2024届重庆市长寿区高三上学期期末质量监测数学试题（B卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市长寿区2024届高三上学期期末质量监测数学试题（B卷）一、选择题1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则.故选：D.2.设复数，则复数的共轭复数的模为（）A.7 B.1 C.5 D.25【答案】C【解析】复数，则，所以.故选：C.3.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A选项，是奇函数，A选项错误.B选项，是偶函数，B选项正确.C选项，是非奇非偶函数，C选项错误.D选项，是非奇非偶函数，D选项错误.故选：B4.已知圆，则圆心、半径的长分别是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以圆心，半径长是.故选：B.5.已知数列的前n项和为，且，，则（）A.－30 B.－28 C.30 D.28【答案】A【解析】由，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则.故选：A.6.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A B. C.0 D.【答案】B【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.7.已知向量，，若，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以即，所以，所以，故选:D.8.将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,则该球为正方体的内切球，故球的半径为，则球的表面积为.故选：C.9.在中，，且的面积为，则（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因为，所以，解得，由余弦定理可得，所以.故选：B.10.已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知函数，对都有成立，即对恒成立，即，对恒成立，设，由于在上单调递减，在上单调递增，则，则，当且仅当时等号成立，故，即实数的取值范围为，故选：A二、填空题11.已知是角终边上的一点，则=______.【答案】【解析】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点，所以.故答案为：12.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为___________.【答案】【解析】设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有共10种情况.选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况，故所求概率为.故答案为：13.关于的不等式的解集为，则_____..【答案】【解析】由的不等式的解集为，可得为方程的根，所以，解得：，所以故答案为：.14.已知直线（其中a，b是正实数）过点（1，1），则的最小值是_____..【答案】9【解析】直线过点（1，1），所以，即，因为，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值是.故答案为：9.15.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为_____..【答案】1【解析】因为抛物线的准线方程为，根据题意可得，即双曲线中，则，所以，双曲线方程为，其渐近线方程为，若取一条即，则点到直线的距离为：，故答案为：1.三、解答题16.记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前10项和.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得由，即，解得：，.（2）由得:数列的前10项和.17.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）讨论在上的单调性．解：（1）由，所以函数的最小正周期为.（2）由，，即，令，有，又因为，所以函数的单调增区间为；由，，，令，有，又因为，所以函数的单调减区间为.综上所述：增区间是，减区间是.18.如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点.、（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明；连接交于点Q，连接DQ分别是的中点，故平面.得证.（2）解：如图，分别以为轴，轴，轴，为原点，建立空间直角坐标系.由题意可得，所以平面的法向量为.设平面的法向量为，由，可取，即故二面角的余弦值为.19.已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面积．解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：，所以椭圆方程为.（2）由题意知直线AB的方程为，设，联立，，则，故，点O到直线AB的距离为：，故的面积为.20.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；解：（1）时，，定义域为，，令，解得，令，解得，故在处取得极小值，，的极小值为，无极大值.（2）在区间上减函数，∴在区间上，，令，只需，显然在区间上为减函数，，重庆市长寿区2024届高三上学期期末质量监测数学试题（B卷）一、选择题1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则.故选：D.2.设复数，则复数的共轭复数的模为（）A.7 B.1 C.5 D.25【答案】C【解析】复数，则，所以.故选：C.3.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A选项，是奇函数，A选项错误.B选项，是偶函数，B选项正确.C选项，是非奇非偶函数，C选项错误.D选项，是非奇非偶函数，D选项错误.故选：B4.已知圆，则圆心、半径的长分别是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以圆心，半径长是.故选：B.5.已知数列的前n项和为，且，，则（）A.－30 B.－28 C.30 D.28【答案】A【解析】由，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则.故选：A.6.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A B. C.0 D.【答案】B【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.7.已知向量，，若，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以即，所以，所以，故选:D.8.将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,则该球为正方体的内切球，故球的半径为，则球的表面积为.故选：C.9.在中，，且的面积为，则（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因为，所以，解得，由余弦定理可得，所以.故选：B.10.已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知函数，对都有成立，即对恒成立，即，对恒成立，设，由于在上单调递减，在上单调递增，则，则，当且仅当时等号成立，故，即实数的取值范围为，故选：A二、填空题11.已知是角终边上的一点，则=______.【答案】【解析】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点，所以.故答案为：12.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为___________.【答案】【解析】设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有共10种情况.选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况，故所求概率为.故答案为：13.关于的不等式的解集为，则_____..【答案】【解析】由的不等式的解集为，可得为方程的根，所以，解得：，所以故答案为：.14.已知直线（其中a，b是正实数）过点（1，1），则的最小值是_____..【答案】9【解析】直线过点（1，1），所以，即，因为，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值是.故答案为：9.15.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为_____..【答案】1【解析】因为抛物线的准线方程为，根据题意可得，即双曲线中，则，所以，双曲线方程为，其渐近线方程为，若取一条即，则点到直线的距离为：，故答案为：1.三、解答题16.记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前10项和.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得由，即，解得：，.（2）由得:数列的前10项和.17.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）讨论在上的单调性．解：（1）由，所以函数的最小正周期为.（2）由，，即，令，有，又因为，所以函数的单调增区间为；由，，，令，有，又因为，所以函数的单调减区间为.综上所述：增区间是，减区间是.18.如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点.、（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明；连接交于点Q，连接DQ分别是的中点，故平面.得证.（2）解：如图，分别以为轴，轴，轴，为原点，建立空间直角坐标系.由题意可得，所以平面的法向量为.设平面的法向量为，由，可取，即故二面角的余弦值为.19.已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面