｄ)电压源(Ｅ)电流源

自测题6-2

当10Ａ的直流电流通过10ｍＨ线圈时，线圈的储能为

。

(Ａ)0.5Ｊ(Ｂ)0.5W

(Ｃ)10Ｊ(Ｄ)10W

自测题6-3

两个电容器，一个电容器容量大，另一个较小，充电到同样电压时，电容量越大的电容器，其极板上带电量

。

(Ａ)越大(Ｂ)越小(Ｃ)相同

自测题6-4

2Ａ的电流向2F的电容充电，已知t=0时刻，uC(0)=1V，则在t=3s时，uC(3)=

。

(Ａ)2V

(Ｂ)3V

(Ｃ)4V

(Ｄ)8V图6-9自测题6-5

自测题6-5

在图6-9所示电路中，可求得Ａ、Ｂ两点的等效电容Ceq=

。

(Ａ)1/3μF (Ｂ)0.28μF

(Ｃ)0.24μF (Ｄ)0.14μF6.2.1动态电路的特点

在电阻电路中，描述电路的方程是代数方程。当电路中含有电感、电容等储能元件时，描述动态电路的方程是微分方程。如果微分方程的阶数为一，就称为一阶电路；若阶数为二，就称为二阶电路等。一阶电路是最简单、工程上又常见的动态电路。6.2动态电路和换路定律用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。

电路的工作状态有两种，一是前面几章介绍的电阻电路中电压、电流都是恒定值，称这类工作状态为稳定状态，简称稳态。当电路中含有储能元件时，并出现结构改变，如接通、断开、短路、改接等，或者电源、电路参数突然改变时，常使电路从一个稳定状态到达另一个稳定状态。由于电磁惯性，状态的改变上一般并非立即完成，而需经历一段时间，这段时间发生的过程称为暂态过程。这就是电路的另一个工作状态，即暂态。动态电路分析的主要任务就是研究

动态电路中电压、电流的变化规律，即它们的稳态和暂态的整个动态过程。例如，给一个未储能的电容充电的电路如图6-10(a)所示。在开关闭合前电容电压uC(0)=0V，这是一个稳定状态。开关合上后，电压源US给电容充电，随着时间增加，电容电压uC的变化曲线如图6-10(b)所示。当t→∞时，uC(∞)=US，即电容充电完毕。这就到达了另一个稳定状态。图6-10电容充电过程电路的接通或断开、电路的连接方式或电路参数的突然变化、激励的突然变动等，这些都属于电路工作状态的改变，称为换路。事实上，并不是所有的电路在换路时都产生暂态过程。换路只是产生暂态过程的外因，还必须通过电路本身的内因才能起作用。例如，当一个电阻与电源接通时，流过该电阻的电流和其两端的电压都将在电源接通的瞬间达到新的稳态，并不产生暂态过程。产生暂态过程的内因是电路中存在储能元件，如电感元件和电容元件等。另一个内因是电路存在两个不同的稳态。如图6-10(a)所示电路，若电容已知有初始电压uC(0)=US，当开关合上后，电路虽然有电容元件，也不会出现暂态过程。因为电容已经充满电了，即电容电压没有两个稳态，只有一个稳态。因此，产生动态过程的原因是：

•

电路有换路；

•

电路含有电感、电容等储能元件；

•

电路存在两个不同的稳定状态。研究动态电路具有十分重要的意义。其一是利用动态过程的特点，实现某种技术要求，如电子技术中的微分、积分、整流、滤波、振荡等各种电路和控制系统中的各种控制电路；其二是可以防止某些电路装置在暂态过程中会出现远远超过稳态情况时的过电压和过电流，从而造成仪器设备的损坏和人身事故。6.2.2换路定律

众所周知，能量只能从一种形式转换为另一种形式，或从一个储能元件传递到另一个储能元件。而能量的转换和传递必须有一个过程，而不可能发生跃变。能量的跃变意味着存在无穷大的功率，即

，这在客观上是不可能的。在动态电路中，电感储存的磁场能为，电容储存的电场能为，能量不能跃变，即电感中的电流iL和电容两端的电压uC不能跃变。也就是说它们必须是时间的连续函数。显然，

换路瞬间电感中的电流iL和电容两端的电压uC应该分别相等，这就是换路定律。通常用t=0表示电路进行换路的时刻，t=0-表示换路前的瞬间，t=0+表示换路后的瞬间。以开关S闭合为例，t=0-表示开关闭合前的瞬间，这时开关S仍然处于断开状态；t=0+表示开关闭合后的瞬间，这时开关S处于刚刚闭合的状态。而t=0则表示从t=0-到t=0+的换路时刻。若iL(0-)和iL(0+)分别表示换路前瞬间和换路后瞬间流过电感的电流，uC(0-)和uC(0+)分别表示换路前瞬间和换路后瞬间电容两端的电压，则换路定律可表示为

(6-19)换路定律仅适用于电路换路的瞬间，可用它来确定电感电流和电容电压的初始值。

【例6-5】

如图6-11所示为测量线圈直流电阻的原理电路图，已知电压表内阻为2kΩ。如果测量结束后，突然打开开关S，电压表承受的最大电压是多少？

解开关打开前，电路是稳定的，电感相当于短路，电压表的内阻为2kΩ与2Ω并联，由于2kΩ>>2Ω，因此，并联后应为2Ω。电流表的内阻忽略不计，则电感中的电流为

图6-11例6-5的电路

根据换路定律，有

iL(0+)=iL(0-)=0.2A

故电压表承受的最大电压是

u(0+)=2000×0.2=400V

即在开关S打开后瞬间电压表承受的最大电压是400V，这将对电压表造成过电压，以致损坏仪表。因此，通过以上分析可知，本题的这种接线方法就有问题，需要加以改进。在实际中，要切断大电感电路是十分危险的。电感元件的储能为。如果L和iL较大，则磁场能量较大。要在瞬间切断电流，即电感的储能瞬间消失，这些能量将消耗在开关处，即在开关处形成极高的电压冲穿空气，形成电火花。所以，不要以为是切断电源就没有问题。通过以上分析可知，对切断电感电路都应有保护措施，参见习题6-6。6.2.3初始值的确定

在换路后的瞬间，电路中各元件的电压值或电流值称为初始值，记作f(0+)。分析动态电路的电压、电流的变化规律时，必须首先确定初始值。一般地，通过换路定律可以确定电容电压和电感电流的初始值。而其他元件上电压、电流的初始值必须通过分析t=0+时刻的等效电路来确定。图6-12电容和电感的初态等效电路电容元件和电感元件在t=0+时的特性如图6-12所示。当电容的初始值uC(0+)=0时，电容元件等效被短路；当电容的初始值uC(0+)≠0时，电容元件等效于其值为uC(0+)的电压

源。电容的初态等效电路如图6-12(a)所示。根据同样的原理，电感的初态等效电路如图6-12(b)所示。

值得注意的是，电感元件和电容元件在t=0+时刻的等效电路与其在t=∞时的稳态等效电路是完全不同的。为了说明这些区别，特列出表6-1供参考。表6-1电感元件和电容元件的特性综上所述，动态电路中非iL和uC初始值的求法可以分为以下三步：

(1)根据换路定律，求出电路中电感元件或电容元件的初始值；

(2)根据电感元件和电容元件在t=0+时的特性，画出初态等效电路。这个电路显然是电阻电路。

(3)对初态等效电路进行计算，求出待求的初始值。

【例6-6】

电路如图6-13(a)所示，开关闭合前电路已处于稳态，开关在t＝0时接通，求在接通瞬间，流过开关S的电流i(0+)。图6-13例6-6的电路

解电感元件和电容元件在开关S还未接通时，电容开路，电感短路。根据换路定律，有

画出的初态等效电路如图6-13(b)所示。从图中可知

所以，开关中的电流为

i(0+)=4-i1(0+)=4-2=2A

【例6-7】

电路如图6-14(a)所示，开关闭合前电路已处于稳态，开关在t＝0时接通，求电路中电感两端电压的初始值uL(0+)。图6-14例6-7的电路

解开关S接通前，电感相当于短路，根据换路定律，电感中的电流为

电容电压为

uC(0+)=uC(0-)=0

画出的初态等效电路如图6-14(b)所示。用叠加定理可得

自测题6-6

电路如图6-15所示，开关闭合前电路已处于稳态，开关在t＝0时接通，则电容中的电流的初始值iC(0+)=

。

(Ａ)0

(Ｂ)1Ａ(Ｃ)2Ａ(Ｄ)3Ａ

自测题6-7

如图6-16所示电路原处于稳态，t＝0时开关S突然打开，则电感两端的电压的初始值uL(0+)=

V。(Ａ)0

(Ｂ)3

(Ｃ)-6

(Ｄ)6图6-15自测题6-6图6-16自测题6-7

自测题6-8电路如图6-17所示，开关闭合前电路已处于稳态，开关在t＝0时接通，则电路中电压u(0+)=

。(Ａ)2V

(Ｂ)3V

(Ｃ)6V

(Ｄ)7V

自测题6-9

电路如图6-18所示，换路前电路处于稳态，t=0时开关S打开，则电路中电压的初始值u(0+)=

；终值u(∞)=

。图6-17自测题6-8图6-18自测题6-96.3.1无源RC电路

在图6-19中，开关原在位置1已经稳定，电容已经充完电。t=0时开关由位置1切换到位置2，电容开始放电。在t=0-时电容电压uC(0-)=U0。根据换路定律，电容电压的初始值为

uC(0+)=uC(0-)=U0

(6-20)6.3无源一阶电路图6-19RC放电的电路根据换路后的电路列KVL方程

RiC+uC=0

(6-21)

电容元件的伏安关系为

(6-22)将式(6-22)代入(6-21)，得

(6-23)这是一阶齐次线性常系数微分方程。

这里介绍两种求解上述微分方程的方法。

方法一：直接法。

微分方程式(6-23)可写为

(6-24)进一步写成分离变量的形式

(6-25)对式(6-25)两边积分，可得

(6-26)积分可得

(6-27

将初始值uC(0)=U0代入式(6-27)，令t=0有

lnU0=K(6-28)因此，式(6-27)变为

(6-29)

(6-30)

所以，电容电压的零输入响应为

(6-31)方法二：简捷法。

在高等数学中，解线性常系数微分方程有一套十分有效的方法，介绍如下。

对方程(6-23)，假定齐次解为指数形式：

uC(t)=Kes1t

(6-32)其中，K和s1为待定常量。将假定的解代入式(6-23)，得

RCKs1es1t+Kes1t=0

(6-33)或

(RCs1+1)Kes1t=0

得到特征方程为

RCs1+1=0

(6-34)其解为特征根，可得到齐次解的形式为

(6-35)常数K由初始值uC(0)=U0来确定。令式(6-35)t=0得

K=U0

故电容电压零输入响应为

(6-36)图6-20零输入响应曲线

电容电流为

(6-37)

电容电压和电流的波形如图6-20所示。

第一种求解方法是数学的一般方法，通用性强。第二种方法是求解线性常系数微分方程的专用方法，齐次解、特解有特殊的物理意义。现在来验证电路中的功率与能量的关系。电阻消耗的功率为

(6-38)

电阻消耗的总能量为

(6-39)可见，电阻消耗的能量与电容初始的储能相同。也就是说，电容的初始储能经过很长时间后，全部被电阻所消耗。微分方程的解描述了电路的响应，它有很多名称。因为这时输入电源为零，常称为零输入响应，也称为自由响应或固有响应，又因为是求解齐次方程，其解也称为齐次解。表示这种响应是由电路本身的固有特性所确定的，与外加激励无关。因为电路中的初始储能最终会全部消耗在电阻上，所以这个响应最终必然消失，由此也通常称它为暂态响应。6.3.2时间常数

从RC电路的零输入响应表达式可知，各种响应均从某初始值开始，然后按同样的指数规律单调地衰减到零。很明显，衰减过程进行的快慢与指数函数中的RC的大小有关。称RC为时间常数，RC的量纲为

(6-40)可见，RC是时间的量纲，用τ来表示时间常数，单位为秒(s)。即

τ=RC

(6-41)

时间常数τ与特征根s1的关系为

(6-42)以电容电压uC为例，令t=τ，式(6-36)变成

(6-43)

或

可见，时间常数表现在零输入响应曲线上，可以表述为

时间常数τ等于零输入响应衰减到初始值的36.8%时所需的时间。根据这一含义，可以从零输入响应曲线图解得到τ，如图6-21(a)所示。严格地说，只有当t趋于无穷大时电容电压才降到零。事实上，当t=(4~5)τ时，工程上通常认为这时暂态过程结束。通过计算可知，当t=τ时，uC(t)/U0的值为0.3679;当t=2τ时，uC(t)/U0的值为0.135；t=3τ时uC(t)/U0的值为0.04979；当t=4τ时uC(t)/U0的值为0.01832;当t=5τ时，uC(t)/U0的值为0.006738。时间常数τ决定了零输入响应曲线变化的快慢，τ越大，暂态过程越长，如图6-21(b)所示。

由于τ=RC，因此，时间常数完全由电路参数和结构确定，与初始值和激励均无关。图6-21时间常数的含义无源RC电路的求解：

(1)电容电压的初始值uC(0)=U0；

(2)时间常数τ=RC；

(3)零输入响应为。

只要uC求出，电路中的其他量也能确定。在这里只讨论了简单RC电路的零输入响应。

若电路是较复杂的RC电路，则可以采用电阻合并和电容合并方法将电路化简为简单的RC电路。

时间常数中的R就是将电容去掉后从两端看进去的等效电阻Req。

【例6-8】

电路如图6-22(a)所示，已知uC(0)=15V，求t>0时的uC和ux。

解将电路变为标准的RC电路，从电容两端看进去的等效电阻为

因此，等效电路如图6-22(b)所示。时间常数为

τ=ReqC=4×0.1=0.4s图6-22例6-8的电路故电容电压为

从图6-22(a)可知，用分压公式求得ux，即

【例6-9】

在图6-23(a)所示电路中，开关S在t=0时闭合，uC(0)=10V，求电容电压uC。

解为求等效电阻，用伏安关系法，去掉电容后，在端口加电压源如图6-23(b)所示，可列出KCL方程

由于U=u1，等效电阻为

图6-23例6-9的电路电路的时间常数为

τ=ReqC=103×10-6=10-3s

电容电压为

uC=10e-103tV,

t≥06.3.3无源RL电路

在图6-24所示的RL电路中，假定电感的初始电流

iL(0)=I0

应用KVL列方程有

RiL+uL=0

(6-44)图6-24

RL电路

电感元件的伏安关系为

(6-45)

将式(6-45)代入(6-44)，得

(6-46)

这是一阶齐次线性常系数微分方程。下面用简捷法求解上述微分方程。

对式(6-46)，假定齐次解为指数形式：

(6-47)

其中，K和s1为待定常量。将假定的解代入式(6-46)，得到

(6-48)或

得到特征方程

Ls1+R=0

(6-49)

其解为特征根，可得到齐次解的形式为

(6-50)

常数K由初始值iL(0)=I0来确定。令上式t=0得

K=I0

故电感电流的零输入响应为

(6-51)图6-25零输入响应曲线电感电压为

(6-52)

电感电压和电流的波形如图6-25所示。

现在来验证电路中的功率与能量的关系。电阻消耗的功率为

(6-53)电阻消耗的总能量为

(6-54)

可见，电阻消耗的能量与电感初始的储能相同。也就是说，电感的初始储能经过很长时间后，全部被电阻所消耗。RL电路的时间常数定义为

(6-55)其量纲为

(6-56)

单位为秒(s)。时间常数τ与特征根s1的关系为

(6-57)时间常数τ决定了零输入响应曲线变化的快慢，τ越大，暂态过程越长。这些都与RC电路的零输入响应的情况相同。

无源RL电路的求解：

(1)电感电流的初始值iL(0)=I0；

(2)时间常数τ=L/R；

(3)零输入响应为。

【例6-10】

电路如图6-26(a)所示，开关闭合已经很久了，在t=0时开关打开，求t>0时的电流i(t)。

解换路前t=0-的等效电路如图6-26(b)所示，电感相当于短路。

电感电流为

图6-26例6-10的电路

根据换路定律

i(0+)=i(0-)=6A

换路后，电感两端的等效电阻

Req=(4+12)∥16=8Ω

时间常数为

所以

【例6-11】

电路如图6-27所示，开关闭合已经很久了，在t=0时开关打开，求t>0时的电流i1和iL。

解换路后的电感合并为

等效电阻为

图6-27例6-11的电路于是时间常数为

电感电流的初始值为

所以，电感电流为

iL=360e-50000t

mA,t≥0用分流公式，可以求得

自测题6-10

电路如图6-28所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t＝0时刻打开后，对于t≥0的所有时间，电压u＝

。

(Ａ)10e-tV(Ｂ)10e-2tV(Ｃ)20e-tV(Ｄ)20e-2tV

自测题6-11

电路如图6-29所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t＝0时刻打开后，电容电压的初始值u(0)=

；时间常数τ=

；对于t≥0的所有时间，电压u=

。图6-28自测题6-10图6-29自测题6-11

自测题6-12

电路如图6-30所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t＝0时刻打开后，电感电流的初始i(0)=

；时间常数τ=

；对于t≥0的所有时间，电流i=

。图6-30自测题6-126.4.1电源作用于RC电路

RC电路如图6-31所示，开关在t=0时闭合，直流电压源在t=0时作用于电路。设电容两端的初始电压为

uC(0+)=uC(0-)=U0

(6-58)

应用KVL，有

RiC+uC=US

(6-59)6.4直流电源激励的一阶电路图6-31

RC电路由于，式(6-59)变为

(6-60)

这是一阶非齐次线性常系数微分方程。

这里介绍两种求解上述微分方程的方法。方法一：直接法

微分方程式(6-60)可写为

(6-61)进一步写成分离变量的形式

(6-62)对式(6-62)两边积分，可得

(6-63)

将初始值uC(0)=U0代入式(6-63)，令t=0，式(6-63)变为

ln(U0-US)=K

因此，式(6-63)为

所以，令τ=RC，电容电压为

(6-64)这个解称为RC电路的全响应，也就是说，它是外加电源和电路中的初始储能共同作用于电路的结果。

如果电容原没有储能，即电容的初始电压uC(0)=U0=0，式(6-64)变为

(6-65)

这个解称为RC电路的零状态响应，即它是由外加电源引起的响应，电路的初始状态为零。

另外，如果输入(外加电源)为零，式(6-64)变为

(6-66)这就是上节所讨论的零输入响应。显然有

全响应=零输入响应+零状态响应

零输入响应零输入响应

方法二：简捷法。

在高等数学中，解线性常系数非齐次微分方程有一套十分有效的方法，无论是求RC电路还是RL电路都适用。式(6-60)的解由两部分组成，即

uC=uCf+uCn

在全响应表达式(6-64)中，

uCf=US

uCn=(U0-US)e-t/τ

其中，uCn为微分方程的齐次解，也称电路的自由响应或固有响应。它的求解方法在6.3节已经介绍了。由于这部分响应最终是趋于零的，故也称为暂态响应。uCf为微分方程的特解，也称为电路的强迫响应，由于t→∞后，自由响应趋于零，电路稳定后只剩下强迫响应，故也称为稳态响应。因此，全响应可以写成:

全响应=稳态响应+暂态响应

uC=

US

+

(U0-US)e-t/τ,t≥0稳态响应暂态响应

电路的全响应的表达式(6-65)就可以写成

(6-67)

这就是求解RC电路全响应的一般公式，其中只涉及三个量uC(∞)、uC(0+)和τ，故称为三要素法。三要素法是求解一阶电路的普遍适用的简捷方法。求解RC电路的三要素法：

(1)初值y(0+)，用换路定律或初态等效电路确定。

(2)终值y(∞)，将换路后的电路并令电容开路求得。

(3)时间常数τ=RThC，复杂RC电路可以用戴维南定理化简，求出戴维南电阻RTh。

(4)全响应。

【例6-12】

在图6-32所示电路中，Ｓ闭合前处于稳态。当t=0时，Ｓ闭合，求电压uC。

解用换路定律求初值。

uC(0+)=uC(0-)=40V

开关合上后，稳态时电容开路，可用叠加定理求得终值为

戴维南电阻为

RTh=20∥20=10Ω图6-32例6-12电路时间常数为

τ=RThC=10×100×10-6=10-3s

用三要素法公式，有

【例6-13】

在图6-33(a)所示电路中，Ｓ打开前处于稳态。当t=0时，Ｓ打开，求电压uR。

解先求出电容电压的初始值，根据换路定律有

uC(0+)=uC(0-)=0

画出初态等效电路如图6-33(b)所示，可求

图6-33例6-13电路

当t→∞时，电容开路，可得终值

戴维南电阻为

RTh=3∥(3+3)=2kΩ

时间常数为

τ=RThC=2×103×103×10-12=2×10-6s

用三要素法公式，有

图6-34

RL电路6.4.2电源作用于RL电路

考虑图6-34所示的RL电路，其全响应完全可以用暂态响应和稳态响应之和求得，即

iL=iLn+iLf

(6-68)

暂态响应具有负指数的形式

稳态响应是当t→∞时电感电流的值，此时电感短路，有

所以，全响应为

(6-69)设电感电流的初始值为

iL(0+)=iL(0-)=I0

(6-70)于是，当t=0时，式(6-69)变为

(6-71)解得

(6-72)故全响应为

(6-73)

如果电感原没有储能，即电感的初始电流I0=0，则式(6-73)变为

(6-74)这个解称为RL电路的零状态响应，即它是由外加电源引起的响应，电路的初始状态为零。

另外，如果输入(外加电源)为零，式(6-73)变为

(6-75)

这就是上节所讨论的零输入响应，显然有全响应=零输入响应+零状态响应式(6-73)也可以写成一般的形式

(6-76)

其中，iL(0+)、iL(∞)表示初始值和终值。这就是RL电路的三要素法公式。

【例6-14】

在图6-35所示电路中，换路前处于稳态。当t=0时，开关从2扳到1位置，求电压uL。

解先求电感电流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=-1A

开关接通1的终值为

iL(∞)=1A图6-35例6-14的电路

戴维南电阻为

RTh=1+1∥1=1.5Ω

时间常数为

用三要素法，电感电流为

电感电压为

【例6-15】

在图6-36(a)所示电路中，换路前处于稳态。当t=0时，开关闭合，求电流i。图6-36例6-15的电路

解先求电感电流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=0A

于是，画出初态(t=0+)等效电路如图6-36(b)所示，从图中可得初值

当t=∞时的等效电路如图6-36(c)所示，从图中可得终值

戴维南电阻为

RTh=4+6∥12=8Ω

时间常数为

用三要素法，电流为

【例6-16】如图6-37(a)所示电路中，换路前处于稳态。当t=0时，开关闭合，求电流i。图6-37例6-16的电路

解先求电感电流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=0A

于是，初态(t=0+)时电感开路，从图中可得初值

当t=∞时，电感短路，应用KVL，有

20i+4i=30

解得终值为

求戴维南电阻的电路如图6-37(b)所示，用伏安关系法求U0和I0的关系为

U0=-4i-20i=-24i

将i=-

I0代入上式，得

戴维南电阻为

时间常数为

用三要素法，电流为

自测题6-13

电路如图6-38所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t=0时刻接通后，对于t≥0的所有时间，电压u=

。

(A)3(1-e-2t)V

(B)3V

(C)3(1-e-0.5t)V

(D)3e-2tV图6-38自测题6-13图6-39自测题6-14

自测题6-14

电路如图6-39所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t=0时刻接通后，对于t≥0的所有时间，电感电流iL=[CD#3]。电流i1=

。

综上所述，全响应可以分解为两种形式，即零输入响应和零状态响应，也可以分解为自由响应的强迫响应。6.5全响应的分解特性6.5.1零输入响应和零状态响应

如果将电感元件和电容元件的伏安关系加以比较，电感L与电容C是对偶量，RC电路的时间常数和关于uC的三素法公式，与RL电路的时间常数和关于iL的三素法公式均为对偶量。

所以，分析时只要对其中一种电路分析就可以了。另外，储能元件电容以电压uC储存能量，电感以电流iL储存能量。因此，电容电压uC和电感电流iL在动态电路的分析中占有特殊的地位，它们是电路的状态变量。通常所说的电路中状态、初始状态就是指电容电压uC和电感电流iL。

如零状态响应中的零状态就是指状态变量的初始值为零，即使是以非状态变量为响应也是如此。以RC电路为例，选电容电压uC为响应，初始值为uC(0)=U0，外加电压源为US，则全响应为

uC=U0e-t/τ+US(1-e-t/τ)=uCzi+uCzs

(6-77)其中，为零输入响应，即是令输入为零，由初始值引起的响应。仅与初始值有关，所以零输入响应与初始值成线性关系,也称为零输入响应线性。也就是说，初始值U0乘以K倍，零输入响应uCzi也乘以K倍。而第二项uCzs=US(1-e-t/τ)为零状态响应，即令电容电压初始值为零，由外加输入电压引起的响应。仅与输入有关，所以零状态响应与输入电源成线性关系，也称为零状态响应线性。也就是说，输入US乘以K倍，零状态响应uCzs也乘以K倍。于是，可以得出如下结论：

全响应分解为零输入响应和零状态响应：y=yzi+yzs，并且有

(1)零输入响应是输入为零而由初始状态引起的响应，是初始状态的线性函数。

(2)零状态响应是初始状态为零而由输入引起的响应，是输入的线性函数。

(3)全响应既不是初始状态，也不是输入的线性函数。这一结论不仅对一阶电路成立，而且对线性高阶电路也是成立的，它的正确性可以用叠加定理来说明。我们可以把动态电路中的独立电源和初始状态看成是两类电源，当独立电源单独作用于电路产生的响应就是零状态响应；当初始状态(初始电源)单独作用于电路产生的响应就是零输入响应。这实际上是叠加定理在线性动态电路中的应用。6.5.2自由响应和强迫响应

以RC电路为例，选电容电压uC为响应，初始值为uC(0)=U0，外加电压源为US，则全响应为

(6-78)其中为自由响应或暂态响应，也是微分方程的齐次解。uCf=US为强迫响应或稳态响应，也是微分方程的特解。三要素法公式就是根据这种方法推导出来的。全响应分解为自由响应和强迫响应：y=yn+yf，并且有(1)自由响应(暂态响应)：，反映了电路固有的特性。

(2)强迫响应(稳态响应)：yf=y(∞)=常数，反映了t→∞电路到达稳定的特性。由此可见，第一种分解方法着眼于响应的因果关系。反映了线性电路的叠加性。零输入响应和零状态响应的概念在系统理论中有很重要的作用。第二种分解方法着眼于电路的两种工作状态，即暂态和稳态，反映了电路的固有特性和稳定时的特性。本书内容的叙述顺序就是直流稳态(直流电阻电路)→暂态(动态电路)→交流稳态(交流电路)。可见，电路的工作状态有着重要的物理意义。

【例6-17】

如图6-40(a)所示电路，换路前处于稳态。当t=0时开关闭合，求电流i。

解由于各种响应的时间常数相同，先求时间常数。戴维南电阻为

RTh=3∥6+6=8Ω

时间常数为

电感电流的初始值为

方法一：分解为零输入响应和零状态响应。

图6-40(b)就是输入为零的电路。电流i的初始值为

由于终值i(∞)=0，因此零输入响应为

图6-40例6-17的电路再求零状态响应：令iL(0+)=0，从图6-40(a)将电感开路可得

求终值时，电感短路如图6-41(b)所示，用叠加定理可求得

用三要素法公式，零状态响应为

全响应为

图6-41例6-17初态和稳态电路方法二：分解为自由响应和强迫响应。

初态等效电路如图6-41(a)所示，用叠加定理可得

求终值时，将电感短路如图6-41(b)所示，用叠加定理可求得

用三要素法公式，全响应为

通过此题可知，在一般情况下用三要素法直接求解电路的全响应要简单些。它只能得到自由响应和强迫响应。而用零输入响应和零状态响应求解，计算上显然复杂些。

【例6-18】

如图6-42所示电路，换路前处于稳态。当t=0时开关打开，求电路中的电流i1和i2。

解

(1)当t=0-时，画出等效电路如图6-43所示，可得

图6-42例6-18的电路图6-43

t<0的等效电路

(2)当t≥0时，电路可分解为两个一阶电路，如图6-44所示。

对图6-44(a)，电容电压的终值可用叠加定理求得

时间常数τ=

s，用三要素法公式，有

图6-44

t>0的等效电路所以，电流为

对图6-44(b)，电感电流的终值可用叠加定理求得

时间常数τ=

s，用三要素法公式，有

iL=2.5+0.25e-8tV,

t≥0

于是有

i2=3-iL=0.5-0.25e-8tA,

t≥0+

显然本题是先求状态变量uC和iL，再求非状态变量i1和i2。这样免去了求i1和i2初始值的麻烦。当然，也可以直接用三要素法求i1和i2。

自测题6-15

RC一阶电路的全响应uC(t)=10-6e-10tV，初始状态不变而输入增加一倍，则全响应uC(t)为

。

(Ａ)20-12e-10t(Ｂ)20-6e-10t

(Ｃ)10-12e-10t(Ｄ)20-16e-10t

自测题6-16

如图6-45所示，电路原已稳定，当t=0时，开关由位置“1”换到“2”，则换路后，响应uC(t)的暂态分量为

，稳态分量为

；零输入响应为

，零状态响应为

。

自测题6-17

如图6-46所示电路在S闭合前处于稳态，求S闭合后的电流i1=

，i2=

。图6-45自测题6-16图6-46自测题6-176.6.1阶跃函数

单位阶跃函数可看成信号γ(t)使τ趋于零，如图6-47(a)所示。可定义为

(6-79)6.6一阶电路的阶跃响应单位阶跃函数在t=0处是非连续的，它在这一点上的值未被定义。波形如图6-47(b)所示。

对于一般格式ε［f(t)］，当f(t)>0时，ε［f(t)］=1；当f(t)<0时，ε［f(t)］=0。所以，延迟的单位阶跃函数为

(6-80)

其波形如图6-47(c)所示。图6-47阶跃函数和延迟的阶跃函数用阶跃函数可以很方便地表示一些分段常量波形，如方波可以分解为两个阶跃函数之和，即

f(t)=Kε(t-t0)-Kε(t-t1)

其波形如图6-48所示。图6-48方波分解为两个阶跃函数之和阶跃函数相当于电源瞬时接通网络，如图6-49(a)所示电路可以用图6-49(b)来表示。

这样就省去了开关，同样表示t=0时网络N接通电压源US。同样，如图6-49(c)所示电路可以用图6-49(d)来表示。图6-49用阶跃函数表示电源在t=0时作用于网络图6-50

RC电路的阶跃响应电路对单位阶跃函数输入的零状态响应称为阶跃响应，记为g(t)。下面以图6-50所示电路为例说明阶跃响应的求法。以电容电压uC为响应，并且是零状态uC(0-)=0。

用三要素法求解，时间常数τ=RC，终值uC(∞)=1V，阶跃响应为

g(t)=uC(t)=(1-e-t/τ)ε(t)如果电路的输入是幅度为A的阶跃函数Aε(t)，则根据零状态响应线性可知阶跃响应为Ag(t)。若单位阶跃函数作用下的响应为g(t)，则在延迟的阶跃函数ε(t-t0)作用下响应应为g(t-t0)，这一性质称为时不变性。

在实际中，常常有矩形波等分段常量信号作为电路的输入。解决这类问题的方法有两个：

一是将分段常量信号分解成多个阶跃函数，求出阶跃响应并运用叠加定理和时不变性质得到电路的响应；二是用三要素法分段求解。

【例6-19】

在如图6-51(a)所示电路中，电感电流的初始值iL(0)=0，电压源电压如图6-51(b)所示，求电路中的电流i。图6-51例6-19的电路

解方法一:利用阶跃响应求解。将电压源电压写成阶跃函数的形式

uS=25ε(t)-25ε(t-1)V

当单位阶跃函数输入时，即uS=ε(t)作用于电路时，由于iL(0+)=iL(0-)=0，因此，电流i的初始值为

当t→∞时，电感短路，因此电流i的终值为

i(∞)=0

戴维南电阻RTh=2∥3=1.2Ω，时间常数为

单位阶跃响应为

g(t)=0.2e-tε(t)根据叠加定理和时不变性质，电流i的表达式为图6-52由阶跃响应叠加的电流波形画出电流i的波形如图6-52所示。

方法二：按时间段分别用三要素法求解。

当0≤t≤1s时，初始值iL(0+)=iL(0-)=0,

终值

时间常数

所以

图6-53分段画出的电流波形当t≥1s时，电感电流的初始值，即t=1s的值

iL(1)=12.5(1-e-1)=7.9015A

当t=1+s时，电压源的电压为零，电感等效于7.9A的电流源。因此，电流i的初始值为

i(∞)=0,时间常数不变，可得

i=-3.1606e-(t-1)A,t≥1+画出电流i的波形如图6-53所示。6.7.1电感元件和电容元件的伏安关系

电感元件的伏安关系为

电容元件的伏安关系为

*6.7计算机仿真以电容元件为例，在电容元件两端加正弦电压uC=5sin(1000πt)，选电容C=0.1μF，则电容电流为

运行EWB，创建如图6-54所示电路。电容C=0.1μF，选取并设置信号发生器参数，选择正弦波，频率f=1kHz，振幅为5V，选取样电阻为1Ω，如图6-55所示。图6-54EWB创建的测量电路图6-55设置信号源为正弦波打开右上角的开关，然后马上关上。调节好示波器横(时间)轴和纵(幅度)轴，直到能比较清楚地显示波形为止，如图6-56所示。

从图中可知，两正弦波相差90°，A通道测量的是uC，用游标尺量出幅度为4.9947V。B通道测量的是iC，用游标尺量出幅度为3.1565mV(取样电阻上的电压)。与理论计算的结果一致。图6-56示波器显示的uC和iC的波形6.7.2动态电路的瞬态分析

用EWB还可以进行电路的瞬态分析。设输入信号为如图6-57所示的波形，加入RC电路，求电容电压的零状态响应。首先，创建RC电路如图6-58(a)所示，R=1kΩ，C=1μF，构造如图6-57所示的输入信号。选用延迟开关，接法如图6-58(a)所示，其参数设置如图6-58(b)所示，TON为0.006s，表示接通10V时间是6ms；TOFF为0.002s，表示接通4V时间是2ms。所以开关延迟换路的顺序是：接通4V从0至2ms，再接通10V至6ms，最后接通4V。图6-57输入信号的波形选“Analysis”中的“TransientAnalysis”，弹出如图6-58(c)所示的对话框，设初始值为零，开始时间为零，

终止时间为0.01s，计算的总抽样点200，对节点3即电容电压分析。设置好后，单击右上角的“Simulate”按钮。仿真结果弹出如图6-58(d)所示。

从仿真曲线可知，结论与理论分析一致。图6-58

RC电路仿真用图电感元件的特性

·

电感电流不允许跃变

·

电感的端电压允许跃变

·

电感对于直流可以视为短路

电容元件的特性

·

电容的端电压不允许跃变

·

电容电流允许跃变

·

电容对于直流可以视为开路本章小结电感元件和电容元件是无源元件。它们能储存能量，但不能产生或消耗能量。

串联和并联电感的等效电感，可以分别采用与电阻串联和并联等效电阻相同形式的公式表示。串联和并联电容的等效电容，可以分别采用与电导串联和并联等效电阻相同形式的公式表示。

换路定律用来确定状态变量的初始值。非状态变量的初始值要用初态等效电路来确定。

全响应有