【八年级上册数学浙教版】专题2.3 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专项讲练（原卷版）

第第页专题2.3勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练勾股定理中的最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。题型1.圆柱有关的最短路径问题【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm变式1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．变式2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm题型2.长方体有关的最短路径问题想【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。例2．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．变式1.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm变式2．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB＝5cm，宽AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么蚂蚁需爬行的最短距离是______cm．（结果保留根号）题型3.阶梯中的最短路径问题【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。要点总结：展开—定点—连线—勾股定理例3．（2021·重庆八年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．变式1．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26题型4.将军饮马与最短路径问题【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。例4.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A． B．28 C．20 D．变式1.（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22变式2.（2021·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．课后专项训练：1．（2021·江苏八年级月考）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（

）A． B． C． D．3．（2022·四川乐山·八年级期末）如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A．12cm B．cm C．cm D．cm4．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（

）A． B． C． D．5．（2021·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm7．（2022·全国·八年级）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（

）A．B．C．D．8．（2022·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长．宽．高分别为3、2、1的长方体的A点爬到B点，它爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（

）A． B．3 C． D．10．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）A． B．14cm C． D．10cm11．（2022·成都市八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．12．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期末）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是4米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是______米13．（2022·全国·八年级课时练习）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．14．（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．15．（2022·新疆克拉玛依·八年级期末）如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______．16．（2022·广东·常春藤国际学校八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为24，高BD＝5，BC是直径．一只蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程为_______．17．（2021·无锡市八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?三角形和矩形中的翻折、旋转问题解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。例1．（2022·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．变式1．（2022·重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（）．A． B． C． D．例2．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．变式1．（2022·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为_______例3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．变式1．（2022·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．例4．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．变式1．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．例5．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．4变式1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（

）.A． B． C．3 D．例6．（2022·河南开封·八年级期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（

）A． B．1 C． D．变式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（

）A．12 B．25 C．20 D．15例7．（2021·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．变式1．（2022·湖北阳新初二期末）（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．课后训练：1．（2021·陕西八年级期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为（）．A．12 B．10 C．6 D．152．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．243．（2022·广西·桂林市第一中学八年级期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6cm，BC＝8cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（

）A． B． C． D．4．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，，，则线段EF的长度为______．6．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．7．（2021·浙江九年级二模）△ABC中，，AC＝6，，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC＝____________，m＝____________．8．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，