2025届河南省南阳市高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故选：B.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定义域为R.是偶函数，排除D；又，排除A；当时，，，，在上单调递增，排除C．故选：B．4.已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C5.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】记这位公公的第n个儿子的年龄为，则数列为等差数列，公差，，解得，∴，故选：A.6.已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设数列的公比为，首项为，若，则，即，满足必要性；当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选：B.7.在锐角中，已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定【答案】A【解析】由，可得，因为为锐角三角形，所以，所以，因为，所以，则，从而，由，可得当时，与均属于，因为函数在上递减，且，所以，即，所以，即，所以，又在上递增，所以；当时，，则，即，所以，又在上递增，所以；综上所述，.故选：A.8.已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（）A.的图象关于对称 B.C. D.【答案】C【解析】对于A，因，则，由，因，故，则得的图象关于对称，故A正确；对于B，由A项已得的图象关于对称，则，由，可得，则，故B正确；对于C，因为奇函数，故也是奇函数，图象关于对称，因的图象关于对称，故函数的周期为，又，则，解得，故C错误；对于D，因为奇函数，且周期为，则，由，因，故，即函数为偶函数；由，可得，因的周期为，则，求导得，即函数的周期为.于是，，故得，即D正确.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，，且，则（）A.的最大值为 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，当且仅当时取等号，故A选项错误；∵，∴，当且仅当时取等号，故B选项正确；∵，∴，∴，故C选项正确；∵且，∴，∴，∵，∴，故D选项正确.故选：BCD10.已知函数，则（）A.存在实数，使得的图象关于点对称B.当时，的极值之和为C.存在实数，，使得有三个零点D.当时，有两个零点【答案】AC【解析】，当时，则，故存在实数，使得的图象关于点0,2对称，A正确，当时，，当或时，f'x>0，当，故分别是的极大值点和极小值点，故的极值之和为，故B错误，由于，故令，此时有三个零点，故C正确，，当时，此时，此时f'x≥0，故单调递增，此时至多只有一个零点，故D错误，故选：AC11.已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移A.，B.直线为的图象的一条对称轴C.若在单调递增，则的最大值为D.对任意，关于的方程总有奇数个不同的根【答案】ABD【解析】A.由题意可知，，得，，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，因为函数的图象关于轴对称，所以,得，因为，所以，所以，故A正确；B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确；C当时，，由题意可知，，，，得，，只有当有解，得，所以的最大值为，故C错误；D.，所以函数关于对称，而也关于对称，所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称，所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.等比数列的前项和为，若，，则______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案为：13.若函数在区间上单调递减，则实数的最小值为______.【答案】0【解析】由题意，可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因在上为增函数，故，故得，即实数的最小值为0.故答案为：0.14.若在恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，则在x∈0,+设，则，设，则x∈0,+∞上恒成立，即在上单调递增.又则存在，使，即（*）.当时，，则，故在上单调递减；当时，，则，故在上单调递增.故.又由（*），可得，设，则得.由可得在上单调递增，故得，即，于是，故得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）选条件①，由，，得，与矛盾，此时不存在，即条件①不符合要求，不选①；选条件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面积为.选条件③，由，得，在中，由正弦定理得，则，又，所以的面积为.16.设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记和分别为数列和前项和，证明：.（1）解：因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）证明：由（1）可得.数列bn的前项和，①则.②由①②得，即.由，可得，得证.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围.解：（1）函数，函数的最小正周期.由，，得，所以函数的单调递增区间为.（2）由（1）得，由，得，由，得，由，得，函数在上单调递增，函数值从增大到2，由，得，在上单调递减，函数值从2减小到1，依题意，在上恰有两个不等实根，则直线与在上的图象有两个交点，则，所以实数的取值范围是.18.已知函数.（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数有极大值，且极大值不大于0.①求实数的取值范围；②求证：解：（1）的定义域为，.因为函数在处的切线与直线垂直，所以，解得：.（2）.①当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值；当时，令得：；令得：.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为.因为极大值不大于0，所以.因为，所以.记，，则，所以在上单调递增.而，所以由可解得.即实数的取值范围为.②记数列的通项公式为，则为数列的前项和；数列的前项和，即.所以当时，；当时，；经检验，对也成立，所以.由①知：当时，所以当时，有，即（当且仅当时等号成立）.所以取，则有，即.当依次取，则有：，，…，，累加得：，即.19.对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数.（1）求，，的值；（2）若函数在区间上无极值点，求的取值范围；（3）求数列的通项公式，并求其前项和.解：（1）依题意，，而，，，所以；；.（2）二次函数图象的对称轴为，由函数在区间上无极值点，得或，解得：或，所以的取值范围为.（3）由，得，即，令，则，，，令，则，又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，即，数列是首项为，公差为的等差数列，，则，所以；当为偶数时，；当为奇数时，.所以.河南省南阳市2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故选：B.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定义域为R.是偶函数，排除D；又，排除A；当时，，，，在上单调递增，排除C．故选：B．4.已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C5.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】记这位公公的第n个儿子的年龄为，则数列为等差数列，公差，，解得，∴，故选：A.6.已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设数列的公比为，首项为，若，则，即，满足必要性；当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选：B.7.在锐角中，已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定【答案】A【解析】由，可得，因为为锐角三角形，所以，所以，因为，所以，则，从而，由，可得当时，与均属于，因为函数在上递减，且，所以，即，所以，即，所以，又在上递增，所以；当时，，则，即，所以，又在上递增，所以；综上所述，.故选：A.8.已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（）A.的图象关于对称 B.C. D.【答案】C【解析】对于A，因，则，由，因，故，则得的图象关于对称，故A正确；对于B，由A项已得的图象关于对称，则，由，可得，则，故B正确；对于C，因为奇函数，故也是奇函数，图象关于对称，因的图象关于对称，故函数的周期为，又，则，解得，故C错误；对于D，因为奇函数，且周期为，则，由，因，故，即函数为偶函数；由，可得，因的周期为，则，求导得，即函数的周期为.于是，，故得，即D正确.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，，且，则（）A.的最大值为 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，当且仅当时取等号，故A选项错误；∵，∴，当且仅当时取等号，故B选项正确；∵，∴，∴，故C选项正确；∵且，∴，∴，∵，∴，故D选项正确.故选：BCD10.已知函数，则（）A.存在实数，使得的图象关于点对称B.当时，的极值之和为C.存在实数，，使得有三个零点D.当时，有两个零点【答案】AC【解析】，当时，则，故存在实数，使得的图象关于点0,2对称，A正确，当时，，当或时，f'x>0，当，故分别是的极大值点和极小值点，故的极值之和为，故B错误，由于，故令，此时有三个零点，故C正确，，当时，此时，此时f'x≥0，故单调递增，此时至多只有一个零点，故D错误，故选：AC11.已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移A.，B.直线为的图象的一条对称轴C.若在单调递增，则的最大值为D.对任意，关于的方程总有奇数个不同的根【答案】ABD【解析】A.由题意可知，，得，，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，因为函数的图象关于轴对称，所以,得，因为，所以，所以，故A正确；B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确；C当时，，由题意可知，，，，得，，只有当有解，得，所以的最大值为，故C错误；D.，所以函数关于对称，而也关于对称，所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称，所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.等比数列的前项和为，若，，则______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案为：13.若函数在区间上单调递减，则实数的最小值为______.【答案】0【解析】由题意，可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因在上为增函数，故，故得，即实数的最小值为0.故答案为：0.14.若在恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，则在x∈0,+设，则，设，则x∈0,+∞上恒成立，即在上单调递增.又则存在，使，即（*）.当时，，则，故在上单调递减；当时，，则，故在上单调递增.故.又由（*），可得，设，则得.由可得在上单调递增，故得，即，于是，故得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）选条件①，由，，得，与矛盾，此时不存在，即条件①不符合要求，不选①；选条件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面积为.选条件③，由，得，在中，由正弦定理得，则，又，所以的面积为.16.设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记和分别为数列和前项和，证明：.（1）解：因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）证明：由（1）可得.数列bn的前项和，①则.②由①②得，即.由，可得，得证.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围.解：（1）函