2025年中考数学复习新题速递之尺规作图（2024年9月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习新题速递之尺规作图（2024年9月）一．选择题（共10小题）1．（2024•榕江县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E；再分别以点D、E为圆心、大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线AF交边BC于点G．若BG＝1，则点G到A．2 B．1 C．12 D2．（2024春•芮城县期末）如图，△ABC中，已知∠A＝88°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点D，E，分别以点E，D为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点②以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交CB，CA于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点③作射线BM，CN，射线BM，CN交于点P；由作图可知∠BPC的度数为（）A．130° B．134° C．138° D．142°3．（2024春•蓬莱区期末）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F．连结CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连结FG、CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠AOG＝60° B．OG＝2FG C．OG＝CG D．OF垂直平分CG4．（2024•榕江县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，若AD＝AC，则∠B的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°5．（2024春•杞县期末）如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE6．（2024•海淀区校级开学）下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点（3）作射线OM．OM就是∠AOB的平分线．上述方法通过判定△OMC≌△OMD得到∠COM＝∠DOM，其中判定△OMC≌△OMD的依据是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等7．（2024•河西区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A＝40°，则∠DBFA．20° B．30° C．40° D．50°8．（2024春•城关区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC＝3，AB＝5，则线段BE的长为（）A．43 B．65 C．1 D9．（2024•浙江模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（）A． B． C． D．10．（2024•汇川区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大12AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则A．25 B．23 C．4 D二．填空题（共5小题）11．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是．12．（2024•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝13．（2024春•丹东期末）如图，△ABC中，AC＝3AB，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P；③作射线AP，交边BC于点D，若△ABD的面积为3，则△ABC的面积为14．（2024春•朔州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接DE交AC于点F，则AF的长为15．（2024春•招远市期末）如图，在△ABC中，D是边AB中点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM的长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M'为圆心，以MN的长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线DN'交BC于点E；若四边形ACED的面积是60，则△BDE的面积为．三．解答题（共5小题）16．（2024•路桥区校级开学）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若△APC的周长为12，AD长为2，求△ABC的周长．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．17．（2024春•西安校级期中）如图，利用尺规，过点C作直线CD，使：CD∥AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）18．（2024春•衡南县校级期中）如图，已知∠MON＝30°，A是射线OM上一点．（1）求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，已知OA＝6，求AB的长．19．（2024•南岗区校级开学）数学活动课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图．第一步：用直尺画射线AM；第二步：用圆规在射线AM上依次截取AB＝a，BC＝b，CD＝c．（1）用含a，b，c的式子表示线段AD的长度是．（2）老师在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，现请聪明的你将解答题的过程补充完整．添加条件：如图，点P，Q分别是线段AC，CD的中点，且AB＝7，BC＝3，CD＝4，提出问题：求线段PQ的长度．因为AB＝7，BC＝3，所以AC＝AB+BC＝7+3＝10；因为点P线段AC的中点，且AC＝10，所以PC=12AC=1因为点Q线段CD的中点，且CD＝4，所以QC=12=12×所以PQ＝PC﹣＝﹣＝．20．（2024春•和平区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠A的角平分线，交BC于点H；②作AB边的垂直平分线，垂足为点D，交AH于点O；（2）连接BO，OC，求证：OA＝OC．

2025年中考数学复习新题速递之尺规作图（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•榕江县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E；再分别以点D、E为圆心、大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线AF交边BC于点G．若BG＝1，则点G到A．2 B．1 C．12 D【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．【专题】作图题；推理能力．【答案】B【分析】利用基本作图得到AF平分∠BAC，利用角平分线的性质即可求解．【解答】解：过G作GH⊥AC交AC于点H，由作图可知AF平分∠CAB，∵∠B＝90°，∴BG＝GH，又∵BG＝1，∴GH＝1，故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图．也考查了角平分线的性质．2．（2024春•芮城县期末）如图，△ABC中，已知∠A＝88°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点D，E，分别以点E，D为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点②以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交CB，CA于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点③作射线BM，CN，射线BM，CN交于点P；由作图可知∠BPC的度数为（）A．130° B．134° C．138° D．142°【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解．【解答】解：∵∠A＝88°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣88°＝92°，由作图可知PB平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝134°，故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．3．（2024春•蓬莱区期末）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F．连结CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连结FG、CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠AOG＝60° B．OG＝2FG C．OG＝CG D．OF垂直平分CG【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】尺规作图；几何直观．【答案】B【分析】由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断；利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG＝∠FOC＝30°，则可对A选项进行判断；通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝2CM，加上CF＞CM，FC＝FG，则可对D选项进行判断．【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，则OF垂直平分CG，D选项正确．在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，∴OC＝2CM，∵CF＞CM，FC＝FG，∴OC≠2FG，所以B选项的结论错误．∵C点与G点关于OF对称，∴∠FOG＝∠FOC＝30°，∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；∴△OCG为等边三角形，∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．（2024•榕江县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，若AD＝AC，则∠B的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．【专题】作图题；运算能力．【答案】C【分析】由作图得：EF是AB的垂直平分线，再由等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质求解．【解答】解：由作图得：EF是AB的垂直平分线，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝40°，∵∠ADC＝∠B+BAD＝2∠B＝40°，∴∠B＝20°，故选：C．【点评】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2024春•杞县期末）如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD∥AB，再证明∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE＝CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE＝BE，则可对C选项进行判断．【解答】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，所以A选项不符合题意；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DEA＝∠DAE，∴DA＝DE，所以B选项不符合题意，∴CD＝DE，所以D选项不符合题意，不能确定DE＝BE，所以C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．6．（2024•海淀区校级开学）下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点（3）作射线OM．OM就是∠AOB的平分线．上述方法通过判定△OMC≌△OMD得到∠COM＝∠DOM，其中判定△OMC≌△OMD的依据是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观．【答案】D【分析】由作图过程可知，OC＝OD，CM＝DM，结合全等三角形的判定可得答案．【解答】解：由作图过程可知，OC＝OD，CM＝DM，∵OM＝OM，∴△OMC≌△OMD（SSS），∴判定△OMC≌△OMD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：D．【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．7．（2024•河西区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A＝40°，则∠DBFA．20° B．30° C．40° D．50°【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．【专题】三角形．【答案】A【分析】只要证明BD＝DC，求出∠BDC的值即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝∠ABC=12（180°﹣40°）＝由作图可知，BF垂直平分线段CD，∴BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠DBF＝∠FBC＝20°，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．8．（2024春•城关区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC＝3，AB＝5，则线段BE的长为（）A．43 B．65 C．1 D【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．【专题】作图题；推理能力．【答案】D【分析】由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，根据角平分线的性质定理可得CD＝DE，可证明Rt△ADE≌Rt△ADC，从而得到AE＝AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可求解．【解答】解：由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，即CD⊥AC，∴CD＝DE，在Rt△ADE和Rt△ADC中，∵AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AE＝AC＝3，∴BE＝AB﹣AC＝5﹣3＝2，故选：D．【点评】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质；掌握角平分线的性质定理是关键．9．（2024•浙江模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（）A． B． C． D．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．【专题】尺规作图；几何直观．【答案】B【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；C．由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．10．（2024•汇川区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大12AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则A．25 B．23 C．4 D【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出AD＝BD，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出AD的长．【解答】解：∵分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点∴MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝30°，∵∠C＝90°，AC＝2，∴AD＝2AC＝4，∴BD＝4．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．二．填空题（共5小题）11．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是35°．【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】35°．【分析】根据尺规作图的痕迹得出直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠CAD的角平分线，根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出BD＝AD，根据等边对等角，得出∠BAD＝∠B＝30°，根据“三角形的内角和为180°”，计算∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD计算，根据角平分线的定义，计算∠DAE=12∠【解答】解：由作图得：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠CAD的角平分线，∴BD＝AD，∠DAE＝∠CAE=12∠又∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，∴∠DAE=12×70故答案为：35°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形内角和定理，垂直平分线的性质定理，角平分线的定义，熟练掌握垂直平分线的性质定理、三角形的内角和定理是解题的关键．12．（2024•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝2【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．【专题】概率及其应用；几何直观．【答案】2．【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，进而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，∴∠MOH＝45°，∴2a﹣1＝a+1，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2024春•丹东期末）如图，△ABC中，AC＝3AB，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P；③作射线AP，交边BC于点D，若△ABD的面积为3，则△ABC的面积为12【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】12．【分析】根据题意过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，DF⊥AC，利用角平分线性质可求出S△ACD，继而求出本题答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，∵AP是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∵△ABD的面积为3，∴S△ABD∵AC＝3AB，∴S△ACD∴S△△ABC＝3+9＝12，故答案为：12．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．14．（2024春•朔州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接DE交AC于点F，则AF的长为5【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】尺规作图；几何直观．【答案】5．【分析】由勾股定理可求得AC＝10，由作图可知，直线DE为线段AC的垂直平分线，即可得AF的长．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=A由作图可知，直线DE为线段AC的垂直平分线，∴AF=1故答案为：5．【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．15．（2024春•招远市期末）如图，在△ABC中，D是边AB中点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM的长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M'为圆心，以MN的长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线DN'交BC于点E；若四边形ACED的面积是60，则△BDE的面积为20．【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】20．【分析】先利用基本作图得到∠BDE＝∠A，则可判断DE∥AC，接着根据相似三角形的判定与性质得到S△BDES△BDE+60=【解答】解：由作法得∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴△ADE∽△ABC，∴S△BDES△BAC=（∵D是边AB中点，∴BD=12∴S△BDES△BDE+60=解得S△BDE＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．三．解答题（共5小题）16．（2024•路桥区校级开学）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若△APC的周长为12，AD长为2，求△ABC的周长．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】（1）16；（2）36°．【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PA＝PB，AD＝BD＝2，求出AB＝4，根据△APC的周长求出BC+AC＝12，即可求解；（2）根据等边对等角可得∠BAQ＝∠BQA，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠BQA＝2∠B，根据三角形内角和定理列出方程式，解方程即可求出∠B＝36°．【解答】解：（1）根据题意得，PA＝PB，AD＝BD＝2，∴AB＝AD+DB＝4，∵△APC的周长为12，即AP+PC+AC＝BP+PC+AC＝BC+AC＝12，故△ABC的周长为4+12＝16．（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝∠B+∠BAQ，且∠AQC＝3∠B，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，即5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【点评】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．17．（2024春•西安校级期中）如图，利用尺规，过点C作直线CD，使：CD∥AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—基本作图．【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．【答案】见解析．【分析】以C为顶点在三角形外部作∠BCD＝∠B即可．【解答】解：如图所示，直线CD即为所求．∵∠BCD＝∠ABC，∴CD∥AB．【点评】本题考查作图—基本作图，平行线的判定定理，解答本题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．18．（2024春•衡南县校级期中）如图，已知∠MON＝30°，A是射线OM上一点．（1）求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，已知OA＝6，求AB的长．【考点】作图—复杂作图；两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】（1）作图见解析；（2）3．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据直角三角形中30°所对的角是斜边的一半即可求解．【解答】解：（1）如图，直线l即为所求．（2）∵∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，OA＝6，∴AB=1【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握基本作图．19．（2024•南岗区校级开学）数学活动课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图．第一步：用直尺画射线AM；第二步：用圆规在射线AM上依次截取AB＝a，BC＝b，CD＝c．（1）用含a，b，c的式子表示线段AD的长度是a+b﹣c．（2）老师在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，现请聪明的你将解答题的过程补充完整．添加条件：如图，点P，Q分别是线段AC，CD的中点，且AB＝7，BC＝3，CD＝4，提出问题：求线段PQ的长度．因为AB＝7，BC＝3，所以AC＝AB+BC＝7+3＝10；因为点P线段AC的中点，且AC＝10，所以PC=12AC=1因为点Q线段CD的中点，且CD＝4，所以QC=12CD=12×4所以PQ＝PC﹣QC＝5﹣2＝3．【考点】作图—复杂作图；线段的和差．【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．【答案】（1）a+b﹣c．（2）CD；4；2；QC；5；2；3．【分析】（1）由作图可知，AD＝AB+BC﹣CD，进而可得答案．（2）根据线段中点的定义、线段的和差关系填空即可．【解答】解：（1）由题意得，AD＝AB+BC﹣CD＝a+b﹣c．故答案为：a+b﹣c．（2）因为AB＝7，BC＝3，所以AC＝AB+BC＝7+3＝10；因为点P线段AC的中点，且AC＝10，所以PC=12AC=1因为点Q线段CD的中点，且CD＝4，所以QC=1所以PQ＝PC﹣QC＝5﹣2＝3．故答案为：CD；4；2；QC；5；2；3．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段的和差，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2024春•和平区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠A的角平分线，交BC于点H；②作AB边的垂直平分线，垂足为点D，交AH于点O；（2）连接BO，OC，求证：OA＝OC．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用尺规作图作出角平分线，线段垂直平分线即可；（2）证明△BAO≌△CAO（SAS），得到OB＝OC，再根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OA，即可证明OA＝OC．【解答】解：（1）所作图形如图所示：；（2）证明：由作图知∠BAH＝∠CAH，又AB＝AC，AO＝AO，∴△BAO≌△CAO（SAS），∴OB＝OC，∵OD是AB边的垂直平分线，∴OB＝OA，∴OA＝OC．【点评】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．3．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．4．线段的和差线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，5．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．6．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两