2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数a的值为（）A.0 B.1 C.1或3 D.3【答案】D【解析】因为集合，，且，所以，解得.故选：D.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数为（A. B. C. D.【答案】A【解析】由偶函数定义知，仅A，C为偶函数，C.在区间上单调递增函数.故选：A．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，反之当时，取，不等式无意义，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，所以.故选：D.5.下面不等式成立的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】B【解析】对于A，取，满足，，而，A错误；对于B，由，得，则，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由，得，则，而，于是，，D错误.故选：B.6.已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移1个单位得函数的图象，由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，排除AB；由，，，得函数上单调递增，排除D，C符合.故选：C.7.已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，的最小值为，当时，，若时，增函数，所以，所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意；当时，由对勾函数性质，在上单调递增，又的最小值为，则，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B.8.已知正实数，，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.命题“，”，的否定是“，”B.与是同一个函数C.不等式的解集为D.若，，则【答案】AD【解析】由存在量词命题的否定知，，的否定是，，故A正确；由知的定义域为，由或知定义域为，所以函数不是同一个函数，故B错误；因为时，分母为0，故不等式的解集不是，故C错误；由不等式的性质，，又，所以，故D正确.故选：AD.10.下列说法中正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数的定义域是，则函数的定义域为C.不等式的解集为D.函数关于点中心对称【答案】BD【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误；对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，不等式，当时解集为；当时解集为；当时解集为，故C错误；对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确.故选：BD.11.已知函数，若，恒成立，则（）A.函数是奇函数 B.函数是增函数C.，是真命题 D.m可以为0【答案】ABC【解析】函数的定义域为R，对于A，，，函数是奇函数，A正确；对于B，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，而在R上单调递增，因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确；对于C，，，因此，，是真命题，C正确；对于D，由选项C知，，解得，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间为______.【答案】(或1，+∞【解析】，所以函数的单调递增区间为.13.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____.【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，得，而当时，，则，所以.14.实数，满足，则的最小值为______.【答案】2【解析】由可得，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数的定义域为集合，，.（1）求，.（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）由，得，解得，则，，由，得，则，所以，.（2）由，得，而，则，解得，所以实数m的取值范围是.16.已知函数.（1）若不等式的解集为，求a，b的值；（2）若方程仅有一个实数解，求的最小值.解：（1）因为不等式的解集为，所以方程的两根为，所以由根与系数的关系可得，解得或.（2）因为方程仅有一个实数解，所以，即，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.17.文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元.（1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；（2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）解：（1）依题意可知，，即.（2）因为，所以当时，，所以当时；当时，，当且仅当，，即时等号成立，而，由对勾函数性质可知在单调递减，所以当，即时，，又因为，所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为.18.已知函数.（1）用定义进行证明函数在的单调性.（2）已知函数，若对任意的，，使得，求实数m的取值范围.解：（1）设任意的，且，则，因为，所以，，所以，即，所以，函数在0，+∞（2）由题意，，由（1）知，在上单调递增，所以，由，知对称轴方程为，①当时，，解得，又，故无解；②当时，，解得，又，所以；③当时，，解得，又，所以.综上，实数m的取值范围.19.已知双曲函数，.（1）证明：（2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式.（3）若，不等式成立，求实数的取值范围.解：（1）双曲函数，，则.（2）函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.（3）不等式，当时，，则，依题意，，恒成立，令，，，函数在上单调递增，则当时，，因此，即当时，取得最大值，则，所以实数的取值范围是.浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数a的值为（）A.0 B.1 C.1或3 D.3【答案】D【解析】因为集合，，且，所以，解得.故选：D.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数为（A. B. C. D.【答案】A【解析】由偶函数定义知，仅A，C为偶函数，C.在区间上单调递增函数.故选：A．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，反之当时，取，不等式无意义，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，所以.故选：D.5.下面不等式成立的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】B【解析】对于A，取，满足，，而，A错误；对于B，由，得，则，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由，得，则，而，于是，，D错误.故选：B.6.已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移1个单位得函数的图象，由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，排除AB；由，，，得函数上单调递增，排除D，C符合.故选：C.7.已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，的最小值为，当时，，若时，增函数，所以，所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意；当时，由对勾函数性质，在上单调递增，又的最小值为，则，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B.8.已知正实数，，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.命题“，”，的否定是“，”B.与是同一个函数C.不等式的解集为D.若，，则【答案】AD【解析】由存在量词命题的否定知，，的否定是，，故A正确；由知的定义域为，由或知定义域为，所以函数不是同一个函数，故B错误；因为时，分母为0，故不等式的解集不是，故C错误；由不等式的性质，，又，所以，故D正确.故选：AD.10.下列说法中正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数的定义域是，则函数的定义域为C.不等式的解集为D.函数关于点中心对称【答案】BD【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误；对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，不等式，当时解集为；当时解集为；当时解集为，故C错误；对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确.故选：BD.11.已知函数，若，恒成立，则（）A.函数是奇函数 B.函数是增函数C.，是真命题 D.m可以为0【答案】ABC【解析】函数的定义域为R，对于A，，，函数是奇函数，A正确；对于B，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，而在R上单调递增，因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确；对于C，，，因此，，是真命题，C正确；对于D，由选项C知，，解得，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间为______.【答案】(或1，+∞【解析】，所以函数的单调递增区间为.13.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____.【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，得，而当时，，则，所以.14.实数，满足，则的最小值为______.【答案】2【解析】由可得，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数的定义域为集合，，.（1）求，.（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）由，得，解得，则，，由，得，则，所以，.（2）由，得，而，则，解得，所以实数m的取值范围是.16.已知函数.（1）若不等式的解集为，求a，b的值；（2）若方程仅有一个实数解，求的最小值.解：（1）因为不等式的解集为，所以方程的两根为，所以由根与系数的关系可得，解得或.（2）因为方程仅有一个实数解，所以，即，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.17.文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元.（1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；（2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）解：（1）依题意可知，，即.（2）因为，所以当时，，所以当时；当时，，当且仅当，，即时等号成立，而，由对勾函数性质可知在单调递减，所以当，即时，，又因为，所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为.18.已知函数.（1）用定义进行证明函数在的单调性.（2）已知函数，若对任意的，，使得，求实数m的取值范围.解：（1）设任意的，且，则，因为，所以，，所以，即，所以，函数在0，+∞（2）由题意，，由（1）知，在上单调递增