2025年高考数学复习新题速递之常用逻辑用语（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之常用逻辑用语（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024•句容市校级开学）设x∈R，则“x＜3”是“x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024•湖南开学）已知命题甲：“实数x，y满足yx=xy”，乙“实数x，y满足x2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024秋•五华区校级月考）已知命题p：∃z∈C，z2+1＜0，则p的否定是（）A．∀z∈C，z2+1＜0 B．∀z∈C，z2+1≥0 C．∃z∈C，z2+1＜0 D．∃z∈C，z2+1≥04．（2023秋•道里区校级期末）已知命题：∃x0∈R，ax02+2ax0﹣1≥0A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（﹣1，0） C．[﹣1，0] D．（﹣1，0]5．（2024•淮南开学）设a，b∈R，则“1a＞b＞0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024•海安市开学）已知命题p：∃x＞0，3x＞1，则￢p（）A．∃x＞0，3x≤1 B．∃x≤0，3x＞1 C．∀x＞0，3x≤1 D．∀x＞0，3x＞17．（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤38．（2024•珠海模拟）“x＞1”是“|x|＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二．多选题（共5小题）（多选）9．（2024春•广西月考）下列命题错误的有（）A．若非零向量AB→与CD→平行，则A，B，C，DB．若a→，b→满足|a→|C．若x，y∈R，则x+yi＝1+i的充要条件是x＝y＝1 D．若a→∥b→（多选）10．（2024秋•无为市校级月考）下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“1a＜B．命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“∃x≤1，x2≥1” C．“x≥1”是“x+2x-1≥0D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件（多选）11．（2024秋•齐齐哈尔月考）下列说法正确的是（）A．函数f(x)=1+x1-x与g(x)=B．函数f(x)=x2+16C．若函数f(x)=k-3x1+k⋅3D．已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为[﹣1，3]（多选）12．（2024•东海县校级开学）下列说法正确的有（）A．x∈A是x∈A∪B的必要不充分条件 B．“a＞1，b＞1”是‘ab＞1’成立的充分条件 C．命题p：∀x∈R，x2＞0，则¬p：∃x∈R，x2＜0 D．x，y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件（多选）13．（2024秋•广陵区校级月考）下面命题正确的是（）A．“a＜1”是“a＜1B．“a＞1”是“1a＜C．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D．“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件三．填空题（共4小题）14．（2024•惠农区校级开学）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1＝0”为假命题，则实数a的取值范围为．15．（2024•天宁区校级开学）命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是．16．（2024•如东县开学）若存在x∈[﹣1，0]满足x2﹣2x+a≤0，则a的取值范围是．17．（2023秋•开封期末）若命题：“∃x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为．四．解答题（共3小题）18．（2024秋•广陵区校级月考）设集合A＝{x||x﹣5|＜2}．B＝{x|1＜x＜2m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（2023秋•江岸区校级期末）已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的必要不充分条件，则求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（2024•兴宁市校级开学）（1）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若p、q一真一假，求m的取值范围．（2）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

2025年高考数学复习新题速递之常用逻辑用语（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024•句容市校级开学）设x∈R，则“x＜3”是“x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分不必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】B【分析】根据必要不充分条件定义判断即可．【解答】解：由题意，x＜0⇒x＜3，但x＜3不能得出x＜0，x＜3是x＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．2．（2024•湖南开学）已知命题甲：“实数x，y满足yx=xy”，乙“实数x，y满足x2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分不必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】B【分析】yx【解答】解：yx但x2＝y2不能得到yx=xy，比如当x＝y＝0时，满足x2＝y故甲是乙的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．3．（2024秋•五华区校级月考）已知命题p：∃z∈C，z2+1＜0，则p的否定是（）A．∀z∈C，z2+1＜0 B．∀z∈C，z2+1≥0 C．∃z∈C，z2+1＜0 D．∃z∈C，z2+1≥0【考点】求存在量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】B【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：∃z∈C，z2+1＜0，则p的否定是：∀z∈C，z2+1≥0．故选：B．【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．4．（2023秋•道里区校级期末）已知命题：∃x0∈R，ax02+2ax0﹣1≥0A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（﹣1，0） C．[﹣1，0] D．（﹣1，0]【考点】存在量词命题真假的应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】D【分析】由已知可得∀x∈R，ax2+2ax﹣1＜0为真命题，对a分类讨论，求解即可．【解答】解：因为命题：∃x0∈R，ax02+2ax0﹣1所以∀x∈R，ax2+2ax﹣1＜0为真命题，当a＝0时，不等式即为﹣1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，a＜0Δ=4a2+4a＜综上，实数a的取值范围是（﹣1，0]．故选：D．【点评】本题主要考查根据存在量词命题的真假求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题．5．（2024•淮南开学）设a，b∈R，则“1a＞b＞0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】A【分析】结合不等式性质检验充分及必要性即可判断．【解答】解：当1a＞b＞0时，a当a＝﹣1，b＝1时，a＜1b成立时，但不满足1a＞故“1a＞b＞0”是“a故选：A．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．6．（2024•海安市开学）已知命题p：∃x＞0，3x＞1，则￢p（）A．∃x＞0，3x≤1 B．∃x≤0，3x＞1 C．∀x＞0，3x≤1 D．∀x＞0，3x＞1【考点】存在量词命题的否定．【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】C【分析】根据题意，由存在量词和全称量词命题的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题p：∃x＞0，3x＞1，则￢p：∀x＞0，3x≤1．故选：C．【点评】本题考查存在量词命题的否定，注意存在量词和全称量词命题的关系，属于基础题．7．（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3【考点】充分不必要条件的判断．【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】D【分析】由|x﹣3|＜2可得1＜x＜5，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案．【解答】解：因为|x﹣3|＜2，所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5，由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．8．（2024•珠海模拟）“x＞1”是“|x|＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分不必要条件的判断．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【答案】A【分析】解不等式，得到|x|＞1的解集，从而得到答案．【解答】解：|x|＞1，解得x＞1或x＜﹣1，由于x＞1⇒x＞1或x＜﹣1，但x＞1或x＜﹣1不能推出x＞1，“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．二．多选题（共5小题）（多选）9．（2024春•广西月考）下列命题错误的有（）A．若非零向量AB→与CD→平行，则A，B，C，DB．若a→，b→满足|a→|C．若x，y∈R，则x+yi＝1+i的充要条件是x＝y＝1 D．若a→∥b→【考点】命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】ABD【分析】根据向量平行的含义可判断A；根据向量的定义可判断B；根据复数的相等可判断C；举反例判断D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若非零向量AB→与CD→平行，则A，B，C，也可能是AB∥CD，此时A，B，C，D不共线，A错误；对于B，由于向量是既有大小又有方向的量，故向量不能比较大小，B错误；对于C，由于x，y∈R，则x+yi＝1+i，故可得x＝y＝1，反之也成立，C正确；对于D，若a→=0→，b→故选：ABD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及向量的基本概念、向量平行和复数的定义，属于基础题．（多选）10．（2024秋•无为市校级月考）下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“1a＜B．命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“∃x≤1，x2≥1” C．“x≥1”是“x+2x-1≥0D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件【考点】充分不必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】ACD【分析】对于ACD，化简不等式即可判断；对于B，利用全称命题的否定即可判断【解答】解：对于A，由1a＜1可得a＞1或a＜0，所以“a＞1对于B，命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“∃x对于C，由x+2x-1≥0解得x≤﹣2或x＞1，所以“x≥1”是“对于D，由ab≠0解得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．（多选）11．（2024秋•齐齐哈尔月考）下列说法正确的是（）A．函数f(x)=1+x1-x与g(x)=B．函数f(x)=x2+16C．若函数f(x)=k-3x1+k⋅3D．已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为[﹣1，3]【考点】命题的真假判断与应用；运用基本不等式求最值；判断两个函数是否为同一函数；奇函数偶函数的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f(x)=1+x1-x，有1+x≥01-x≥0，解得﹣1≤x≤1，所以f(x)=1+x1-x对于函数g(x)=1-x2，有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，所以g(x)=1-x2的定义域为又因为f(x)=1+x1-x=1-x2=g(x)，故函数f（x对于B，f(x)=x2+16由于x2+16＝9方程无解，故等号不成立，故B错误．对于C，若f(x)=k-3x1+k⋅3x为定义域上为奇函数，故定义域需要满足否则，定义域不关于原点对称，进而可得定义域为R，故f(0)=k-11+k=0，解得k＝1对于D，对于已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则﹣1≤x≤1，故﹣1≤2x+1≤3，则函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，D正确，故选：ACD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义、奇偶性和基本不等式的性质，属于基础题．（多选）12．（2024•东海县校级开学）下列说法正确的有（）A．x∈A是x∈A∪B的必要不充分条件 B．“a＞1，b＞1”是‘ab＞1’成立的充分条件 C．命题p：∀x∈R，x2＞0，则¬p：∃x∈R，x2＜0 D．x，y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断；全称量词命题的否定．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】BD【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C．【解答】解：对于A，若x∈A，则x∈A∪B，但由x∈A∪B不能推出x∈A，所以x∈A是x∈A∪B的充分不必要条件，故A错误；对于B，a＞1，b＞1时，ab＞1一定成立，所以a＞1，b＞1是ab＞1成立的充分条件，故B正确；对于C，命题p：∀x∈R，x2＞0，则¬p：∃x∈R，x2≤0，故C错误；对于D，当x=2，y=-2时，x+当x=2，y=2时，x所以x，y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，求全称量词命题的否定的方法，是基础题．（多选）13．（2024秋•广陵区校级月考）下面命题正确的是（）A．“a＜1”是“a＜1B．“a＞1”是“1a＜C．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D．“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件【考点】充分条件与必要条件．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】BC【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立，D错误．【解答】解：A选项，设a＝﹣1，满足a＜1，但a无意义，故充分性不成立，A错误；B选项，当a＞1时，1a当a＝﹣1时，满足1a＜1，但不满足a故“a＞1”是“1a＜1C选项，当a≠0且b＝0时，此时ab＝0，故充分性不成立，当ab≠0时，解得a≠0且b≠0，故必要性成立，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，C正确；D选项，x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立，D错误．故选：BC．【点评】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题．三．填空题（共4小题）14．（2024•惠农区校级开学）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1＝0”为假命题，则实数a的取值范围为[14【考点】存在量词命题真假的应用．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】[1【分析】分析可知命题∀x∈R，ax2+x+1≥0为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解．【解答】解：由题意可知，∀x∈R，ax2+x+1≥0为真命题，当a＝0时，由x+1≥0可得x≥﹣1，不符合题意，当a≠0时，根据题意知不等式恒成立则a＞解之可得a≥故答案为：[1【点评】本题主要考查了存在量词命题的真假关系的应用，属于基础题．15．（2024•天宁区校级开学）命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是∃x0【考点】求全称量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】∃x【分析】由命题否定的定义即可求解．【解答】解：由命题否定的定义，可知命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是“∃x故答案为：∃x【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．16．（2024•如东县开学）若存在x∈[﹣1，0]满足x2﹣2x+a≤0，则a的取值范围是{a|a≤1}．【考点】存在量词命题真假的应用．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】{a|a≤1}．【分析】根据已知条件，推得a≤（2x﹣x2）max，再结合函数的单调性，即可求解．【解答】解：存在x∈[﹣1，0]满足x2﹣2x+a≤0，则a≤2x﹣x2，故a≤（2x﹣x2）max，令f（x）＝2x﹣x2，由复合函数单调性可知，f（x）在[﹣1，0]上单调递增，故f（x）max＝f（0）＝1，所以a≤1，故a的取值范围是{a|a≤1}．故答案为：{a|a≤1}．【点评】本题主要考查存在量词命题真假的应用，属于基础题．17．（2023秋•开封期末）若命题：“∃x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为(14【考点】存在量词命题真假的应用．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据题中条件可得方程4x2﹣2x+m＝0无实数解，则Δ＜0，解出即可．【解答】解：由题意可知方程4x2﹣2x+m＝0无实数解，所以Δ＝（﹣2）2﹣4×4m＜0，解得m＞故实数m的取值范围为(1故答案为：(1【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．四．解答题（共3小题）18．（2024秋•广陵区校级月考）设集合A＝{x||x﹣5|＜2}．B＝{x|1＜x＜2m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】充分不必要条件的应用．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】（1）{m|m≤1}；（2）[3，+∞）．【分析】（1）分B＝∅和B≠∅两种情况讨论即可；（2）由题得A是B的真子集，根据集合间的基本关系求解即可．【解答】解：（1）A＝{x||x﹣5|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣5＜2}＝{x|3＜x＜7}，当B＝∅时，1≥2m+1，解得m≤0当B≠∅时，由A∩B＝∅得：m＞02m+1≤3，解得0＜m综上，m的范围为{m|m≤1}；（2）由题得，A是B的真子集，所以3≥解得m≥3，所以实数m的取值范围为[3，+∞）．【点评】本题主要考查了集合交集运算，还考查了充分必要性的应用，属于基础题．19．（2023秋•江岸区校级期末）已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的必要不充分条件，则求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】必要不充分条件的应用．【专题】集合思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【答案】（1）（1，2）；（2）(3【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，由不等式x2﹣3x+2＜0可得：1＜x＜2，即实数x的取值范围为（1，2）．（2）由不等式x2﹣3ax+2a2＜0可得：（x﹣a）（x﹣2a）＜0，因a＞0，故a＜2a，则有：a＜x＜2a，因p是q的必要不充分条件，故q⇒p，p⇏q，则（2，3]⊂≠（a，2a），故得：2a即实数a的取值范围为(3【点评】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．20．（2024•兴宁市校级开学）（1）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若p、q一真一假，求m的取值范围．（2）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要不充分条件的应用．【专题】对应思想；定义法；集合；简易逻辑；数学运算．【答案】（1）{m|1＜m≤2或m≥3}；（2）{m|m≥9}．【分析】（1）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可；（2）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围结合必要不充分条件的定义计算即可．【解答】解：（1）设x1，x2为p：x2+mx+1＝0的两个不等的负根，则Δ1解得m＞2，记集合A＝{m|m＞2}，而Δ2=16(m-2)2-16＜0，解之得1＜m＜3，记集合B＝{若p真q假，则A∩∁RB＝{m|m≥3}，若p假q真，则B∩∁RA＝{m|1＜m≤2}，综上若p、q一真一假，则m∈{m|1＜m≤2或m≥3}；（2）由p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解不等式得（x+2）（x﹣10）≤0⇒x∈{x|﹣2≤x≤10}，记集合C＝{x|﹣2≤x≤10}，由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解不等式得（x﹣1）2≤m2⇒x∈{x|﹣m+1≤x≤m+1}，记集合D＝{x|﹣m+1≤x≤m+1}，因为q是p的必要不充分条件，所以集合C是集合D的真子集，则-2≥-m+110≤m+1，解得故实数m的取值范围为{m|m≥9}．【点评】本题考查必要不充分条件与集合的运算相关知识，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．4．充要条件的判断【知识点的认识】充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．【命题方向】充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．5．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．6．必要不充分条件的应用【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．设p：12≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若q是A．B.(0C.[0D.[0解：p：12≤x≤1，q：a≤x≤a又∵p的必要不充分条件是q，∴p⇒q，反之则不能，∴1≤a+1，a≤1∴0≤a≤1当a＝0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q，当a=12时，q：12≤x≤3∴0≤a≤1故选：D．7．存在量词命题真假的应用【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导．【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用存在量词命题的真假来推导方程的解的存在性、几何图形的某些特性．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是_____．解：“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命题，则它的否定命题：“∀x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命题；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．8．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．9．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．10．存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．11．求存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；（3）∃x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱产品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；（3）∀x∈R，使x2+x+1＞0．12．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．13．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．14．一元二次方程的根的分布与系数的关系【知识点的认识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x【解题方法点拨】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x∴x12+x22=7，又x12x22则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可