【2018中考数学真题+分类汇编】一期42综合性问题试题含解析【2018数学中考真题分项汇编系列】

综合性问题

一、选择题

1.（2018•湖北省孝感・3分）如图，AABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，NBAD=90°,AE_LBD于点E,

连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH_LCD交BD于点H.则下列结论：①NADO15。；②AF;AG；③AH=DF；④

△AFG^ACBG：⑤AF=（“-1）EF.其中正碓结论的个数为（）

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知ACAD是等腰三角形且顶角NCAD=15D°,据此可判断；②求出NAFP和

NFAG度数，从而得出NAGF度数，据此可判断；③证△ADFgZ\BAH即可判断；④曰/AFG=NCBG=60°、ZAGF=ZCGB

即可得证；⑤设PF=x,则AF=2x、AP=AyAF2_pF2=V3x>设EF=a,由△ADFgaBAH知BH=AF=2x,根据4ABE是等腰

直角三角形之BE二AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAFs^EAH得里处，从而得出a与x的关系即可判断.

EHAE

【解答】解：:△ABC为等边三角形，4ABD为等腰直角三角形，

AZBAC=60°、ZBAD=90°、AC=AB=AD,ZADB=ZABD=45°,

•••△CAD是等腰三角形，且顶角NCAD=150°,

・・・NADC=15°,故①正确;

VAE1BD,即NAED=90°,

/.ZDAE=45°,

：.ZAFG=ZADC+ZDAE=60°,NFAG=45°,

AZAGF=75°,

由NAFGW/AGF知AFWAG,故②错误；

记AH与CD的交点为P,

D.

由AHJ_CD且NAFG=60°知NFAP=30°，

则NBAH=NADC=15°,

在AADF和ABAH中，

'NADF二NBAH

:DA=AB，

ZDAF=ZABH=45°

AAADF^ABAH（ASA）,

・・・DF=AH,故③正确；

VZAFG=ZCBG=60°,ZAGF=ZCGB,

AAAFG^ACBG,故④正确；

在RtaAPF中，设PF=x,则AF=2x、AP=^AF2_pF2=V3x,

设EF=a,

VAADF^ABAH,

・・・BH=AF=2x,

△ABE中，VZAEB=90°、ZABE=45°,

.\BE=AE=AF+EF=a+2x,

AEH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

/.△PAF^AEAH,

.PFAPnnx-V3x

EHAEaa+2x

整理，得：2x2=（V3~1）ax,

由xWO得2x=（V3-1）a,即AF=（5・1）EF,故⑤正确；

故选：B.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与

相似三角形的判定与性质等知识点.

2.（2018*山东潍坊・3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，ZB=60°,动点P以1厘米杪的速度自A点出发

沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P、Q同时出发

运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（)

【分析】应根据0WtV2和2<tV4两种情况进行讨论.把t当作己知数值，就可以求出S,从而得到函数的解析式,

进一步即可求解.

【解答】解：当0WtV2时，S=2tx1x（4-t）=-V3t2+4V3t：

2

当2WIV4时，S=4X返X（4-t）=-2V3t+8V3；

2

只有选项D的图形符合.

故选：D.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键.

3.（2018•安徽・4分）如图，直线1］、％都与直线1垂直，垂足分别为M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为亚，对

角线AC在直线/上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿1向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距

离为x,正方形ABCD的边位于卜匕之间分的长度和为丫，则y关于x的函数图象大致为（）

【答案】A

【解析】【分析】由已知易得AC=2,ZACD=45°,分OWxWl、1<XW2、2GW3三种情况结合等腰直角三角形的性质

即可得到相应的困数解析式，由此即口」判断.

【详解】由正方形的性质，已知正方形ABCD的边长为电，易得正方形的对角线AC=2,ZACDM50,

如图，当OWxWl时，y=2必二=2亿，

如图，当l<x<2时，y=2扬+2亚=2扬（m+n）=2亚,

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，结

合图形正确分类是解题的关键.

4.（2018•浙江舟山-3分）欧几里得的《原本》记载，形如x?+ax=b?的方程的图解法是；画RtAABC,使NACB=90°,

BC=号，AC=b,再在斜边AB上截取BD=号。则该方程的一个正根是（

A.AC的长

B.AD的长

C.BC的长

D.CD的长

【考点】一元二次方程的根，勾股定理

【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=(AD+BD)2,代入b和a即可得到答案【解析】【解答】解：在RtAABC

中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=(AD+BD)2,

因为AC=b,BD=BC5,

所以「(号『=(3+号J

整理可得AD2+aAD=b2,与方程x?+ax=b〉相同，

因为AD的长度是正数，所以AD是x?+ax=b〉的一个正根

故答案为民

【点评】本题考查了一元二次方程的根与勾股定理的综合运用，注意D是x?+ax=b2的一个正根.

5.(2018・重庆・4分)如图，已知力8是。的直径，点产在物的延长线上，加与。相切于点〃，过点8作如

的垂线交⑶的延长线于点C,若O的半径为4,BC=6,则处的长为

A.4B.2\/5C.3D.2.5

9题图

【考点】圆的切线、相似三角形.

【解析】作明L&7于点〃易证△尸叱△阳G.•P.UO=±0HM,...2P4L+_i4=24,...e4=4

PBBCPA+86

【点评】此题考查圆切线与相似的结合，属于基础题

x-\1+x

3.(2018・重庆(A)-4分)若数。使关于大的不等式组(三一,亍有且只有四个整数解，且使关于y的方程

5x-2>x+cr

*+且=2的解为非负数，则符合条件的所有整数。的和为()

y-11-y

A.-3B.-2C.1D.2

【考点】不等式组和分式方程的应用

【分析】解关于x的不等式组，根据题意求出。的取值范围，然后解关于V的方程，

排除分式方程无解的情况，结合不等式组的结果，找出符合条件的所有整数a并求其和.

x-l1+xx<5

~2~<^~得.则0</41,解得

【解答】解不等式《、c+2

x>------4

5x-2>x+a4，由于不等式有四个整数解，根据题意,

—2<a<2>解分式方程'+"+2"=2y=2-aa<2

y-i{~y得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式

-2<a<2Ra^\-1,0,2

组的结果有a的取值范围为，又a为整数，所以a的取值为，和为1.故选C

【点评】此题考查不等式组和分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题

二.填空题

1.（2018•浙江宁波-4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以点P

为圆心，PM长为半径作OP.当G）P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4立.

【考点】切线的性质、正方形的性质、勾股定理

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当©P与直线CD相切时；如图2中当。P与直线AD相切时.设切点为K,

连接PK,则PK_LAD,四边形PKDC是矩形；

【解答】解：如图1中，当。P与直线CD相切时，设PC=PM=m.

A

在oRt△PBM中，VPM2=BM2+PB2,

/.X2=42+(8-x))

/.x=5,

/.PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如图2中当。P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK_LAD,四边形PKDC是矩形.

/.PM=PK=CD=2BM,

ABM=4,PM=8,

在RtZXPBM中，PB=^g2_42=4V3.

综上所述，BP的长为3或4伤.

【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学

会利用参数构建方程解决问题.

2.（2018•浙江宁波・4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2,/B是锐角，AE_LBC于点E,M是AB的中点，连结MD,

ME.若NEMD=90°,则cosB的值为6T.

一2一

A,D

n/

BEC

【考点】菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质.

【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.

【解答】解：延长DU交CB的延长线于点H.

A_______D

H...........BEC

•・•四边形A3CD是菱形，

.•.AB=BC=AT'=2,AD/7CII,

:.ZADM=ZH,

VAM=BM,ZAMD=ZHMB,

/.AD=HB=2,

VEMXDH,

/.EH=ED,设BE=x,

VAE±BC,

；.AE_LAD,

:.ZAEB=ZEAD=90°

VAE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

r.22-x2=(2+x)Z-2\

z.x=V3-lag-V3-1(舍弃)，

AB2

故答案为此L.

2

【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

3.（2018•湖北荆门・3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=K（k>0,x>0）的图象经过菱形OACD的顶点

x

D和边AC的中点E,若菱形OACD的边长为3,则k的值为_2加

【分析】过D作DQJ_x轴于Q,过C作CMJ_x轴于M,过E作EF_Lx轴于F,设D点的坐标为（a,b）,求出C、E的

坐标，代入函数解析式，求出a,再根据勾股定理求出b,即可请求出答案.

【解答】解：过D作DQ_Lx轴于Q,过C作CM_Lx轴于M,过E作EF_Lx轴于F,

设D点的坐标为（a,b）则C点的坐标为（a+3,b）,

•・・E为AC的中点,

EF』MJb，AF工M=L）Q=L

22222

E点的坐标为（3+工，lb）,

22

把I）、E的坐标代入y=K得：k=ab=（3+la）」4）,

x22

解得：a=2,

在RtZ\DQO中，由勾股定理得:a+b2=32,

即22+9=9,

解得：b=V5（负数舍去），

k=ab=2

故答案为：2证.

【点评】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等知识点，能得出关于a、b的方程是

解此题的关键.

4.（2018•山东潍坊・3分）如图，正方形ABCD的边K为］,点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴

的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置，B'C'与CD相交于点M,则点M的

坐标为（-1,近）.

-------3-

【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB'=1、/BAB'=30°、NB'AD=60°,证EtAADMgRtAAB'M得NDAM二!/

2

B'AD=30°,由DM=ADtanNDAM可得答案.

•・•将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D',

AAD=AB,=1,NBAB'=30°,

AZB,AD=60°,

在RtAADM和RtZWM中，

...[AD=AB'

,lAM=AM'

.*.RtAADM^RtAAB/M(HL),

・・・NDAM二NB'AM二工NB'AD=30°,

2

工DM=ADtarZDAM=1X

33

，点M的坐标为（・1,1），

3

故答案为：（・1,退）.

3

【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角

形的判定与性质及三角函数的应用.

5.（2018•湖北省孝感・3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1,1）,点B在x轴

IF半釉卜.点D在第二象限的双曲线y=2卜.过点C作小〃乂轴交双曲线于点E,连接BE.则ABCF,的面积为7

【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH_Lx轴，过A作AG_LGH,过B作BM_LHC于M,证明4AGD丝ADHCg

△CMB,根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1,由DG=BM,列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积

公式可得结论.

【解答】陋：过D作GH_Lx轴，过A作AG_LGH,过B作BMJ_HC丁M,

设D(x,A),

X

•・•四边形ABCD是正方形，

.\AD=CD=BC,ZADC=ZDCB=90°,

易得△AGDgZ\DHCgACMB,

.\AG=DH=-x-1,

ADG=BM,

A1--1-x-A,

XX

x=-2,

AD(-2,-3),CH=DG=BM二1-邑4,

-2

VAG=DH=-1-x=l,

，点E的纵坐标为-4,

当y=-4时，x=-二，

2

.♦・E(-Z-4),

2

AEH=2-W=L

22

ACE=CH-EE=4-)工，

22

:.SAUEB=1£E*BM=^X-Lx4=7；

222

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题.

6.（2018•山东泰安・3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'

的延长线恰好过点C,则sinNABE的值为_逗」.

【分析】先利用勾股定理求出A'C,进而利用勾股定理建立方程求出AE,即可求巴BE,最后用三角函数即可得出结

论.

【解答】解：由折叠知，A'E=AE,A'解AB=6,NBA'E=90。，

，NBA'090°,

在RlZ\A'CB中，A*C=^BC2_A/B2=8,

设AE=x,则A'E=x,

JDE=10-x,CE=A'C+A*E=8+x,

在RtaCDE中，根据勾股定理得,（10-x）2+36=（8+x）2,

:.x=2,

AAE=2,

在RlZXABE中，根据勾股定理得，

BE=^AB2+AE2=2V10»

...sinZ>A.BnEr=-AiE=^T¥10,

BE10

故答案为：逗.

10

【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键.

7.（2018•山东泰安・3分）如图，在aABC中，AC=6,BC=10,tanC=W,点D是AC边上的动点（不与点C重合），

过D作DE_LBC,垂足为E,点F是BD的中点，连接EF,设CD=x,ZXDEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为

【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出ABED的面积即可解决问题.

【解答】解：(1)在RtaCDE中，tanC=S,CD=x

4

DE=-5J(,CE=AX,

55

/.BE=10--lx,

5

ASABEF-^X(10-AX)-SX=・&X?+3X.

25525

VDF=BF,

:.S=-^-SABED=

2

故答案为S=

【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.(2018•山东威海・3分)用若干个形状、天小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的

正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围

成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为44-16%.

□图①图②图③

【分析】图①中阴影部分的边长为J正2、代，图②中，阴影部分的边长为传2a；设小矩形的长为a,宽为b,依

据等量关系即可得到方程组，进而得出a,b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积.

【解答】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为近025,图②中，阴影部分的边长为证=2加；

设小矩形的长为a,宽为b,依题意得

ra=b+2V3

a=2b+2&'

解得产隼邛,

b=273-25/2

・••图③中，阴影部分的面积为(a-3b)2=(4V3-2V2-673+672)2=44-16代，

故答案为：44・16泥.

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关

的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

三.解答题

1.(2018•山西・13分)综合与探究

11

如图，抛物线y=2一§%一44与X轴交于力”两点(点力在点8的左侧)与y轴交于点C,连

接

AC,BC.英、P是第四象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为加，过点尸作PMLx轴，垂足为点M,

PM交BC于点、Q,过点尸作月?〃然交x轴于点£,交火于点尸.

(1)求4,B,C三点的坐标；

(2)试探究在点尸的运动的过程中，是否存在这样的点0,使得以4,C,0为顶点的三角形是

等腰三角形.若存在，请算蝌出此时点0的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)请用含m的代数式表示线段〃的长，并求出R为何值时。尸有最大值.

【考点】几何与二次函数综合

【解析】

11…

(1)解：由y=0,得2-3工-4=。

解得司=-3,丹=4.

/.点/，笈的坐标分别为A(-3,0),B(4,0)

由X=0,得y=_4.点C的坐标为C(0,-4).

(2)答：Q/柒，孑—4),Q(1,-3).

22

（3）过点尸作尸G1困于点G.

则FG//x轴.由B(4,0)C（0,-4）得8仍等腰直角三角形.

x/2

Z.OBC=Z.QFG=45°.GQ=FG=rFQ.

乙

PE//ACtZl=Z2.

FG//A■轴，Z2=Z3.Zl=Z3.

Z.FGP=Z.AOC=9(F,△/必a

..型■包，即空■以

AOOC34

GP=^FG=Y^FQ=殍FQ

QP=GQ+GP=号FQ+^^

•・••Lx轴.点P的横坐标为miMBQ=45°.

QM•MB•A-mPM---m2+—m+4.

33

:.QP=PM-QM=—+4—(4—m)——^/w2+g/n.

Q尸有最大值.

4注

2时,Q户石最大值.

2.（2018•山东枣庄・10分）如图1,已知二次函数y=ax2+^-x+c（aWO）的图象与y轴交于

2

点A（0,4）,与x轴交于点B、C,点C坐标为（8,0）,连接AB、AC.

（1）请直接写出二次函数y=ax2+^-x+c的表达式；

2

精品文档15

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时

点N的坐标；

(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM〃AC,交AB于点

M,当AAMN面积最大时，求此时点N的坐标.

【分析】(1)根据待定系数法即可求得；

(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC10,

然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角二角形.

(3)分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线

与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MDJ_x轴于点D,根据三角形相似对应

边成比例求得Ml)-—(n+2),然后根据-SABMN

5

得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可.

【解答】解：(1)•・•二次函数尸a»+昌(+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、

2

C,点C坐标为(8,0),

.(c=4

l64a+12+c=0,

解得《a—

x=4

，抛物线表达式：y=-L、Sx+4；

42

(2)△ABC是直角三角形.

令y=0,则--X2+-^X+4=0,

42

解得Xi=8,X2=-2,

・••点B的坐标为(-2,0),

由已知可得，

在RtAABO中AB2=B02+A02=22+42=20,

精品文档16

在RtAAOC中AC2=A02+C02=42+82=80,

又・・・BC=OB+OC=2+8:10,

AffiAABC中AB2+AC2=20+80=10=BC2

/.△ABC是直角三角形.

（3）VA（0,4）,C（8,0）,

••AC]42+8

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N,此时N的坐标为（・8,0）,

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N,此时N的坐标为（8-4泥，0）或（8+4泥,

0）

③作AC的垂直平分线，交x轴于N,此时N的坐标为（3,0）,

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标

设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD_Lx轴于点D,

AMD/ZOA,

/.△BMD^ABAO,

・BM.MD

••前项’

VMN/7AC

・BM_BN

•言而，

・OD.BN

一瑞而，

V0A=4,BC=10,BN=n+2

・・・MD=Z(n+2),

5

,**SZ\AWFSZSABN_SzsBMX

=_LBN・OA-JUSWMD

22

精品文档17

=工（n+2）X4-工x2（n+2）2

225

=--（n-3）2+5,

5

当n=3时，Z\AMN面积最大是5,

・・・N点坐标为（3,0）.

・••当AAMN面积最大时,N点坐标为（3,0）.

【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键

是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的

判定和性质以及函数的最值等.

3.（2018•山东淄博・8分）如图，以AB为直径的O0外接于AABC,过A点的切线AP与

BC的延长线交于点P,NAPB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BI）（AEVBD）的

长是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根.

（1）求证：PA・BD=PB・AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求

其面积；若不存在，说明理由.

【考点】MR：圆的综合题.

【分析】（1）易证NAPE二NBPD,ZEAP=ZB,从而可知△PAEs^PBD,利用相似三角形的性

质即可求出答案.

PAPB

（2）过点D作DF_LPB于点F,作DG_LAC于点G,易求得AE=2,BD=3,由（1）可知：=,

23

从而可知COS/BDF=COSNBAC=COS/APC=2,从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形

3

ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.

【解答】解:（1）〈DP平分NAPB,

:.ZAPE=ZBPD,

・・・AP与€）0相切,

精品文档18

工/BAP=NBAC+NEAP=90°,

〈AB是。0的直径，

AZACB=ZBAC+ZB=90°,

AZEAP=ZB,

/.△PAE^APBD,

.PAPB

••施而

•••PA・BD=PB・AE；

(2)过点D作DF_LPB于点F,作DG_LAC于点G,

〈DP平分/APB,

AD±AP,DF_LPB,

AAD=DF,

VZEAP=ZB,

:.ZAPC=ZBAC,

易证：DF〃AC,

/.ZBDF=ZBAC,

由于AE,BD(AE<BD)的长是x?・5x+6=0,

解得：AE=2,BD=3,

・•.由(1)可知：:A,

23

・,.COSNAPC=£2,

PB3

:.cosZBDF=cosZAPC=—,

3

•・--D-F-二2,

BD3

/.DF=2,

ADF=AE,

•••四边形ADFE是平行四边形，

VAD=AE,

・・・四边形ADFE是菱形，

此时点F即为M点，

•・・COSNBAOCOSNAPC=2,

3

.,•sinNBAcH^,

3

精品文档19

・DGV5

•----=---'

AD3

/.DG=-^Z^,

3

・•・在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形

其面积为：DG・AE=2x22医里5

33

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判

定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能

力.

4.（2018•山东淄博・9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,

在4ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC

的中点M,N,G,连接G\LGN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG=NG；位置

关系是MGJNG.

（2）类比思考:

如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中

AB>AC,其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向4ABC的内侧分别作等腰直角三

角形ABD,ACE,其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明.

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】（1）利用SAS判断出△ACDgZXAEB,得出CD=BE,ZADC=ZABE,进而判断出NBDC+

ZDBH=90°,即：NBHD=90°,最后用三角形中位线定理即可得出结论；

精品文档20

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出MG二NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.

【解答】解：（1）连接BE,CD相较于H,

•••△ABD和4ACE都是等腰直角三角形，

AAB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=99°

:.ZCAD=ZBAE,

/.△ACD^AAEB（SAS）,

/.CD=BE,NADONABE,

:.ZBDC+ZDBH=ZBDC+ZABD+ZABE=ZBDC+ZABD+ZADC=ZADB+ZABD=90",

/.ZBHD=90°,

ACD1BE,

丁点M,G分别是BD,BC的中点，

.•.MGX-ICD,

2

同理：NG幺%E,

2

AMONG,MG±NG,

故答案为：MG=NG,MG1NG；

D£DA

（2）连接CD,BE,相较于H,

同⑴的方法得,MG=NG,MG1NG；

（3）连接EB,DC,延长线相交于H,

同⑴的方法得,MG=NG,

同（1）的方法得，△ABE^^ADC,

:.ZAEB=ZACD,

:.ZCEH+ZECH=ZAEH-ZAEC+1800-ZACD-ZACE=ZACD-45°+180°-ZACD-

45°=90°,

・・・NDHE=90°，

精品文档21

同⑴的方法得,MG1NG.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本

题的关键.

5.(2018•山东淄博・9分)如图，抛物线y=ax2+bx经过aOAB的三个顶点，其中点A(l,«),

点B(3,・“)，0为坐标原点.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点，且nVm,求t的取值范围；

(3)若C为线段AB上的一个动点，当点A,点B到直线0C的距离之和最大时，求NB0C

的大小及点C的坐标.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)将已知点坐标代入即可；

(2)利用抛物线增减性可解问题；

(3)观察图形，点A,点B到直线0C的距离之和小于等于AB；同时用点A(1,5),点B

(3,­“)求出相关角度.

【解答】解：(1)把点A(1,乃)，点B(3,-V3)分别代入y=ax?+bx得

fV3=a+b

I-^3=9a+3b

解3r_r_2AV3

"竽x2挈X

(2)由(1)抛物线开口向下，对称轴为直线x=^

4

当x＞也时，y随x的增大而减小

4

精品文档22

,当t>4时，n<m.

（3）如图，设抛物线交x轴于点F

分别过点A、B作AD_LOC于点D,BE_LOC于点E

•••AD+BE2AC+BE=AB

・••当OC_LAB时，点A,点B到直线0C的距离之和最大.

VA（1,6），点B（3,-V3）

AZA0F=60°,ZB0F=30°

:.ZA0B=90°

:.ZAB0=30°

当OC_LAB时，ZB0C=60°

点C坐标为（立返）.

22

【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性.解答问题时

注意线段最值问题的转化方法.

6.（2018•四川成都・9分）在田」.加。中，Z-15C=90°,•匹用,HC=2,过

点8作直线mHAC,将JABC绕点、C顺时针得到dA'B'C（点、$B的对应点分别

为1,8'）射线CAf,C5'分别交直线加于点P,

Q

（1）如图1,当尸与X'重合时，求N4C4'的度数；

⑵如图2,设1》与5c的交点为M,当M为18'的中点时，求线段尸。的长;

精品文档23

(3)在旋转过程时，当点尸，。分别在CAf,C5'的延长线上时，试探究四边形

尸.’5'0的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形尸,「5'0的最小面积；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)由旋转的性质得：AC=A'C=2.VZJCB=90°,milAC,

.r—J/C-庭-更

/./.A'BC=90°,・,cos4-2,/.ZJ*CB=30°,

・•・ZJCJ'=60°.

(2)为H8的中点，/.由旋转的性质得：ZA/J*C=ZJ,

/.ZJ="CM.

tanZPCB=tanZJ="y：.PB=^-BC=

vtanZOManZPC^f,­J邛喟=2

1・PQ=PB+BQ=W

(3)•；Sp、B0=SjpC0-Sj^cB=Sjpcg一心,

1回

•最小，S/>C0即最小，・5尸°x5C="y尸2

法一：(几何法)取尸。中点G,则/尸。。=90。.

・••CG=^PO

当CG最小时，尸。最小，「・CGJ_尸。，即CG与C3重合时，CG最小.

；・CG5=G尸2mm=2收，(SJPC0tm=3,Sp@=3-5

法二：(代数法)设P3=x,Bp=y,

由射影定理得：芍'=3,二当尸。最小，即X+)'最小，

「.(x+y)2=x2+*+2xy=x2+*+622xy+6=12.

当x=y=小时，“=”成立，・.•尸0=6+6=2后.

【考点】三角形的面积，解直角三角形，旋转的性质

【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可得出AC=A'C=2f根据已知易证m〃AC,得出

NA'BC是直角，利用特殊角的三角函数值，可求出NA'CB的度数，就可求出结果。

(2)根据中点的定义及性质的性质，可证得/A=NA'CM,利用解直角三角形求出PB和BQ

的长，再根据PQ=PB+BQ,计算即可解答。

(3)根据已知得出四边形FA'B'Q的面积最小，则4PCQ的面积最小，可表示出4PCQ的面

精品文档24

积，利用几何法取尸。中点G,则/尸。。=90。，得出PQ=2CG,当CG最小时，则PQ

最小根据垂线段最短，求出CG的值，从而可求出PQ的最小值，就可求出四边形FA'B'Q面

积的最小值。也可以利用代数式解答此题。

__5_

7.（2018•四川成都・12分）如图，在平面直角坐标系工。、中，以直线12为对称轴

的抛物线尸G2+加+（7与直线/3=去+“%>0）交于«L1）,B两点,与轴交

点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线/与抛物线的对称轴的交点为尸、G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若

3

-

=4

且」5CG与」BC。面积相等，求点G的坐标;

（3）若在x轴上有且仅有一点P,使£APB=90。，求才的值.

立5

-

-=2

2a

【答案】（1）由题可得：S+b+c=l.解得。=1,b=-5,c=5.7・二次函数解析

式为：y="_5x+5.

精品文档25

3a9U\

=-2-I

2,4

21/

k+m=L

11

--

匕+

9-12X2Iy\o

同理，9=一>+5

SJBCD=SJBCG,

__1,1

「・①DG//BC（G在BC下方）,>DG=_2A+2,

3

「,一［X+E=X2—5X+5,即2X2-9X+9=0,2一

/X>1/.x=3,.*.^3,-1）.

②G在5C上方时，直线G2G3与QGi关于5c对称.

=-x+

••^2T,・..-2X+2=X2—5X+5,A2X2_9X_9=0

T*率产,叫

G,（升收67-㈣

综上所述，点G坐标为GI（3,-1）；2\44[

=x+

（3）由题意可得：k+ni=1.:.m=l-k,'yx