河北省邢台市2023届高三上学期期末数学试题 附答案

邢台市2022~2023学年高三（上）教学质量检测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A．（，2） B． C．（，2） D．（-2，）2.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π，12π，高为6，则该圆台的体积为A．36π B．40π C．42π D．45π3.若复数z满足方程，则z=A． B． C. D．4.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）=A． B． C． D．5.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童0.08青少年超重肥胖率高达19.0%。为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按[40，45），[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示。根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是A．55 B．58.75C．57.25 D．606.已知圆与直线相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为A． B．C． D．7.如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要A．260万元 B．265万元C．255万元 D．250万元8.若。且，则A．的最小值为8 B的最小值为8C．的最小值为16 D．没有最小值二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知，则A．函数f（x）为增函数 B．函数f（x）的图象关于y轴对称C． D．10.如图，正方体ABCD-的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则A．当时， B．C．AE的最小值为 D．二面角为定值11.已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为P，则C的离心率可能是A． B． C． D．12.已知，函数，下列结论正确的是A．f（x）一定存在最小值B．f（x）可能不存在最小值C．若恒成立，则baD．若恒成立，则e<b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设向量a，b满足，则△。14.设等比数列{}的前n项和为，写出一个满足下列条件的{}的公比：q=△.①，②{}是递减数列，③S4<S315.已知函数在[0，π]上恰有3个零点，则ω的最小值是△。16.已知P为抛物线C：上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于48，则点P的纵坐标的取值范围是△。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知。（1）若，证明：△ABC为等腰三角形。（2）若，求b的最小值。18.（12分）已知数列{}满足，。（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；（2）求{}的前2n项和。19.（12分）如图，在三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点。（1）证明：AD//平面。（2）求直线DE与平面所成角的正弦值。20.（12分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示。以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量。（1）求X的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优。21.（12分）已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2。（1）求C的方程。（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由。22.（12分）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，，求a的取值范围。邢台市2022~2023学年高三（上）教学质量检测数学参考答案1.A因为，所以2.C圆台的体积V=13.C由z2=2z−10，得z2−2z+10=0，则z−14.A由题意可知，PB5.B因为0.01+0.03+0.08×5=0.6<0.75，0.6+0.04×5=0.8>0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55，60）内。设第75百分位数为m，则m−55×0.04+0.6=0.7，解得6.B易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，则d=m9+16=5，解得。设过O且与l垂直的直线为，则l0：4x+3y=0，联立4x+3y=03x−4y+25=0得直线l与7.D记，则OH=2cosαkm，所以矩形ODEH的面积S1=2cos所以风景区面积，当时，S有最大值，故最多需要52×100=250万元的修建费。8.A由a2b+4b因为，所以a2所以8a2+4b2由4b2设函数fb=12b2−3b4b2−b−64，则由f9.BCD因为fx+4x=x2+16x2=10.BCD连接，，，（图略）。由正方体的性质可知D1C1//AB,∠C1D1B1=45∘，则EF⋅AB=EF×2cos45∘=2，解得，故A错误，因为A1C1⊥B1D1，AA1⊥B1D11.BD设A（，），B（，），则x12a2+y12b2=1x22a212.AC因为，所以f'x=ex−1ax为增函数，因为f'12a=e12a−2<0，f'1=e−1a13.由题意可知|a|=1，|b|=2，2a⋅b=|a+b|2−|a|14.（答案不唯一，只要13<q<1即可）由S4<S3+3a5，得a4<3a15.因为sinωx+π3=sinωx+π12+π4=22sin16、如图，设点P的坐标为（m，n），准线与y轴的交点为A，则PF|=|PH|=4−n，|FH|=|AF|2+|AH|2=82+m2=64−16n=44−n17.（1）证明：因为a=2，cCOSB=1，所以由余弦定理可得c×2整理得b2=c2，即（2）解：因为sin2所以由正弦定理可得a2所以由余弦定理可得。。。。。。。7分又CcosB=1，所以。。。。。所以b2当时，b取最小值，且最小值为。18.解：（1）由题知a2n+2则a所以bn+1=故{bn又b所以bn（2）因为a1=a2所以S=2=2=2×=3n2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分19.（1）证明：连接BD．因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以。。。。。。。1分因为D，F分别是棱，BC的中点，所以BF//C1所以四边形BDC1F因为AB，BD平面ABD，且，所以平面ABD//平面。。。。。。4分因为AD平面ABD，所以AD//平面。。。。。。。。。。。5分（2）解：取的中点O，连接，OE，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以OB1，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。设，则A（0，-2，3），（0，2，0），D（，1，0），E（0，0，3），F（，1，3），从而。。。。8分设平面EF的法向量为，则令，得m=3−3−2设直线DE与平面C1EF所成的角为θ，则sinθ=|cos<DE，m>|=20.解：（1）设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，ξ=5，6，7，8，PX的取值范围是{10，11，12，13，14，15，16}，PPPPPPPX=16X的分布列为X101112131415l6P0，040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）可知P（X>12）=0.8.。。。。。。。。。。6分PX≥1.3故n0（3）由（2）可知n=在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当n=13时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则EuEvEν故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比n=n021.解：（1）由题意得，即。。因为C的渐近线方程为。所以所以，故C的方程为。。。。。。。4分（2）假设存在P（n，0）满足条件，设A（，），B（，）。由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB:联立x=my+2x2−则3且y1因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB角平分线。。。。。。。。。则，即y1x1整理得2my所以2m×93m2因为对于任意的m≠±33，m故存在点P（，0），