2024-2025学年浙江省浙江星辰联盟高一上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题（每小题5分，共40分.）1.集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，函数在上单调递增，所以，所以.故选：B.3.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数在定义域上单调递增，因为，在定义域上单调递减，故排除C、D；又当时，显然不过点，故B错误；在定义域上单调递增，且，所以，符合题意.故选：A.4.已知函数y=fx的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数y=fx的定义域是，对于函数，令，解得，所以函数定义域是.故选：C.5.下列命题是真命题的是（）A.中的数取倒数．则从集合到集合的对应关系是函数B.函数与是同一个函数C.任意两个直角三角形都相似D.当时，有最小值1．【答案】B【解析】A：在中取元素，因为没有倒数，所以中没有元素与之对应，所以不是函数，故错误；B：，，定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故正确；C：取两个直角三角形的三边长分别为：，显然，所以任意两个直角三角形不一定相似，故C错误；D：因为，当且仅当，即或时取等号，但和均不满足，所以等号取不到，故D错误.故选：B.6.关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为的解集为，所以，解得，所以，解得或，所以解集为.故选：D.7.已知函数，则该函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，解得，所以函数的定义域为，则，因为，所以，所以，则，所以，显然，所以，即该函数的值域为.故选：D.8.若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以关于的一次函数在时恒有，所以只需在时都有即可，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A.二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.下列命题中，是命题的充分条件的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，即，解得或，即，因为，所以是命题的必要不充分条件，故A错误；因为真包含于，所以是命题的充分条件，故B正确；因为真包含于，所以是命题的充分条件，故C正确；因不包含于，所以不是命题的充分条件，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.存在实数和使得B.当实数时在上单调递增C.对任意实数，函数的图像恒过定点D.对任意小于0的实数，方程都有两实数解【答案】BCD【解析】对于A：因为恒成立，所以恒成立，故A错误；对于B：因为，当时，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C：因为，所以对任意实数，函数的图像恒过定点，故C正确；对于D：因为，当时在上单调递减，在上单调递增，又，且恒成立，当时，当时，所以y=fx与必有两个交点，故对任意小于0实数，方程都有两实数解，故D正确.故选：BCD.11.已知，则下列说法正确的有（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为25 D.有最小值为【答案】ACD【解析】对于A：因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最大值为，故A正确；对于B：因为，所以，所以，当且仅当，即，，又，所以无法取等号，故B错误；对于C：，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故C正确；对于D：，当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.命题“，使得”的否定为：________．【答案】，使得【解析】命题“，使得”为特称量词命题，其否定为：，使得.13.函数的单调递增区间是_________．【答案】和【解析】作出的图象如下图所示，由图象可知，的单调递增区间是和.14.已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】因为，当时，所以在上单调递减，且；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以图象如下所示：因为方程有三个不同的实数解，即y=fx与有三个交点，则，解得或，即实数的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.求值：（1）；（2）若，求．解：（1）.（2）因为，所以.16.已知定义在上的函数，满足．（1）求的解析式；（2）求证：在上是增函数．解：（1）因为，所以，所以，所以的解析式为.（2）且，则，因为，所以，所以，所以，所以在上是增函数.17.已知集合，集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．解：（1）当时，所以，又，所以.（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以真包含于，当，即，此时，符合题意；当，即，即，此时要使真包含于，则，解得，当时，符合题意；当时，符合题意；综上可得的取值范围为.18.已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）求函数的值域．解：（1）为奇函数，证明如下：函数的定义域为，且，所以为奇函数.（2）因为，又，所以，则，即，所以，即.19.当一个函数有如下性质：若在区间上有意义且该区间为的单调区间，并且此时的值域为，当时，我们就称函数为区间上的“神奇函数”．请回答下列问题：（1）当时，是否是区间上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；（2）当函数为区间上的“神奇函数”，求的最小值和的最大值；（3）当时，存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，求的取值范围．解：（1）因为函数在区间上为增函数，则，，所以，函数在区间上的值域为，因为，所以，函数是区间上的“神奇函数”.（2）因为函数的增区间为，减区间为，因为函数为区间上的“神奇函数”，则或，先考虑的最大值，则，当时，函数在上为增函数，则，，所以，函数在上的值域为，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，所以，，因为，则，所以，的最大值为；接下来考虑的最小值，则，当时，，则函数在上为减函数，则，，所以，函数在上的值域为，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，则，可得，所以，的最小值为.综上所述，当函数为区间上的“神奇函数”，的最小值为，的最大值为.（3）因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，分以下两种情况讨论：当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，则，则，因为，则；当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，，根据“神奇函数”的定义可得，即，则，可得，因为，则，此时，.综上所述，实数的取值范围是.浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题（每小题5分，共40分.）1.集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，函数在上单调递增，所以，所以.故选：B.3.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数在定义域上单调递增，因为，在定义域上单调递减，故排除C、D；又当时，显然不过点，故B错误；在定义域上单调递增，且，所以，符合题意.故选：A.4.已知函数y=fx的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数y=fx的定义域是，对于函数，令，解得，所以函数定义域是.故选：C.5.下列命题是真命题的是（）A.中的数取倒数．则从集合到集合的对应关系是函数B.函数与是同一个函数C.任意两个直角三角形都相似D.当时，有最小值1．【答案】B【解析】A：在中取元素，因为没有倒数，所以中没有元素与之对应，所以不是函数，故错误；B：，，定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故正确；C：取两个直角三角形的三边长分别为：，显然，所以任意两个直角三角形不一定相似，故C错误；D：因为，当且仅当，即或时取等号，但和均不满足，所以等号取不到，故D错误.故选：B.6.关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为的解集为，所以，解得，所以，解得或，所以解集为.故选：D.7.已知函数，则该函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，解得，所以函数的定义域为，则，因为，所以，所以，则，所以，显然，所以，即该函数的值域为.故选：D.8.若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以关于的一次函数在时恒有，所以只需在时都有即可，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A.二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.下列命题中，是命题的充分条件的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，即，解得或，即，因为，所以是命题的必要不充分条件，故A错误；因为真包含于，所以是命题的充分条件，故B正确；因为真包含于，所以是命题的充分条件，故C正确；因不包含于，所以不是命题的充分条件，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.存在实数和使得B.当实数时在上单调递增C.对任意实数，函数的图像恒过定点D.对任意小于0的实数，方程都有两实数解【答案】BCD【解析】对于A：因为恒成立，所以恒成立，故A错误；对于B：因为，当时，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C：因为，所以对任意实数，函数的图像恒过定点，故C正确；对于D：因为，当时在上单调递减，在上单调递增，又，且恒成立，当时，当时，所以y=fx与必有两个交点，故对任意小于0实数，方程都有两实数解，故D正确.故选：BCD.11.已知，则下列说法正确的有（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为25 D.有最小值为【答案】ACD【解析】对于A：因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最大值为，故A正确；对于B：因为，所以，所以，当且仅当，即，，又，所以无法取等号，故B错误；对于C：，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故C正确；对于D：，当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.命题“，使得”的否定为：________．【答案】，使得【解析】命题“，使得”为特称量词命题，其否定为：，使得.13.函数的单调递增区间是_________．【答案】和【解析】作出的图象如下图所示，由图象可知，的单调递增区间是和.14.已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】因为，当时，所以在上单调递减，且；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以图象如下所示：因为方程有三个不同的实数解，即y=fx与有三个交点，则，解得或，即实数的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.求值：（1）；（2）若，求．解：（1）.（2）因为，所以.16.已知定义在上的函数，满足．（1）求的解析式；（2）求证：在上是增函数．解：（1）因为，所以，所以，所以的解析式为.（2）且，则，因为，所以，所以，所以，所以在上是增函数.17.已知集合，集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．解：（1）当时，所以，又，所以.（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以真包含于，当，即，此时，符合题意；当，即，即，此时要使真包含于，则，解得，当时，符合题意；当时，符合题意；综上可得的取值范围为.18.已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）求函数的值域．解：（1）为奇函数，证明如下：函数的定义域为，且，所以为奇函数.（2）因为，又，所以，则，即，所以，即.19.当一个函数有如下性质：若在区间上有意义且该区间为的单调区间，并且此时的值域为，当时，我们就称函数为区间上的“神奇函数”．请回答下列问题：（1）当时，是否是区间上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；（2）当函数为区间上的“神奇函数”，求的最小值和的最大值；（3）当时，存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，求的取值范围．解：（1）因为函数在区间上为增函数，则，，所以，函数在区间上的值域为，因为，所以，函数是区间上的“神奇函数”.（2）因为函数的增区间为，减区间为，因为函数为区间上的“神奇函数”，则或，先考虑的最大值，则，当时，函数在上为增函数，则，，所以，函数在上的值域为，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，所以，