【初中竞赛资料】初三数学竞赛班讲义35讲（学生版）

初三数学竞赛班讲义

、高次根式及根式方程

二、因式分解（高级复习）

三、分式

四、一元二次方程判别式及其应用

五、一元二次方程韦达定理及其应用

六、一元二次方程整数根问题（复习）

七、高次方程

八、二元二次方程组与二元对称方程组

九、不等式综合

十、函数的性质（复习巩固）

十一、二次函数初步

十二、函数最值问题

十三、三角函数

十四、解直角三角形

十五、面积问题与面积方法

十六、直线型几何

十七、圆的基本性质

十八、两圆的位置关系

十九、共圆点问题

二十、圆综合题

二十一、点共线与线共点

二十二、平几定值问题

二十三、平儿最值问题

二十四、平几著名定理

二十五、三角形中的巧合点

二十六、数论（一）

二十七、数论（二）

二十八、组合

二十九、反证法

三十、解题思想方法

三十一、数学建模初步

三十二、应用题

三十三、测试题

三十四、联赛试卷讲解（一）

三十五、联赛试卷讲解（二）

一、高次根式及根式方程

未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方

程中的一种.解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的

结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例

性质法等.本讲将通过例题来说明这些方法的运用.

例1解方程

V3x-3+V5x-19-V2x+8=0.

例2解方程

4X2+2XV3X2+X+X-9=0.

例3解方程

-Vx+Jx+2+2Vx2+2x=4-2x.

例4解方程

瓜+力-1+&-2=g(x+y+z)・

例5解方程

x+/、=2、反

&-1

例6解方程

73X2-2X+9+73X2-2X-4=13.①

例7解方程

V2x2-1+Vx2-3x-2=J2x」+2x+3+Vx2-x+2.

例8解方程

42+x=1-Jx+1.

例9解方程

J,x+2a-Jx_-2a=x

Jx-2a+Jx+2a2a

练习

1.填空：

(1)方程(父+石X)?+7x2-5=0的根是.

⑵方程Jx?-X+2-2收-27T=3的所有根的和为

(3)方程,限T5+用？-辰玉的根是

(4)若方程后二7有两个不相等的实根，则p的取值范围是

(5)若则方程Ja-m+x=x的所有实根之和等于

2.解方程

7x2+5x-6+73X2-8x+5=3x-3.

3.解方程

2(x+Vx2-1)=(x-1+Vx+I)2•

4.解方程

+6x+2-7x2+x+2=x.

5.解方程

7x2-1+7x2+4x+3=J3x2+4x

6.解关于x的方程

x+Jl2axVa+1

----------------=---------

x-J12—xVa―1

7.化简759+3072+J66-40匹

8,化简V10+7V2+V10-7V2

9已知，1<aV3化简J/+1+2j2>-2+Ja+1

10.一知x=刎历+1）-^4（V5-1）,求为3+12%的值

V35+x+V26-x=l

11.解方程:

12.若好3+2亚，夕=3-2也已知a°+6°是一个正整数，求它的末尾数字

13.解方程x=+

二、因式分解（高级复习）

1.提公因式法

2.公式法

3.十字相乘法

4.分组分解法

5.双十字相乘法

因式分解的方法《

6.换元法

7.主元法

8.拆添项法

9.求根法、因式定理法

10.待定系数法

下面重点复习一些进阶的方法

1.运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例

如：

(l)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a'±2ab+b=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a~-ab+bJ);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再补充几个常用的公式：

⑸a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a:i+b3+c:t-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-,+an-2b+an_3b2+-+abn_2+bn_l)X+n为正整数;

(8)an-bn=(a+b)(an'-an2b+an3b2—+abn2-b"'),其中n为偶数；

(9)an+bn=(a+b)(an-l-a,v2b+an-3b2——abF”其中n为奇数.

运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择

公式.

例1分解因式：

(l)-2x5n-'yn+4x3n-1ynt2-2xn-,ynH;

⑵x3-8y3-z:l-6xyz;

(3)a~+bJ+c2-2bc+2ca-2ab;

⑷a7-a5b2+a2b5-b7.

例2分解因式：a'+b'+c。3abe.

例3分解因式：x1+xl,+xl3+,**+x2+x+l.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一

项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并

或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,

前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例4分解因式：x3-9x+8.

例5分解因式：

(1)x9+x6+x:-3;

(2)(m'-l)(n2-l)+4mn;

(3)(x+D'+Cx-D^Cx-l)1;

(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整

体来运算,从而使运算过程简明清晰.

例6分解因式：(x2+x+l)(X2+X+2)-12.

例7分解因式:

(x2+3x+2)(4X2+8X+3)-90.

例8分解因式:

(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

例9分解因式：6X4+7X3-36X2-7X+6.

例10分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

4.双十字相乘法

分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy、dx+ey+f),我们也

可以用十字相乘法分解因式.

例如I,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降鼎排列，并把y当作常数，于是上式可变

形为

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法,分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

2x(-lly+1)

所以

原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,

可得到下图：

它表示的是下面三个关系式:

(x-2y)(2x-lly)=2x~-7xy-22y\

(x-3)(2x+l)=2xz-5x-3;

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

这就是所谓的双十字相乘法.

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey4-f进行因式分解的步骤是：

(D用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列.匕要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于

原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

⑵x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

⑷6x'-7xy-3y'-xz+7yz-2z\

5.求根法

nn

我们把形如anx+a.-1x-4—+aIx4-afl(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用

f(X),g：x),…等记号表示，如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,—,

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0;

f(-2)=(-2)z-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)二0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式

f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式札经

常用下面的定理来判定它是否有有理根.

定理2

若既约分数目是整系数多项式

p

n

f(x)=aox+a/n-1+ajK^+'--+a^x+an

的根,则必有p是®的约数,q是a0的约数.特别地,当出二1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an

的约数.

我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.

例2分解因式：xf-4x2+6x-4.

例3分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.

6.待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时:一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某儿个因式，但这几个因式中的某些系数尚

未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式

恒等的性质，两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方

程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例4分解因式：x1+3xy+2y2+4x+5y+3.

例5分解因式:X-2X-27X2-44X+7.

练习

1.分解因式:

(1)x%+xn-gy?+；;

⑵x-

3

(3)X4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+-y2)

(4)(x5+x4+x3+x2+x+l)2-x\

2.分解因式:

(l)x:i+3x2-4;

⑵41口勺2+丫2；

(3)X3+9X2+26X+24;

(4)x-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2X-3X+1)-22X2+33X-1;

(2)X*+7X3+14X2+7X+1;

(3)(x+y)3+2xy(l-x-y)-l;

(4)(x+3)(x-l)(x+5)-20.

4.用双十字相乘法分解因式:

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

(2)x'-xy+2x+y-3;

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

5.用求根法分解因式:

(1)X'+X2-10X-6;

(2)X'+3X-3X2-12X-4;

(3)4X'+4X-9X2-X+2.

6.用待定系数法分解因式;

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;

(2)X*+5X3+15X-9.

7.关于x,y的二次式/+7.9+〃娟-51+43》-24可分解为两个一次因式的乘积,则m的值是

8.设px'+mx2+nx+r是X的一次式的完全立方式,求证3mr=n

9.分解因式：x5+x+l

10.分解因式：ay(b-c)+b3(c-a)+c\a-b)

11.分解因式(y-z)’+(z-x)5+(x-yf

三、分式

1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程.

2.解分式方程的一般步骤：

⑴在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的

增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验.

3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为

原方程的根，以及是否符合题意.

分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时

才有意义;也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，

这•性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，

从而对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解

答.

例1.解方程：———?-=1

x-1x+1

例2.解方程三口+*=匕2+山

x十2x+7人十3人十6

例工解方程：芸+签士警六陪

例4•解方程:詈指-1T4。

例5.若解分式方程2一9=±±1产生增根，则m的值是()

X+1X+XX

A.-1或-2B.-1或2

C.1或2D.1或-2

例7.轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中，用相

同的时间，顺流航行40千米,逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

例8.m为何值时'关于x的方程七+个=未会产生增根？

例9.化简分式：

222

2--a-?--+--3--a--+--2--a-----a-----5-----3--a-----4--a----5-+"2■a-8a..+5.

a+1a+2a-2a-3

例10.求分式

1124gl6

------+-------+-------5-+------T-+------不-------fT-

1-a1+a1+a1+a1+a1+a6

当a=2时的值.

c

------------+-------------的值

例11.若abc=l,求ab+a+1bc+b+1ca+c+1

例12化简分式:

111

x?+3x+2x'+5x+6x2+7x-12

例13化简计算（式中a,b,c两两不相等）：

2a-b-c2b-c-a2c-a-b

-------------------+--------------------+--------------------

a-ab-ac*beb-ab-be+acc-ac-be+ab

例14已知：x+y+z_3a（a740,且x,y,z不全相等），求

(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)

的值

(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2

例15化简分式:

练习

1.化简分式：

____5_x___H-------2--x------5----------7--x------1--0---

x2+x-6x2-x-12x2-6x+8

2.计算：

111

------------------+-------------------+------------------

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)

+•••+-------------1------------

(x+100)(x+101),

3.已知：

(y-z)*2+(z-x)2+(x-y)2

=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

(yz+l)(zx+1)(xy+1)

求的值.

(1+l)(y2++1)

4ab

4.已知a卢b,a卢0,b沪0,a+b户0,x=-求

a+b

2+2ax+2b

x-2ax-2b

的值.

lxyz.八-xy+yz+zx

5.如果=求刀式乃产？■的值.

6.已知：----=a,-----=b,----=c,且abc井0,求x的值.

x+yx+zy+z

7.解方程：

(1)—!—+-----!------+------!-----+…-------!------=2

A+10(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)

/-、xx2x4x八

(2)+--------+--------+-------=0

1-XI+Xl+x~\+rx

8.设正实数a、b、c满足"+爪+a="c•则代数式

1I

1+-++

JF

a+b+cp

四、一元二次方程判别式及其应用

元二次方程的根的判别式(△)是重耍的基础知识，它不仅能用丁直接判定根的情况,而且在二次三

项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容,在高中数学中

也有许多应用.熟练掌握它的各种用法,可提高解题能力和知识的综合应用能力.

1.判定方程根的情况

例1已知方程x2-2x-m=0没有实数根,其中m是实数.试判定方程x2+2mx+m(m+l)=0有无实数根.

例2已知常数a为实数，讨论关于x的方程

(a-2)'2+(-2a+l)x+a=0

的实数根的个数情况.

2.确定方程中系数的值或范围

例3关于x的一元二次方程

有实根,其中a是实数,求a—x"的值.

例4若方程

x+2(1+a)x+3a2+4ab+4b"+2=0

有实根，求a,b的值.

例5AABC的一边长为5,另两边长恰是方程

2xJ-12x+m=0

的两个根，求m的取值范围.

3.求某些方程或方程组的解

例6求方程5x25y，8xy+2y-2x+2=0的实数解.

例7解方程组

x+•方+y=l,

7x+4&・-y=2.②

4.证明不等式，求最大值和最小值

用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段,放到某个一元

二次方程的系数中去.

例8满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中，工的最大值

x是多少？

例9x,y为实数，且满足y=1^,求y的最大值和最小值.

X+x+1

例10实数a,b,c满足a+b+c=2,且对任何实数t,都有不等式

-V+2t^ab+bc+ca^9t2-18t+10,

4

求证：04a,b,.

练习

1.选择：

(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5,此方程根的情况是[]

(A)有两个不相等的实根

(B)有两个相等的实根

(。没有实根

(D)由实数m的值而定

(2)关于x的方程2kx?+(8k+l)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[]

(A)k>$(B)k>金且50

1010

(Qk=-1(D)k>-1fik^0

It)10

(3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x?-2(m+2)X+DFO的

实根个数为[]

(A)2个⑻1个

(C)0个(D)不确定

⑷方程(x+l)2+(y-2)2=l的整数解有［

(A)1组(B)2组

(04组(D)无数组

⑸若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，则判别式△=b?-4ac与平方式M=(2axo+b)’的关

系是［J

(A)A>M(B)△二M

(C)A<M(D)不确定

2.填空：

(1)关于x的方程(a?-于x2-2方+2)x+l=0

恰有一个实根,则a=—.

⑵设m是不为0的整数,二次方程mx2-(m-l)x+l=O有有理根，则m=—.

(3)当m=___时，二次方程(m'_2)x2_2(m+1)x+1-O

有两个不等的实数根.

(4)p,q是正数，如果方程x2+px+q=O的两个根之差是1,那么p=—.

⑸若x为实数,且有4y、4xy+x+6=0,则使y取实数值的所有x值的范围是

3.求方程5x2-12xy+1Oy-6x-4y+13=0的实数解.

4.解方程组

|x2+y2+3-xy-3x=0,

[x?+y2+z2-xy-yz-2zx+3=0.

22

5.已知a,b是整数,x-ax+3-b=O有两个不相等的实根,x+(6-a

)x+7-b=0有两个相等的实根,X2-F(4-

a)x+5-b=0没有实根,求a,b的值.

6.已知a是实数，且关于x的方程x-ax+a=O有两个实根u,v,求证:u2+v2>2(u+v).

五、一元二次方程韦达审理及其应用

2

如果一元二次方程ax+bx+c=O(a^O)的两根为x„x2,那么

Xi+x2=上，.这就是根与系数的关系，也称为韦达定理.

aa

反过来,如果X1,x?满足xt+x2=p,x,x2=q,则Xi,X2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根.一元二次方程

的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我们可以解决诸如已知一根求另一

根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具.

1.已知一个根，求另一个根

利用韦达定理,我们可以通过方程的一个根,求出另一个根.

例1方程(1998x)2-1997・199例1=0的大根为a,方程x24-1998x-1999=0的小根为b,求a-b的

值.

例2设a是给定的非零实数,解方程

11

x+—=

a

2.求根的代数式的值

在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧.

例3已知二次方程/-3*+1=0的两根为。，6,求：

⑴1+；(2)|a-B|；

ap

⑶a3+83;⑷a3-B3.

例4设方程4X2-2X-3-0的两个根是J和B,求4a?+2B的值.

例5已知a,B分别是方程x'+x-lR的两个根，求2a'sip的值.

例6设1元二次方程ax°+bx+c=O的两个实根的和为Si,平方和为s2,立方和为s3,求as^+bs2+csl

的值.

3.与两根之比有关的问题

例7证：如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的根之比等于常数k,则系数a,b,c必满足:

kb2=(k4-l)2ac.

例8已知xi,x?是一元二次方程

4x2-(3m-5)x-6m"=0

的两个蟋根，且巴=热，求m的值.

X,2

4.求作新的二次方程

例9己知方程2X2-9X+8=0,求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为

原方程两根差的平方.

例10设x2-px+q=o的两实数根为Q,B.

(1)求以酎为两根的一元二次方程；

(2)若以a\B3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程.

5.证明等式和不等式

利用韦达定理可以证明一些等式和不等式,这常常还要用判别式来配合.

例11已知实数x,y,z满足

x=6-y,z2=xy-9,

求证：x=y.

例12若a,b,c都是实数，且

a+b+u=O,abc=l,

则a,b,c中必有一个大于g.

例13知x„x?是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根.

(1)是否能适当选取a的值，使得(XI-2X2)(X2-2x1)的值等于：？

⑵求使五+左的值为整数的a的值(a为整数).

练习

1.选择：

⑴若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，则判别式△=b?-4ac与平方式M=(2axo+b)“'的关

系是[]

(A)A>M(B)△二M

(C)A=<M⑴)不确定

(2)方程x，px+1997=0恰有两个正整数根xbx2,则

P的值是

(x】+苑+1)[]

(A)l(B)-l(Q-1(D)|

(3)设X],x?是方程x?+x-3=0的两个根，那么x；-4x；+19的值是[

]

(A)-4(B)8

•06(D)0

(4)已知方程2x2+kx-2k+l=0的两实根的平方和为二，则k的值f「

4为[]

(A)3(B)-11

©3或-11(D)11

2填空.

《如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍,那么,p,q满足的关系式是.

(2)已知关丁x的一元二次方程日/十bx十c=0没有实数根，甲由丁看错了二次项系数，误求得两根

为2和4,乙由于看错了某一项系数的符号，

误求得两根为-1和4,那么竺主=.

a-----------

(3)方程x?・ax・a=O的根X],叼满足关系式x；+x；+x：x；=75,则

1993+5/+9a'=_______.

(4)已知a是方程X2-5X+1=0的一个根,那么a”a-4的末位数是_____.

(5)已知方程/-Q+73泣+2、5=0的一根为直角三角形的斜边口另一根为直角边a,则此直隹三角

形的第三边b=______.

3.已知a,B是方程x2-x-l=0的两个实数根,求aB的值.

4.作一个二次方程,使它的两个根a,B是正数，并且满足关系式

a〜6+外_31J_+1„Z

a2+支6+俨43'a62

5.如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4：5,方程的判别式的值为3,求a,b的值.

6.设实数s、t分别满足19『+99s+i=0/+99r+19=0,并且s,",

求丝也里的值

7.设a、b、c、d为互不相等的正实数，且卜-犬)(〃2-户)=1,代-2M2-/)=1

求〈J//—H

8.己知X,y均为实数,且满足外+工+户17,/3，+92=66,求/+山，+]2),2+盯3+,4的值

9.已知一直角三角形两直角边的长分别为a、b(aWb)均为整数，且a+h=〃z+2,"=4〃z,求这个直角

三角形的三功长

10.已知工+y=5/2=xy+y-9,於+2y+3z

11.已知aABC的三边a、b、c满足：b+c=8力c=/-12。+52,试确定^ABC的形状

5.

六、一元二次方程整数根问题(复习)

常用方法：

(1)因式分解法：有些整系数一元二次方程可用因式分解求出两根，

再用整除知识求解即可

⑵判别式法：整系数一元二次方程有整数根,常用判别式为平方数或通过判

别式确定系数的变化范围来处理

(3)利用韦达定理：由两根之和、积的表达式中消去字母参数，将问题转化为

整数问题,尤其多用于系数不为整数的时候

(4)变更主元法：用上述方法均不方便时,看成是关于参数的方程来处理

例1m是什么整数时，方程

(m2-l)x2-6(3m-l)x+72=0

有两个不相等的正整数根.

例2已知关于x的方程

a'x2-(3c?-8a)x+2aJ-13a+15=0

(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.

例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程

mxz-(m-1)x4-1=0

有有理根，求m的值.

例4关于x的方程

ax2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一个整数解，旦a是整数，求a的值.

例5已知关于x的方程

x'+(a-6)x+a=0

的两根都是整数，求a的值.

例6求所有有理数r,使得方程

rx"+(r+1)x+(r-l)=0

的所有根是整数.

例7已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程

ax2+2(2a-l)x+4(a-3)=0

至少有一个整数根，求a的值.

22

例8已知方程x+bx+c=0与x+cx+b=0各有两个整数根xb沟和x；,x；,且X/2〉。,X；X；〉0.

(1)求证：X]<0,x2<0,x；<0,x；<0;

⑵求证:bTWcWb+l;

(3)求b,c的所有可能的值.

练习

1.填空：

则-----------的值是

⑴方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根xbx2,J1+1)仪2+1)

(2)已知k为整数，且关于x的方程

(k-l)x2-3(3k-l)x+18=0

有两个不相同的正整数根,则k二

⑶两个质数a,b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0的两个根，则E=——

(4)方程x24-px+q-0的两个根都是正整数，并且p+q-1992,则方程较大根与较小根的比等于

(5)已知方程(a?-l)x2-2(5a+l)x+24=0有两个不相等的负整数根,则整数a的值是

2.设m为整数，且4VmV40,又方程

(x-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0

有两个整数根,求m的值及方程的根.

3.已知关于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0

的两个根都是正整数,求整数m的值.

222

4.求使关于x的方程ax4-ax+l-7a=0的两根都是整数的所有正数a.

5.求所有的整数a,使得关于x的二次方程

ax'4-2ax4-a-9=0

至少有一个整数根.

6.当k为何整数时，关于x的方程(klk)x-(l+k)x・2=0

(1)至少有•个整数根(2)有两个整数根

7.当m为何整数时:关于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0有整数解

8.已知关于x的方程mx2+(m+l)x+m-1=0的根为整数,求实数m的值

9.已知关于x的方程ax?・2（a-3）x+a-2=（）,当a为何整数时：（D方程至少有一整数根⑵方程有两

整数根

10.关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两整数根恰好分别比方程x?+ax+b=o的两根都大1,试

求a+b+c的值

11.是否存在整数a、b、c使得关于x的方程ax'+bx+cuO及(a+1)X，(b+l)X+C+l=0均有两个整

数根

12.求使关于x的方程(a+l)x\G+l)x+2a3-6=()的根均为整数的所有整数a

13.已知关于x的方程x2+ax+b+l=0的两根均为正整数,求证：a2+b?为合数

14.设P是大于2的质数,k为正整数,若函数y=X?+px+(k+l)p-4的图像与X轴的两个交点的横坐

标至少有一个为整数，求k的值

15.若m为整数,且关于X的方程n?x+(m+l)x+l=()有有理根,求m的值

16.当k为何值,关于x的方程k2x2+(3k+l)x+2=0有有理根

七、高次方程

•股地,我们把次数大于2的整式方程,叫做高次方程.由两个或两个以上高次方程组成的方程

组,叫做高次方程组.对于一元五次以上的高次方程,是不能用简单的算术方法来求解的.对于一元五

次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用〃±1判根法"、〃常数项约数法”、〃

倒数方程求根法”、〃双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换

元、降次，转化成一次或二次方程求解.

1.±1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零,则1是方程的根;如果偶次项系数之和等于奇

次项系数之和，则7是方程的根.求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别

除以(xT)或者(x+1),降低方程次数后依次求根.〃土1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速

的重要方法，一•定要熟练掌握运用.

例1解方程x,+2x-9x-2x+8=0

解：观察方程,因为各项系数之和为：1+2-9-2+8=0(注意：一定把常数项算在偶数项系数当中)，

根据歌诀〃系和零,+1根”，即原方程中可分解出因式(xT),

,•*(x'+2x-9x2-2x+8)(x-l)=xs+3x2-6x-8

观察方程x、3x2-6x-8=0,偶次项系数之和为：3-8=-5;奇次项系数之和为：1-6=-5,根据歌诀〃偶

等奇，根T”，即方程中含有因式(x+1),(X3+3X2-6X-8)(x+l)=x2+2x-8,对一元二次方程

X2+2X-8=0有(x+4)(x-2)=0,原高次方程x*+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(xT)(x+1)(x-

2)(x+4)=0,即:当(x—l)=O时，有XLI;当(x+D=O时，有X2=-1;当(x—2)=0时，有xE;当(X+4)=0

时,有x,=-4

点拨提醒：在运用〃±1判根法"解高次方程时，一定注意把“常数项”作为〃偶次项”系数计算.

2.常数项约数求根法

根据定理：〃如果整系数多项式a4+anTxi+…+&X+&可分解出因式PX-Q,即方程anx1+an遥叫

…+aix+a0=O有有理数根&(P、Q是互质整数)，那么，P一定是首项系数①的约数,Q一定是常数项

P

%的约数”，我们用〃常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法.

〃常数项约数求根法”分为两种类型：

第一种类型：首项系数为L对首项(最高次数项)系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约

数,代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数,就是方程的根.依次用原方程除以带根的因式,逐次降

次,直至将高次方程降为二次或一次方程求解.

例1解方程X'+2X3-4X-5X-6=0

例2解方程3X3-2x2+9x-6=0

3.倒数方程求根法

定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程.如ax'+bx3+cx2+dx+e=0,其中，a=e,

b=d或者a=-e,b=-d

性质：倒数方程有三条重要性质：

(1)倒数方程没有零根；

(2)如果a是方程的根，则1也是方程的根；

(3)奇数次倒数方程必有一个根是T或者1,分解出因式(x+1)或(xT)后降低一个次数后的方

程仍是倒数方程.

倒数方程求解方法：

如果ax*+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即xW0,所以,方程两边同除以

X?得：a(x2+-L)+b(x+l)+e=0,令x+l=y,乂?+!=y?—2,即原方程变为：

XXX

ay2+by+(e-2a)=0,解得y值，再由x+-=y,解得x的值.

例1解方程2X*+3X3-16X2+3X+2=0

例2解方程6/-4/-3xW-4x-6=0

例3：X'+5X3+2X2+20X+16=0

4.双二次方程及推广形式求根法

双二次方程有四种形式：

第一种是标准式，如：ax4bx?+c=0，此时设丫=(原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0,求

出y值在代入(之值,从而求出x之值.

第二种形式双二次方程的推广形式.

/IO：(ax2+bx+c)2+m(ax2+bx+c)+d=0,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程

y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y

从而求出原方程的根x之值.

第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时,方程左边按照〃创造相同的多项式,换元替换”

的要求，将(x+a)(x+c);(x+b)(x+d)结合(一一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合)，展开相乘,

创造相同的多项式(ax?+bx+c)或成比例的多项式m(ax、bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含

y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入ax'+bx+c=y求x之值.

第四种形式是(x-a)」+(x-b)的形式，此时，将〃-a"换成〃+b”或将〃-b”换成〃+a"，利用y=x+

(-〃)+(-"),消去*的三次项和一次次变成双二次方程人+生心『+仁一巴心丫的形式求解.

2I2JC2)

例1解方程X'+3X2-10=0

例2解方程(X2-3X+2)2=9X-3X2-2

例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x?

例4解方程(x-6)'+(x-8)J16

练习

1、解方程x3-9x2+20x=0

2、解方程x4x4x+16=0

3、解方程x1-x20=0

4、解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0

5、解方程(x2+3x)(x2+3x+2)=120

6、解方程x4+5x3+2x2+5x+1=0

7、解方程x3-10x2+9x=0

8、解方程x3-3x2-6x+18=0

9、解方程5x'-21x2+4=0

10、解方程（6x27x)2-2(6x7x)3=0

11>解方程(x2-2x+3)2=4x“-8x+9

12、解方程(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=40

八、二元二次方程组与二元对称方程组

在教科书上,我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解

法.利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题.本讲再介绍一

些解方程组的方法与技巧.

1.二元二次方程组

解二元二次方程组的基本途径是〃消元”和〃降次”.

由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的

二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法.

如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项.

例1解方程组

2x2+4xy-2x-y+2=0,①

’3x?+6xy-x+3y=0.②

例2解方程组

A/-4xy+y?+2x-y+2=0,®

x2-2xy-y2+x-2y+4=0.②

例3解方程组

3+/=5,①

2x2-3xy-2y2=0.②

例4解方程组

3x2-y2=8,①

x2+xy+y2=4.②

2.二元对称方程组

方程中的未知数x,y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程.例如

x2-5xy+y2-3x-3y=7,

:1

-+—=9,Jx+3+Jy+3=5

xy

等都是二元对称方程.

由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组.例如

x2+y2+x+y=18,

x2+xy+y2=19；

x2+3xy+/-4x-4y+3=0,

{xy+2x+2y-5=0

等都是二元对称方程组.

我们把

x+y=a,

{xy=b

叫作基本对称方程组.基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解.

例5解方程组

x+y=5,(!)

xy=4.②

例6解方程组

x+xy+y=2+3贬,

x2+y2=6.

例7解方程组

x+y=10.②

例8解方程组

x2+2xy-10x=0,①

y2+2xy-10y=0.②

例9解方程组

(J5K+++J4y+5-6,①

练习

1.填空：

(1)方程组

2

x.2y<y=l,

2x2-4y2+x=6

的解有组.

(2)若x,y是方程组

1995x+1997y=5989,

1997x+1995y=5987

的解，则*

(3)已知3a+b+2c=3,且a+3b+2c=l,则2a+c=

(4)已知实数x,y,z满足方程组

8x+13y+13z=154,

13x+8y+13z=154,

43x+36y+87z=846,

则xyz二.

2.解方程组：

*+3xy+y?+2x+2y=8,

(1)(2x2+2y2+3x+^=14；

x+y+xy=11,

(2)〈2o

x2y+xy2=30；

x+y-z=4,

(3)卜2+y2-z』2,

x3+y3-z3=34.

3.设a,b,c,x,y,z都是实数.若

a2+b2+c2=25,

x2+y2+z2=36,

ax4-by+cz=30,

+a+b+cAAH

求一I的仅

4.已知一元二次方程

a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=0

有两根0,1,求a：b：c.

5.(1)解方程组

x+y+z=18,

中=学=中.⑵已知二=，=3=匕救的值.

I345xyz

九、不等式综合

绝对值不等式

14第业+小14+网

14T4业那I4+W

取整函数(高斯函数)：不超过X的最大整数

性质一：[x]KxV[x]+l

当且仅当X为整数时取到等号

性质二：[〃+x]=〃+[x](n为整数)

[x+y]>[A]+[.y]

若x之0,2。，则[x•y]W[x]»[y]

设a2b,c2d则ac+bdN；(a+〃)(c+d)

常用方法：作差法、作商法比较大